Calculadora de Volume

Cada objeto tridimensional sólido ocupa algum espaço. Pode-se pensar no espaço que nosso celular ocupa quando colocado sobre a mesa, um recipiente de armazenamento de água colocado na vizinhança, ou simplesmente uma bola de futebol em uma quadra.

Podemos definir volume como o espaço ocupado por um objeto. O volume também pode se referir à capacidade do objeto. Em vez de pensar no espaço que o recipiente de água ocupa em nossa garagem, podemos pensar na capacidade ou na quantidade de água que o recipiente pode armazenar.

O cálculo do volume é usado em várias disciplinas da ciência e da matemática.

A calculadora de volume suporta múltiplas medidas ao calcular o volume. Além disso, a calculadora mostra a fórmula e um processo de cálculo passo a passo. Este artigo fornecerá uma explicação simples mas suficiente da calculadora de fórmula de volume e volume com exemplos reais.

Unidades e Medidas

Para melhorar a confiabilidade e a precisão de nosso julgamento, precisamos de uma unidade de medida padrão. Para uniformidade, precisamos de um conjunto padronizado de unidades de medição, conhecido como unidades padrão.

A unidade de volume do SI (Sistema Internacional de Unidades) é o metro cúbico m³. Entretanto, alguns volumes pequenos de objetos podem ser escritos em unidades menores, como centímetros cúbicos cm³ ou milímetros cúbicos mm³ se o objeto for muito pequeno.

Por outro lado, o usuário é livre para especificar a unidade que melhor se adapte a sua aplicação. A calculadora de volume suporta dois sistemas de medição: o Sistema Métrico, as Unidades Imperiais e as Unidades Usuais dos EUA. O usuário tem a liberdade de escolher entre as seguintes unidades:

• quilômetros,
• metros,
• centímetros,
• milímetros,
• micrômetros,
• nanômetros,
• angstroms,
• milhas,
• jardas,
• pés,
• polegadas.

Se utilizarmos fórmulas para calcular o volume, devemos trabalhar com unidades de medida homogêneas. Portanto, geralmente convertemos todas as medidas para a mesma unidade, a fim de facilitar os cálculos.

Por exemplo, considere calcular o volume de um cilindro com uma altura de 75 cm e um raio de 0,5 m. Convertemos a altura em metros e calculamos o volume em metros cúbicos ou convertemos o raio em centímetros cúbicos e encontramos o volume em centímetros cúbicos.

Que tal deixar você definir a altura em polegadas e o raio em nanômetros? A calculadora realizará mesmo esta conversão de unidade e mostrará os passos.

Com esta calculadora, o usuário pode escolher uma unidade diferente para cada entrada de medição, e a calculadora de fórmula de volume retornará o volume.

Considerando o exemplo anterior, onde a altura do cilindro é 5 polegadas e o raio é 10506070 nanômetros. Navegaremos até a seção de cálculo de volume do cilindro e introduziremos os valores de raio e altura com as unidades corretas a partir da lista suspensa.

A calculadora primeiro retorna o volume 2,6874044006564 polegadas³ (em polegadas cúbicas) e 4,4038667907438E+22 nanômetros³ (nanômetros cúbicos). Por que isso acontece? Porque estas são as unidades de medida que usamos em nossa entrada, a calculadora assume que precisamos que o volume seja calculado com uma destas unidades. O volume do cilindro mostra as duas maneiras de realizar o cálculo junto com a conversão da unidade!

A Calculadora de Volume: Escopo, Recursos e Exemplos

Os métodos de cálculo de volumes podem variar de uma figura para outra. Algumas formas geométricas utilizam fórmulas aritméticas padrão para calcular seu volume com base em suas propriedades, tais como comprimento de borda ou raio.

Outras formas geométricas são mais complexas, e não se pode calcular seu volume diretamente. Neste caso, são utilizados métodos computacionais avançados, como integração geométrica e métodos de elementos finitos. A calculadora de volume suporta uma ampla gama de objetos para calcular seu volume.

Esfera

Uma esfera é o equivalente tridimensional de um círculo; um exemplo de uma esfera é qualquer bola redonda (beisebol, basquete, etc.). A fórmula de volume de uma esfera é dada como:

$$V_{esfera}=\frac{4}{3}π r^3$$

Podemos observar que o volume de uma esfera depende apenas do raio da esfera (r). O raio é definido como a distância entre o centro da esfera e qualquer ponto da superfície. Dado que uma bola de beisebol tem um raio r = 3,65 cm, podemos usar o volume de uma calculadora de esfera para encontrar o volume:

$$Volume = \frac{4}{3}πr^3 = \frac{4}{3} × π × 3,65^3 = 203,68882488692 \ centimetros^3$$

Cone

Um cone é uma forma geométrica constituída por uma base circular e um ponto de vértice, denotado como o ápice, onde todos os pontos da circunferência da base estão conectados ao ápice com segmentos de linha. Podemos definir as propriedades do cone com duas medidas: o raio da base circular (r) e a altura entre o centro do centro da base e o ápice (h).

O volume de um cone pode ser expresso como:

$$V_{cone}=\frac{1}{3}{π r}^2h$$

r é o raio, e h é a altura do cone

Digamos que você tenha uma festa de aniversário e queira fazer um chapéu de festa em forma de cone, que depois será usado como cone de pipoca durante a noite.

Se você decidir fazer chapéus de cone com um raio de 7,5 cm e uma altura de 0,45 m, você pode usar a calculadora de volume de cone para calcular o volume de cada chapéu de cone.

0,45 metros = 45 centímetros

$$Volume = \frac{1}{3}πr^2h = \frac{1}{3} × π × 7,52^2 × 45 = 2650,7188014664 \ centímetros^3$$

Isto significa que você pode colocar esta quantidade de pipoca em seu cone no final da festa.

Cubo

Quem não teve a chance de brincar com um Cubo Mágico?

Este é um objeto geométrico com 8 vértices e 6 lados iguais. O volume de um cubo depende apenas do comprimento do lado do cubo (a).

$$V_{cubo}=a^3$$

Decidimos comprar 30 cubos mágicos para nosso centro de desenvolvimento, para que as crianças pudessem melhorar suas habilidades cognitivas. Fomos à loja e encontramos os cubos certos para o projeto e o preço. O comprimento do lado do cubo é de 5,7 centímetros. Infelizmente, o vendedor da loja tem apenas uma caixa para empilhar todos os cubos para facilitar o transporte. A caixa é cúbica com 20 centímetros de comprimento lateral. Será que todos os nossos cubos caberão nessa caixa?

O volume dos cubos:

$$Volume = 5,7^3 = 185,19\ centimetros^3$$

O volume total de 30 cubos seria

$$185,19 × 30 = 5.555,7\ centimetros^3$$

O volume da caixa:

$$Volume = 20^3 = 8.000\ centimetros^3$$

Comparamos o volume dos 30 cubos com o volume da caixa.

$$5.555,7 < 8.000$$

E verificou-se que os cubos caberiam perfeitamente na caixa.

Cilindro

Um cilindro é um prisma geométrico com uma base circular uniforme, como se vários círculos fossem colocados uns sobre os outros para formar esta forma geométrica. Como o cone, as propriedades do cilindro são definidas pelo raio do círculo (r) e a altura desde a superfície inferior até a superfície superior do cilindro (h). Pode-se expressar o volume de um cilindro como:

$$V_{cilindro}=π r^2h$$

Vamos calcular o volume de uma vela cilíndrica decorativa para que o artesão possa entender a quantidade de parafina que precisará para fabricá-la. Assim, a altura de nossa vela será de 15 centímetros e o diâmetro de 8 centímetros. A partir do diâmetro, podemos calcular o raio, que será de 4 centímetros. Assim, acabamos com:

$$Volume = πr^2h = π × 4^2 × 15 = 240π = 753,98223686155\ centimetros^3$$

Tanque retangular

Um tanque retangular é uma variação em forma de cubo onde todas as bordas são perpendiculares mas não necessariamente iguais. Este objeto geométrico é definido por um comprimento (l) e largura (w), que representam um retângulo bidimensional, juntamente com uma altura (h) que cria esta extensão tridimensional do retângulo. Assim, o volume do tanque retangular pode ser escrito da seguinte forma:

$$V_{tanque\ retangular}=l × w × h$$

Um exemplo universal de um tanque retangular é o container de transporte. As medidas padrão do container de transporte são ISO:

• Largura = 2,43 m
• Altura = 2,59 m
• Comprimento = 6,06 m ou 12,2 m

Como as medidas são padrão de acordo com a ISO, os volumes também são padrão. Vá em frente e conecte as medidas no volume do calculador do tanque retângulo para encontrar o volume. Execute os cálculos para ambos os valores de comprimento, 6,06 m e 12,2 m.

$$Volume = 6,06 × 2,43 × 2,59 = 38,139822\ metros^3$$

e

$$Volume = 12,2 × 2,43 × 2,59 = 76,78314\ metros^3$$

Formas geométricas tridimensionais mais complexas

Podemos combinar outras formas geométricas com formas geométricas básicas. Qual é o volume desta figura?

Podemos ver que o objeto é composto por um cilindro e um cone no topo. Portanto, podemos dizer que o volume do objeto é a soma do volume do cilindro e do volume do cone:

$$V_{objeto}=V_{cilindro}+V_{cone}$$

Tanto o cilindro quanto o cone têm um diâmetro de 4 cm. Assim, podemos dizer que $r_{cilindro}=r_{cone}=\frac{4}{2}=2\ cm$.

Além disso,

$$h_{objeto}=h_{cilindro}+h_{cone}$$

Dado que

$$h_{objeto}=10\ cm$$

e

$$h_{cone}=3\ cm$$

podemos interpretar que

$$h_{cilindro}=7\ cm$$

Agora podemos colocar os valores na calculadora de volume da seguinte forma:

$$V_{objeto}=V_{cilindro}+V_{cone}=87,96\ cm^3+12,56\ cm^3$$

$$V_{objeto}=100,52\ cm^3$$

Este exemplo ajudará a entender melhor as próximas formas geométricas que a calculadora de volume suporta.

Capsule

A cápsula é uma das formas mais comuns de pílulas médicas. O usuário pode usar o exemplo anterior para entender que uma cápsula consiste de um cilindro com dois hemisférios em duas superfícies opostas.

Os dois hemisférios podem somar-se a uma única esfera, e podemos dizer que o volume de uma cápsula é a soma do volume de um cilindro e o volume de uma esfera.

$$V_{capsule} = πr^2h + \frac{4}{3}πr^3 = πr^2(\frac{4}{3}r + h)$$

Onde r é o raio e h é a altura da porção cilíndrica.

Graças à calculadora de volume da cápsula, não é necessário calcular o volume do cilindro e somá-lo ao da esfera para calcular o volume da cápsula. O usuário pode inserir diretamente a altura e o raio, e a calculadora irá emitir o volume da cápsula.

Os cientistas farmacêuticos que analisam, desenvolvem e fabricam medicamentos sempre tentam encontrar bons volumes de cápsulas. A cápsula deve armazenar a quantidade de medicamento necessária por cápsula, assim os cientistas variam as dimensões da cápsula (altura e raio) para ajustar o volume de acordo.

Calota Esférica

O exemplo anterior se referia ao hemisfério como metade de uma esfera. Enquanto isso, uma calota esférica é uma porção da esfera quando a esfera é cortada por um plano. O hemisfério é um caso especial de uma calota esférica onde a esfera é dividida em duas porções iguais. Assim, o volume de um hemisfério é a metade do volume de uma esfera.

A figura abaixo mostra um exemplo de uma calota esférica onde (r) é o raio da base, (R) é o raio da esfera e (h) é a altura da tampa esférica. Há uma relação entre estas variáveis. Assim, é suficiente conhecer dois destes valores para calcular o terceiro.

• Dado r e R; $h=R±\sqrt{R^2+r^2}$
• Dado r e h; $R=\frac{h^2+r^2}{2h}$
• Dado R e h; $r=\sqrt{2Rh\ -h^2}$

onde:

• r é o raio da base,
• R é o raio da esfera,
• h é a altura da calota esférica.

O volume de uma calota esférica pode ser escrito da seguinte forma:

$$V_{calota\ esférica}=\frac{1}{3}π h^2(3R-h)$$

É suficiente entrar duas das três variáveis da calota esférica. Por exemplo, considere que R = 1m e r = 0,25m, a calculadora encontra dois volumes possíveis; 0,00313 m³ e 4,1856 m³. Por que isso acontece?

Recordando o seguinte

$$h=R±\sqrt{R^2+r^2}$$

podemos ver que quando dados os valores de r e R, h pode ter dois valores

$h_1=R+\sqrt{R^2+r^2}$

e

$h_2=R-\sqrt{R^2+r^2}$

Isto explica ter um valor de volume diferente quando se usa $h_1$ e $h_2$.

Além disso, a desigualdade R ≥ r deve ser sempre mantida, ou a calculadora retornará uma mensagem de erro dizendo: "o raio base não pode ser maior que o raio da bola". Este erro é útil se o usuário misturar os valores R e r.

Tronco

Podemos obter esta forma cortando um cone com um corte horizontal paralelo a sua superfície circular. Isto resulta em duas superfícies circulares e duas paralelas.

Um volume de tronco pode ser definido como:

$$V_{tronco}=\frac{1}{3}π h(r^2+rR+R^2)$$

Onde h é a altura entre o centro da superfície inferior e superior, r é o raio da superfície superior, e R é o raio da superfície inferior de tal forma que R ≥ r.

Imagine que você foi a uma confeitaria e viu um bolo recheado dizendo que continha 35% de chocolate derretido.

Se você era um verdadeiro entusiasta da matemática e gostaria de traduzir isso em um problema matemático, talvez esteja interessado no volume de chocolate dentro de seu bolo. Bem, meça o raio superior e inferior junto com a altura para calcular o volume de todo o bolo.

Suponha que as medidas sejam r = 16 cm, R = 20 cm, e h = 10 cm.

Então, podemos encontrar o volume do bolo simplesmente ligando os valores na calculadora de volume do tronco.

$$Volume=\frac{1}{3}π h(r^2+rR+R^2)=\frac{1}{3}π 10(16^2+16×20+20^2)= 10220,648099679 \ centimetros^3$$

Além disso, 35% dos $10.220,65 cm³ está em torno de 3.577,23 cm³ de chocolate.

Elipsoide

Quando uma esfera é deformada por uma escala direcional, ela produz uma superfície conhecida como elipsoide. Pode-se pensar em uma elipsoide como uma esfera esticada onde as distâncias entre o centro da elipsoide e diferentes pontos da superfície não são iguais.

Assim, a elipsoide tem três eixos, e o volume da elipsoide é definido em relação ao raio do centro para cada um desses eixos. Os três valores dos raios são indicados por a, b, e c.

Sempre pensamos em esferas redondas sempre que falamos de bolas, mas também existem bolas elipsoidais! Vejam a bola de rúgbi. Assumir que as dimensões são a = 9,3 cm, b = 9,3 cm, e c = 14,3 cm.

O volume de uma elipsoide é dado como:

$$V_{ellipsoide}=\frac{4}{3}π abc$$

A ordem de a, b, e c não tem importância; misturá-los não faz mal.

Usando a calculadora de volume elipsoide, podemos obter o volume de nossa bola de rúgbi.

$$Volume=\frac{4}{3}π abc=\frac{4}{3}× π × 9,3 × 9,3 × 14,3 = 5180,7250468112 \ centimetros^3$$

Pirâmide Quadrada

A menção de pirâmides pode fazê-lo pensar nas antigas pirâmides do Egito. Uma pirâmide quadrada consiste em uma base quadrada com um ápice onde os pontos na circunferência do quadrado base estão conectados a esse ápice. O volume pode ser calculado como:

$$V_{pirâmide\ quadrada}=\frac{1}{3}a^2h$$

Com a sendo a borda da base quadrada e h sendo a altura do centro da base quadrada até o ápice.

Tomamos as dimensões da pirâmide de Khufu como foi construída originalmente; h = 146,6 m and a = 230,33 m. The volume da pirâmide de Khufu pode ser calculada da seguinte forma:

$$Volume=\frac{1}{3}a^2h = \frac{1}{3}230,33^2 × 146,6 = 2592469,9482467\ metros^3$$

Tubo

Ao contrário de um cilindro, um tubo tem um diâmetro externo e interno. Portanto, o volume do tubo deve ser responsável pela diferença de diâmetros.

$$V_{tubo}=π\frac{d_1^2-d_2^2}{4}l$$

Como você já imaginou, d₁ e d₂ são os diâmetros externo e interno do tubo, respectivamente. $l$ é o comprimento do tubo.

Vamos usar a fórmula para calcular o volume do anel de concreto para o poço que vamos cavar em nossa casa de campo. A altura do nosso anel é de 0,89 metros, o diâmetro externo é de 1,16 metros, e o diâmetro interno é de 1 metro.

Portanto, temos o seguinte cálculo:

$$Volume=π\frac{1,16^2-1^2}{4} × 0,89 = 0,076896 π = 0,24\ metros^3$$