Двоичный калькулятор

Этот калькулятор можно использовать для выполнения различных типов операций с двоичными числами. Он сочетает в себе калькулятор двоичного сложения, калькулятор двоичного вычитания, калькулятор двоичного деления, калькулятор двоичного умножения и калькулятор двоичного преобразования. Калькулятор двоичного преобразования может конвертировать двоичные значения в десятичные и наоборот.

Рекомендации по использованию

Двоичные расчеты

Используйте первую часть калькулятора для выполнения двоичных вычислений - сложения, вычитания, деления или умножения двух двоичных чисел. Для выполнения вычисления введите заданные двоичные числа и выберите знак необходимой математической операции (+, -, ×, ÷). Затем нажмите "Вычислить". Калькулятор отобразит результат как в двоичных, так и в десятичных значениях.

Преобразование двоичного значения в десятичное

Чтобы преобразовать двоичное значение в десятичное, воспользуйтесь второй частью калькулятора. Просто введите заданное двоичное значение и нажмите "Вычислить".

Преобразовать десятичное значение в двоичное

Используйте третью часть калькулятора для преобразования десятичного значения в двоичное. Введите заданное десятичное значение и нажмите "Вычислить". В каждом подразделе калькулятора нажмите "Очистить", чтобы очистить все поля. Все части калькулятора работают с целыми числами.

Двоичные числа

Двоичное число состоит только из единиц и нулей, например, 1000111010101010 - это двоичное число. Двоичную систему счисления иногда называют системой счисления по основанию 2, поэтому двоичный калькулятор - это калькулятор по основанию 2.

Двоичное число в системе счисления по основанию 2 формируется так же, как и десятичное число в "обычной" системе счисления по основанию 10. В десятичной системе счисления мы считаем 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9... а затем возвращаемся к 0, но добавляем перед ним 1, получая 10. В двоичной системе мы делаем то же самое, но достигаем 10 гораздо быстрее. Мы считаем 0, 1 ... и теперь у нас больше нет цифр, поэтому мы сразу переходим к 10.

Поэтому 2 в десятичной системе равно 10 в двоичной. Чтобы записать 3 в двоичной системе, мы продолжаем с 10 до 11. Но чтобы записать 4, нам нужно перейти к 00, добавив перед этим 1. Поэтому 4 в десятичной системе равно 100 в двоичной. Десятично-двоичные эквиваленты некоторых чисел представлены в таблице ниже.

Обратите внимание, что, как и в десятичной системе счисления, добавление нулей перед числом не меняет значения. Например, записать 6 как 06 технически будет правильно. Аналогично, в двоичной системе 6 может быть записано как 110 или 0110.

Двоичные преобразования

Преобразование десятичных чисел в двоичные числа

Самый простой способ преобразовать десятичное число в двоичное - это постоянно делить данное десятичное число на 2 и записывать остаток. Получив 0 в качестве коэффициента, запишите все остатки в обратном порядке, чтобы получить двоичное число. Например, преобразуем 17 в двоичное число:

1. 17 ÷ 2 = 8 R1
2. 8 ÷ 2 = 4 R0
3. 4 ÷ 2 = 2 R0
4. 2 ÷ 2 = 1 R0
5. 1 ÷ 2 = 0 R1

Записав все остатки в обратном порядке, получим следующее число: 10001. 17₁₀ = 10001₂. (Обратите внимание, как порядок системы счисления добавляется в виде подстрочного знака после числа).

Преобразование двоичных чисел в десятичные числа

Чтобы преобразовать двоичное значение в десятичное, выполните следующие действия. Для наглядности шаги будут включать пример преобразования. Давайте преобразуем 100101₂ в десятичное число.

1. Начните с крайней левой цифры двоичного числа. Умножьте число, полученное на предыдущем шаге, на 2 и прибавьте текущую цифру. В примере с числом 100101 крайняя левая цифра - 1. Предыдущего шага у нас еще не было, поэтому предыдущее число равно 0: (0 × 2) + 1 = 0 + 1 = 1.
2. Повторите шаг 1 для второй цифры. В примере 100101 вторая цифра слева - 0. Число из предыдущего шага - 1. (1 × 2) + 0 = 2.
3. Повторите шаг 1 для каждой последующей цифры. Итоговая сумма будет десятичным представлением данного двоичного числа.

Наконец, 100101₂ = 37₁₀

Двоичные вычисления

Двоичное сложение

Правила сложения в двоичной системе эквивалентны правилам сложения в десятичной системе. Единственное отличие заключается в том, что число переносится на следующий разряд уже тогда, когда сумма достигает 2 (в отличие от 10 в десятичной системе). Правила двоичного сложения таковы:

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 0, и 1 переносится.

Например,

1001 + 1011 = 10100

Двоичное вычитание

Двоичное вычитание также соответствует правилам десятичного вычитания, с заимствованием цифры следующего порядка, когда из 1 нужно вычесть 1. Правила двоичного вычитания таковы:

• 0 - 0 = 0
• 1 - 0 = 1
• 1 - 1 = 0
• 0 - 1 = 1, 1 заимствуется.

Когда вы заимствуете число из цифры следующего порядка, оно, по сути, становится 2 для данной цифры, а 2 - 1 = 1. Например,

1100 - 1001 = 0011 = 11

В этом примере мы не можем взять 1 из цифры следующего порядка, поэтому мы должны перепрыгнуть на одну цифру дальше. Тогда цифра, стоящая второй справа, становится равной 2, а когда мы заимствуем из нее 1, она уменьшается до 1. Синие цифры на картинке обозначают изменения цифр при заимствовании.

Двоичное умножение

Правила двоичного умножения таковы:

• 0 × 0 = 0
• 0 × 1 = 0
• 1 × 0 = 0
• 1 × 1 = 1

Например,

Двоичное деление

Деление двоичных чисел подчиняется тем же правилам, что и деление в столбик для десятичных чисел. Как и в десятичной системе, в двоичной системе счисления деление на 0 не выполняется. Правила двоичного деления таковы:

• 0 ÷ 0 не выполняется
• 0 ÷ 1 = 0
• 1 ÷ 0 не выполняется
• 1 ÷ 1 = 1

Например, 1111 ÷ 10 = 111 R1:

Краткая История Двоичных Чисел

История двоичных чисел представляет собой увлекательное путешествие, переплетающее математику, философию и развитие современных вычислений. Уходящая корнями в конец XVII века, система двоичных чисел была впервые задумана немецким математиком и философом Готфридом Вильгельмом Лейбницем. В своем труде "Объяснение двоичной арифметики" Лейбниц предложил систему, использующую только две цифры, 0 и 1, для представления чисел. Эта двоичная система, несмотря на свое значительное математическое значение, не сразу получила широкое признание и применение.

Несмотря на раннее введение, практическое использование двоичных чисел развивалось веками. Только в XIX веке были сделаны значительные достижения, во многом благодаря работе английского математика Джорджа Буля. Буль разработал форму алгебры, заложив основу для того, что впоследствии стало известно как булева алгебра. Эта алгебра использовала двоичные переменные и стала ключевым компонентом в развитии электронной схемотехники и цифровой логики.

Настоящий прорыв для двоичных чисел произошел с появлением электронных вычислений в XX веке. Разработка первых электронных компьютеров в 1940-х и 1950-х годах, таких как Электронный числовой интегратор и компьютер (ENIAC) и Универсальный автоматический компьютер (UNIVAC), стала поворотным моментом. Эти первые компьютеры использовали двоичные числа для обработки и хранения данных, утвердив двоичную систему как неотъемлемую часть вычислительной технологии.

Еще одним важным этапом в истории двоичных чисел стал компьютер Атанасова-Берри (ABC), разработанный Джоном Атанасовым и Клиффордом Берри в конце 1930-х годов. ABC был одним из первых электронных компьютеров, использовавших двоичные цифры для вычислений, хотя и не был полностью функциональным цифровым компьютером в современном понимании.

По мере быстрого расширения сферы вычислений использование двоичных чисел стало повсеместным в цифровой технологии. Сегодня двоичные числа являются фундаментальными строительными блоками цифровых систем, от простейших калькуляторов до самых сложных суперкомпьютеров. Они неотъемлемы в различных приложениях, включая кодирование данных, телекоммуникации и цифровую обработку сигналов.

Путь от ранних теоретических работ Лейбница до широкого практического применения двоичных чисел в современных технологиях является свидетельством долгосрочного воздействия этой простой, но мощной числовой системы. Двоичная система, способная представлять сложные данные и инструкции, используя всего два символа, продолжает быть краеугольным камнем цифровой технологии, формируя способ, которым мы вычисляем, общаемся и взаимодействуем с цифровым миром.

Применение в реальной жизни

Двоичные числа используются не только в компьютерной науке и технике, но и находят реальное применение в различных других областях человеческой деятельности.

Компьютерная память состоит из транзисторов, находящихся либо во включенном, либо в выключенном состоянии. В двоичной системе "включено" представлено цифрой 1, а "выключено" - цифрой 0. Это позволяет хранить данные в двоичном коде, где каждое состояние "включено" или "выключено" представляет собой 1 или 0 в строке двоичных цифр. Например, строка из восьми двоичных цифр, таких как "01101001", может представлять букву "i" в компьютерном коде ASCII.

Каждый пиксель в цифровом изображении может быть представлен комбинацией двоичных цифр, которая представляет интенсивность определенного цвета (красного, зеленого, синего). В цветовой модели RGB белый цвет может быть представлен двоичным значением "111" (7 в десятичной системе), что означает, что все три цветовых канала (красный, зеленый и синий) имеют максимальную интенсивность. Аналогично, черный цвет может быть представлен двоичным значением "000" (0 в десятичной системе), что означает, что все три цветовых канала имеют минимальную интенсивность.

В области цифровой связи данные могут передаваться по каналу путем преобразования каждого символа сообщения в двоичные цифры и последующей отправки в виде потока битов. Затем приемник может декодировать эти биты в исходное сообщение.

Цифровые устройства, такие как компьютеры, смартфоны и телевизоры, используют двоичный код для представления данных и выполнения вычислений. Это позволяет им эффективно обрабатывать и хранить большие объемы информации.

Двоичные числа используются в телекоммуникациях. Двоичный код передает данные на большие расстояния по телефонным линиям, кабелю и спутнику. Это обеспечивает более быструю и эффективную связь, позволяя нам оставаться на связи по всему миру.

Двоичные числа управляют автоматизированными механизмами, такими как роботы и станки с ЧПУ на производстве. Эти машины используют двоичный код для интерпретации инструкций, что позволяет им выполнять точные задачи, такие как сверление, резка и сварка.

Двоичные числа также используются в медицине. Медицинское оборудование, такое как компьютерные томографы, магнитно-резонансные и рентгеновские аппараты, использует двоичный код для обработки и анализа медицинских изображений.

Двоичные числа применяются в транспортной сфере. Современные автомобили используют двоичный код для управления различными функциями, такими как управление двигателем, кондиционером и навигацией.

Концепция двоичных чисел, впервые введенная Лейбницем, стала неотъемлемой частью нашей повседневной жизни. Сегодня использование двоичных чисел необходимо для функционирования современных технологий и продолжает играть важную роль в развитии новых технологий.