Калькулятор вероятности

Калькулятор вероятностей двух событий

Когда вы знаете вероятность двух независимых событий, вы можете использовать калькулятор вероятности двух событий для определения их совместного наступления. Вы должны ввести в калькулятор вероятности двух независимых событий в виде вероятностей a и b. Затем калькулятор покажет вероятности объединения, пересечения и другие связанные вероятности двух независимых событий вместе с диаграммами Венна.

Калькулятор вероятностей для двух событий

Вы можете вычислить вероятность различных событий из двух независимых событий, если вам известны любые два входных значения для этого калькулятора. Это важно, когда у вас нет одной или обеих вероятностей двух событий. В результатах вам будет показан ответ с шагами вычисления.

Вероятность серии независимых событий

Вы можете использовать калькулятор "Вероятность серии независимых событий" для определения вероятности того, что каждый эксперимент содержит два независимых события, которые происходят одно за другим. В этом калькуляторе вы должны задать количество раз, когда событие происходит.

Вероятность нормального распределения

Калькулятор вероятности нормального распределения пригодится при определении вероятности нормальной кривой. Вы должны ввести среднее значение μ, стандартное отклонение σ и границы. Калькулятор вероятности нормального распределения вычислит вероятность установленных границ и доверительные интервалы для ряда доверительных уровней.

Введение в теорию вероятности

Вероятность - это шанс того, что некое событие произойдет. Если событие произойдет наверняка, его вероятность равна 1. Если событие не произойдет, его вероятность равна 0. В результате вероятность события всегда находится между 0 и 1. Калькулятор вероятности позволяет легко рассчитать вероятность различных событий.

Правила работы с событиями

Любая группировка результатов эксперимента называется событием. Событием может быть любое подмножество пространства выборок. Дополнение, пересечение и объединение могут быть определены как правила операций над событиями. Давайте изучим каждое из этих правил на приведенном ниже примере.

Пример

В вашем колледже есть различные факультеты, включая факультет бизнеса. Также так обучаются иностранные студенты. В рамках своего проекта вы должны провести интервью со студентами вашего колледжа. Вы решили начать с первого студента, который заходит в здание колледжа через ворота. Вам известны следующие вероятности. Допустим,

A = Первый студент - с факультета бизнеса.

B = Первый студент - иностранный студент.

P(A) = 0,6

P(B) = 0,3

Дополнение события

Дополнение события - это множество всех исходов в пространстве выборки, которые не входят в это событие.

Например, дополнение события A означает, что первый студент не является студентом факультета бизнеса. Это можно обозначить \$A\prime\$ или Aᶜ.

Покажем дополнение события A на диаграмме Венна.

На приведенной выше диаграмме Венна цветная область представляет собой дополнение события A.

Общая площадь прямоугольника представляет собой общую вероятность пространства выборки. Она в точности равна единице. Площадь вне круга А показывает вероятность дополнения события А. Диаграмма Венна позволяет установить следующее соотношение:

$$P\left(A\right)+P\left(A^\prime\right)=1$$

Поэтому,

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)$$

Найдем следующие вероятности.

Вероятность того, что первый студент, которого вы выбираете для интервью, не с факультета бизнеса:

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)=1-0,6=0,4$$

Вероятность того, что первый студент, которого вы выбрали для интервью, не является иностранным студентом:

$$P\left(B^\prime\right)=1-P\left(B\right)=1-0,3=0,7$$

Пересечение событий

Пересечение двух событий A и B - это список всех общих элементов в обоих событиях A и B. Слово "И" или "AND" часто используется для обозначения пересечения двух множеств.

Пересечение событий А и В в примере 1 означает выбор иностранного студента, причем студента с факультета бизнеса. Это можно обозначить следующим образом:

$$A\cap B$$

Покажем пересечение событий A и B на диаграмме Венна.

На приведенной выше диаграмме Венна цветная область представляет собой пересечение событий A и B.

Предположим, что событие выбора местного студента для собеседования - это C. Теперь мы покажем события A и C на диаграмме Венна.

Выбор иностранного и местного студента не может случиться одновременно. Предположим, что первый выбранный вами студент - иностранный студент. В этом случае исключается возможность того, что первым студентом будет местный студент. Поэтому события A и C - взаимоисключающие событиями.

Взаимоисключающие события не имеют общих элементов между собой. Поэтому пересечение двух взаимоисключающих событий пусто.

$$A\cap C=φ$$

Вероятность события на пересечении может быть рассчитана различными методами. События A и B можно обозначить так:

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cup B\right)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B/A)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A/B)$$

Независимые события

Независимые события - это события, которые не влияют друг на друга. В нашем примере выбор студента с факультета бизнеса не влияет на выбор иностранного студента или нет. Поэтому можно сказать, что событие А и событие В - это два независимых события.

Когда события независимы, вероятность наступления одного из них не зависит от вероятности наступления другого. Следовательно,

$$P(B/A)=B \ и \ P(A/B)=A$$

Вы можете использовать эти формулы для модификации ранее изученной формулы для определения вероятности двух пересекающихся событий.

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(\mathrm{B/A}\right)P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(B\right)× P\left(\mathrm{A/B}\right)P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A)$$

Вы можете найти пересечение двух независимых событий, перемножив вероятности этих двух событий.

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=P(B)× P(A)$$

Учитывая, что события A и B независимы, определим вероятность того, что первый студент, которого вы выберете для собеседования, будет с факультета бизнеса и будет иностранным студентом.

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=0,6× 0,3=0,18$$

Объединение событий

Объединение двух событий порождает другое событие, которое содержит все элементы одного или обоих событий. Слово "ИЛИ" или "OR" обычно используется для описания объединения двух событий.

В примере 1 объединение событий A и B означает выбор иностранного студента или студента с факультета бизнеса. Это можно обозначить следующим образом.

$$A\cup B$$

Покажем объединение событий A и B на диаграмме Венна.

На приведенной выше диаграмме Венна цветная область представляет объединение событий A и B.

Чтобы вычислить вероятность события A или события B, мы должны сложить вероятности обоих событий и вычесть вероятность пересечения.

Вероятность объединения событий A и B можно записать следующим образом.

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$$

Мы можем модифицировать приведенную выше формулу и создать новую формулу для нахождения вероятности объединения двух независимых событий, когда вероятность пересечения двух событий неизвестна, и эти два события независимы.

Если события независимы,

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$

Таким образом,

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A)× P(B)$$

Давайте вычислим, какова будет вероятность объединения событий A и B, то есть с какой вероятностью мы выберем студента, который учится на факультете бизнеса, является иностранным студентом или и тем и другим одновременно?

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0,6+0,3-0,18=0,72$$

Благодаря калькулятору вероятности двух событий вы сможете быстро выполнить все приведенные выше расчеты. Вы можете использовать Калькулятор вероятностей для двух событий, даже если хотите проверить свои шаги вычисления вероятности, потому что он также отображает шаги вычисления.

Нормальное распределение

Нормальное распределение симметрично и имеет форму колокола. У нормального распределения среднее, медиана и мода одинаковы, 50% данных выше среднего и 50% ниже среднего. Кривая нормального распределения отклоняется от среднего значения в обе стороны, но никогда не касается оси X. Общая площадь под кривой равна 1.

Если случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами μ и σ2, мы пишем $X ~ N(\mu, \sigma^2)$.

Вероятность нормального распределения

Функция плотности вероятности нормального распределения изображена ниже:

$$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}}× e^\frac{-{(x-\mu)}^2}{2\sigma^2}$$

В этой функции:

• μ - среднее значение распределения;
• σ² - дисперсия распределения;
• π - 3,14;
• e - 2,7182.

Невозможно представить таблицу вероятностей для каждой комбинации среднего и стандартного отклонения, поскольку существует бесконечное число различных нормальных кривых. В результате используется стандартное нормальное распределение. Нормальное распределение со средним значением 0 и стандартным отклонением 1 называется стандартным нормальным распределением.

Чтобы рассчитать вероятность нормального распределения, мы должны сначала преобразовать фактическое распределение в стандартное нормальное распределение, используя показатель Z, а затем использовать Z-таблицу или таблицу стандартного нормального распределения для расчета вероятности. Калькулятор нормальной вероятности функционирует как калькулятор стандартной нормальной вероятности, предлагая вероятности для различных доверительных уровней.

$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$$

Стандартную кривую нормального распределения можно использовать для решения разных практических задач. Для определения вероятности непрерывных переменных используется нормальное распределение. Непрерывная переменная - это переменная, которая может принимать любое количество значений, даже десятичное. Рост, вес и температура - это самые простые примеры непрерывных переменных.

Давайте узнаем, как найти вероятность нормального распределения.

Пример

Результаты курса статистики вашей группы имеют нормальное распределение со средним значением 65 и стандартным отклонением 10. Определите вероятность следующих сценариев, если выбрать студента случайным образом:

• балл студента равен или выше 70,
• балл студента ниже 70,
• балл студента от 50 до 70.

Решение

$$P\left(X≥70\right)=P\left(Z≥\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z≥0,5\right)=1-0,6915=0,3085$$

$$P\left(X<70\right)=P\left(Z<\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z<0,5\right)=0,6915$$

$$P\left(50>X>70\right)=P\left(\frac{50-65}{10}>Z>\frac{70-65}{10}\right)=P\left(1,5>Z>0,5\right)=0,4332+0,1915=0,6247$$

Вычисление вероятности нормальной кривой включает множество шагов и требует использования z-таблиц. А калькулятор вероятности нормального распределения поможет вам вычислить вероятность, просто введя в калькулятор четыре числа. Чтобы воспользоваться калькулятором нормального распределения, необходимо ввести среднее значение, стандартное отклонение, а также левую и правую границы.