Калькулятор математических уравнений

Этот решатель можно использовать как калькулятор порядка операций или калькулятор PEMDAS. Он решает математические задачи по алгоритму PEMDAS, расставляя приоритеты операций следующим образом:

• Скобки, группировки
• Степени, корни
• Умножение, деление
• Сложение, вычитание

Указания по использованию

Чтобы воспользоваться этим калькулятором PEMDAS, введите заданное уравнение, используя следующие символы:

• "+" Сложение
• "-" Вычитание
• "*" Умножение
• "/" Деление
• "^" Степени (например, 12^2 означает 12 в степени 2: 12² = 144. 49^(1/2) означает 49 в степени 1/2: 49¹/² = 7).
• "root"(x[n])
• Для скобок и группировки можно использовать (), {}, [].

Копирование уравнений из других источников

Вы можете копировать и вставлять уравнения из других источников в данный калькулятор уравнений. В большинстве случаев калькулятор будет работать, даже если в исходном файле используются другие символы для операций, например, × вместо *, или ÷ вместо /. В некоторых случаях, однако, вам придется заменить различные символы на те, которые распознает этот калькулятор.

Работа с дробями

Калькулятор также работает с дробями. Используйте косую линию / для ввода дроби и заключите данную дробь в скобки, иначе дробное деление будет выполняться в соответствии с порядком операций PEMDAS. Введите 25^(1/2), чтобы получить 25 в степени 1/2: 25^(1/2) = 5. Если вы введете 25^1/2, то получите ответ 12,5, так как калькулятор интерпретирует 25^1/2 как (25^1)/2 = 25/2 = 12,5, следуя порядку PEMDAS.

Порядок операций в PEMDAS

Если в математическом выражении есть только одна операция, ответ обычно ясен, например, 12 + 4 = 16.

Однако что делать с таким выражением, как: 3 × 4 - 4? Какую операцию следует выполнить первой? Если сначала выполнить умножение, то получится 3 × 4 - 4 = 12 - 4 = 8. Но если сначала выполнить вычитание, то ответ будет другим: 3 × 4 - 4 = 3 × 0 = 0.

Чтобы решить эту проблему, математики назначают приоритеты всем операциям и ВСЕГДА выполняют их в определенном порядке. Этот порядок описывается аббревиатурой PEMDAS, где P означает скобки (или скобки, или группировку) от слова "parenthesis", E - экспоненты (и корни) от слова "exponent", M - умножение от слова "multiplication", D - деление от слова "division", A - сложение от слова "addition", S - вычитание от слова "subtraction".

Обратите внимание, что в разных странах используются разные аббревиатуры, но все они описывают один и тот же порядок действий. Например, BEDMAS означает Brackets, Exponents, Division, Multiplication, Addition, Subtraction; GEMDAS - аббревиатура, означающая Grouping, Exponents, Multiplication, Division, Addition, Subtraction; BODMAS означает Brackets, Order, Division, Multiplication, Addition, Subtraction.

Порядок умножения и деления

В алгоритме PEMDAS умножение и деление являются эквивалентными приоритетными операциями, то есть они выполняются слева направо (если, конечно, одна из них не заключена в скобки). Например, в выражении 12 / 2 × 3 вы сначала выполните деление 12 / 2, чтобы получить 6, а затем умножите 6 на 3, чтобы получить 18.

Вот почему в некоторых аббревиатурах М - умножение стоит перед Д - делением (PEMDAS), а в других Д стоит перед М (BODMAS).

Порядок сложения и вычитания

Сложение и вычитание также имеют эквивалентный приоритет. Эти операции выполняются, как только они встречаются в выражении, слева направо. Например, в выражении 10 - 7 + 3 сначала нужно выполнить вычитание 10 - 7 = 3, а затем сложение 3 + 3 = 6. 10 - 7 + 3 = 6.

Порядок корней и экспоненты

Как было описано выше, операции умножения и деления, а также сложения и вычитания выполняются слева направо. Эти операции называются лево-ассоциативными. Корни и экспоненты, с другой стороны, являются право-ассоциативными, то есть выполняются справа налево.

Например, давайте решим следующее выражение: 2^3^1^2 или \$2^{3^{1^{2}}}\$.

Экспонента - это право-ассоциативная операция, поэтому мы начинаем решение с правой стороны.

Мы сначала вычислим 1^2=1, затем 3^1=3, и, наконец, 2^3=8. Этот порядок иногда называют "порядок сверху вниз", так как вы начинаете с самой верхней экспоненты и проходите путь "вниз".

Выражение можно переписать следующим образом:

2^3^1^2 = 2^(3^(1^2) = 2^(3^1) = 2^3 = 8

$$2^{3^{1^{2}}} = 2^{3^{1}} = 2^{3} = 8$$

Множественные скобки

Если выражение содержит несколько скобок, решение начинается с самой внутренней скобки и переходит к внешним скобкам. Обратите внимание, что если выражение внутри скобок также содержит несколько операций, они все равно выполняются в соответствии с порядком PEMDAS.

Пример из реальной жизни

На первый взгляд, порядок операций кажется сугубо математическим понятием, однако мы очень часто используем его в повседневной жизни, даже не замечая этого! Например, представьте, что вы заказываете пиццу с компанией друзей. Допустим, вы заказываете одну пиццу "Маргарита" за $15, одну пиццу "Кватро формаджи" за $16,50 и одну неаполитанскую пиццу за $14,50. У вас группа из 8 человек, и вам нужно рассчитать, сколько каждый из вас должен заплатить. Для этого вам нужно решить следующее выражение с помощью алгоритма PEMDAS:

(15 + 16,50 + 14,50)/8 = (31,50 + 14,50)/8 = (46)/8 = 46/8 = 5,75

Каждый из вас должен будет заплатить по $5,75.

Запоминание акронима

Для запоминания аббревиатуры PEMDAS используется множество фраз, самая распространенная из которых - “Please Excuse My Dear Aunt Sally” ("Прошу прощения у моей дорогой тети Салли"). Взяв первую букву каждого из этих слов, вы получите PEMDAS. Используйте эту фразу или придумайте свою собственную, например, "Фиолетовые эльфы делают скучные доступные сосиски!" (“Purple Elves Make Dull Affordable Sausages!”).