Калькулятор объема

Каждый твердый трехмерный объект занимает определенное пространство. Представьте пространство, которое занимает наш мобильный телефон, когда он лежит на столе, контейнер для хранения воды или просто футбольный мяч на площадке.

Мы можем определить объем как пространство, занимаемое объектом. Объем также может означать вместимость объекта. Вместо того чтобы думать о пространстве, которое занимает контейнер для воды, мы можем думать о емкости или количестве воды, которое контейнер может хранить.

Вычисление объема применяется в различных дисциплинах естественных наук и математике.

Калькулятор объема поддерживает несколько измерений при вычислении объема. Более того, калькулятор показывает используемую формулу вместе с пошаговым процессом вычисления. В этой статье будет дано простое, но достаточное объяснение объемов и калькулятора формулы объема с реальными примерами.

Единицы и измерения

Чтобы повысить надежность и точность наших суждений, нам нужна стандартная единица измерения. Для единообразия нам необходим стандартизированный набор единиц измерения, известных как стандартные единицы.

Единицей объема в СИ (Международной системе единиц) является кубический метр м³. Однако объемы некоторых небольших объектов могут быть записаны в более мелких единицах, таких как кубические сантиметры см³ или кубические миллиметры мм³, если объект слишком мал.

С другой стороны, пользователь может указать единицы измерения, которые лучше всего подходят для его задач. Калькулятор объема поддерживает две системы измерения: метрическую систему и британские и американские единицы. Пользователь может выбирать между следующими единицами измерения:

• Километры
• Метры
• Сантиметры
• Миллиметры
• Микрометры
• Нанометры
• Ангстремы
• Мили
• Ярды
• Футы
• Дюймы

Если мы используем формулы для вычисления объема, нам нужно работать с однородной единицей измерения. Поэтому, чтобы облегчить вычисления, мы обычно переводим все измерения в одинаковые единицы.

Например, вычислим объем цилиндра высотой 75 см и радиусом 0,5 м. Мы либо переведем высоту в метры и вычислим объем в кубических метрах, либо переведем радиус в сантиметры и найдем объем в кубических сантиметрах.

Как насчет того, чтобы дать определить высоту в дюймах а радиус в нанометрах? Калькулятор выполнит даже такое преобразование единиц и покажет шаги.

Работая с этим калькулятором, пользователь может выбрать другую единицу для каждого измерения, и калькулятор формулы объема вернет значение объема.

Рассмотрим пример, в котором высота цилиндра составляет 5 дюймов, а радиус - 10506070 нанометров. Сначала переходим в раздел калькулятора объема цилиндра и вводим значения радиуса и высоты с правильными единицами измерения из выпадающего списка.

Калькулятор выдает объем 2,6874044006564 дюймов³ (в кубических дюймах) и 4,4038667907438E+22 нанометров³ (в кубических нанометрах). Почему так? Поскольку именно эти единицы измерения мы использовали при вводе данных, калькулятор предполагает, что нам нужно вычислить объем в одной из этих единиц. Объем цилиндра показывает два способа вычисления вместе с переводом единиц измерения.

Калькулятор объема: Область применения, особенности и примеры

Методы вычисления объемов могут варьироваться от одной фигуры к другой. Некоторые геометрические фигуры используют стандартные арифметические формулы для вычисления их объема на основе свойств, таких как длина ребра или радиус.

Другие геометрические формы являются более сложными, и их объем не может быть вычислен прямо. В этом случае используются передовые вычислительные методы, такие как геометрическое интегрирование и методы конечных элементов. Калькулятор объема поддерживает широкий спектр объектов для вычисления их объема.

Сфера

Сфера - это трехмерный аналог круга; в качестве примера сферы можно привести любой круглый мяч (бейсбольный, баскетбольный и т.д.). Формула объема сферы имеет вид:

$$V_{сферы}=\frac{4}{3}π r^3$$

Мы можем заметить, что объем сферы зависит только от радиуса (r) сферы. Радиус определяется как расстояние между центром сферы и любой точкой на поверхности. Учитывая, что бейсбольный мяч имеет радиус r = 3,65 см, мы можем использовать калькулятор объема сферы, чтобы найти объем.

$$Объем = \frac{4}{3}πr^3 = \frac{4}{3} × π × 3,65^3 = 203,68882488692 \ сантиметров^3$$

Конус

Конус - это геометрическая фигура, состоящая из круглого основания и вершины, где все точки окружности основания соединены с вершиной отрезками прямых. Мы можем определить свойства конуса с помощью двух измерений: радиуса кругового основания (r) и высоты между центром основания и вершиной (h).

Объем конуса можно выразить как:

$$V_{конуса}=\frac{1}{3}{π r}^2h$$

r - радиус и h - высота конуса

Допустим, у вас день рождения, и вы хотите сделать конусообразные шляпы для вечеринки, которые затем будут использоваться в качестве рожков для попкорна в течение вечера.

Если вы решили сделать конусообразные шляпы радиусом 7,5 см и высотой 0,45 м, вы можете использовать калькулятор объема конуса, чтобы рассчитать объем каждой конусообразной шляпы.

0,45 метра = 45 сантиметров

$$Объем = \frac{1}{3}πr^2h = \frac{1}{3} × π × 7,52^2 × 45 = 2650,72 \ сантиметров^3$$

Это означает, что столько попкорна вы сможете положить в свои шляпы в конце вечеринки.

Куб

Кто не имел возможности поиграть с кубиком Рубика?

Это геометрический объект с 8 вершинами и 6 равными сторонами. Объем куба зависит только от длины его стороны a.

$$V_{куба}=a^3$$

Мы решили закупить для своего развивающего центра 30 кубиков Рубика, чтобы дети могли развивать свои когнитивные способности. Мы приехали в магазин и нашли подходящие по дизайну и цене кубики. Длина стороны кубика 5,7 сантиметров. К сожалению у продавца в магазине нашлась только одна коробка для того, чтобы уложить все кубики для удобной транспортировки. Коробка кубическая и длина стороны коробки 20 сантиметров. Поместятся ли все наши кубики в эту коробку?

Объем кубиков:

$$Объем = 5,7³ = 185,19\ сантиметров³$$

Общий объем 30 кубиков составит

$$185,19 × 30 = 5.555,7\ сантиметров³$$

Объем коробки:

$$Объем = 20³ = 8.000\ сантиметров³$$

Мы сравнили объем 30 кубиков с объемом коробки.

$$5.555,7 < 8.000$$

И оказалось, что кубики отлично поместятся в коробке.

Цилиндр

Цилиндр - это геометрическая призма с равномерным круговым основанием, как если бы несколько кругов были расположены друг на друге, чтобы сформировать эту геометрическую форму. Как и у конуса, свойства цилиндра определяются радиусом окружности (r) и высотой от нижней поверхности до верхней поверхности цилиндра (h). Объем цилиндра можно выразить как:

$$V_{цилиндра}=π r^2h$$

Давайте рассчитаем объем декоративной цилиндрической свечи, чтобы мастер смог понять, сколько парафина ему потребуется для ее изготовления. Итак, высота нашей свечи будет 15 сантиметров и диаметр 8 сантиметров. Из диаметра мы можем высчитать радиус, который в данном случае будет равен 4 сантиметрам. В итоге мы получаем:

$$Объем = πr^2h = π × 4^2 × 15 = 240π = 753,98 \ сантиметров^3$$

Прямоугольный резервуар

Прямоугольный резервуар - это вариант куба, где все грани перпендикулярны, но не обязательно равны. Этот геометрический объект определяется длиной (l) и шириной (w), которые определяют двумерный прямоугольник, а также высотой (h), которая создает трехмерное продолжение прямоугольника. Таким образом, объем прямоугольного резервуара можно записать следующим образом:

$$V_{прямоугольный\ резервуар}=l × w × h$$

Универсальным примером прямоугольного резервуара является транспортный контейнер. Стандартные размеры ISO транспортного контейнера составляют:

• Ширина = 2,43 м
• Высота 2,59 м
• Длина = 6,06 м или 12,2 м

Поскольку измерения являются стандартными в соответствии с ISO, объемы тоже стандартны. Подставьте результаты измерений в калькулятор объема прямоугольного резервуара, чтобы найти объем. Выполните вычисления для обоих значений длины, 6,06 м и 12,2 м, и у вас должны получиться такие результаты.

$$Объем = 6,06 × 2,43 × 2,59 = 38,139822\ метров³$$

и

$$Объем = 12,2 × 2,43 × 2,59 = 76,78314\ метров³$$

Более сложные объемные геометрические фигуры

Другие геометрические фигуры комбинируются с основными геометрическими фигурами. Каков объем этой фигуры?

Мы видим, что объект состоит из цилиндра и конуса сверху. Поэтому можно сказать, что объем объекта равен сумме объема цилиндра и объема конуса:

$$V_{объекта}=V_{цилиндра}+V_{конуса}$$

И цилиндр, и конус имеют диаметр 4 см. Таким образом, мы можем сказать, что $r_{цилиндра}=r_{конуса}=\frac{4}{2}=2\ см$.

Более того,

$$h_{объекта}=h_{цилиндра}+h_{конуса}$$

Учитывая, что

$$h_{объекта}=10\ см$$

и

$$h_{конуса}=3\ см$$

мы можем интерпретировать, что

$$h_{цилиндра}=7\ см$$

Теперь мы можем подставить эти значения в калькулятор объема следующим образом:

$$V_{объекта}=V_{цилиндра}+V_{конуса}=87,96\ см^3+12,56\ см^3$$

$$V_{объекта}=100,52\ см^3$$

Этот пример поможет лучше понять некоторые из будущих геометрических форм, которые поддерживает калькулятор объема.

Капсула

Капсула - это одна из наиболее распространенных форм медицинских таблеток. Пользователь может использовать предыдущий пример для понимания того, что капсула состоит из цилиндра с двумя полусферами на двух противоположных поверхностях.

Два полушария могут складываться в одну сферу, и можно сказать, что объем капсулы - это сумма объема цилиндра и объема сферы.

$$V_{капсулы} = πr^2h + \frac{4}{3}πr^3 = πr^2(\frac{4}{3}r + h)$$

Благодаря калькулятору объема капсулы не нужно вычислять объем цилиндра и прибавлять его к объему сферы, чтобы вычислить объем капсулы. Пользователь может напрямую ввести высоту и радиус, а калькулятор выдаст объем капсулы.

Фармацевты, которые анализируют, разрабатывают и производят лекарства, всегда пытаются найти оптимальные объемы капсул. В капсуле должно храниться необходимое количество лекарства, поэтому ученые варьируют размеры капсулы (высоту и радиус), чтобы соответствующим образом отрегулировать объем.

Сферическая шапка

В предыдущем примере полусфера была названа половиной сферы. Между тем, сферическая шапка - это часть сферы, когда сфера рассечена плоскостью. Полусфера - это частный случай сферической шапки, когда сфера делится на две равные части. Таким образом, объем полусферы составляет половину объема сферы.

На рисунке ниже показан пример сферической шапки, где (r) - радиус основания, (R) - радиус сферы, а (h) - высота сферической шапки. Между этими переменными существует взаимосвязь. Таким образом, достаточно знать две из этих величин, чтобы вычислить третью.

• Дано r и R; $h=R±\sqrt{R^2+r^2}$
• Дано r и h; $R=\frac{h^2+r^2}{2h}$
• Дано R и h; $r=\sqrt{2Rh\ -h^2}$

где:

• r - радиус основания,
• R - радиус сферы,
• h - высота сферической шапки.

Объем сферической шапки можно записать следующим образом:

$$V_{сферическая\ шапка}=\frac{1}{3}π h^2(3R-h)$$

Чтобы воспользоваться калькулятором, достаточно ввести две из трех переменных сферической шапки. Например, если учесть, что R = 1м и r = 0,25м, калькулятор найдет два возможных объема; 0,00313 м³ и 4,1856 м³. Почему так?

Вспоминая следующее

$$h=R±\sqrt{R^2+r^2}$$

мы видим, что при заданных значениях r и R, h может иметь два значения

$$h_1=R+\sqrt{R^2+r^2}$$

и

$$h_2=R-\sqrt{R^2+r^2}$$

Это объясняет разное значение объема при использовании $h_1$ и $h_2$.

Кроме того, неравенство R ≥ r должно выполняться всегда, иначе калькулятор выдаст сообщение об ошибке: "Радиус основания не может быть больше радиуса шара". Эта ошибка поможет в том случае, если пользователь перепутает значения R и r.

Усечённый конус

Мы можем получить эту форму, разрезав конус горизонтальным срезом параллельно его круговой поверхности. В результате получаются две круговые и две параллельные поверхности.

Объем усеченного конуса можно записать как:

$$V_{усеченный\ конус}=\frac{1}{3}π h(r^2+rR+R^2)$$

Где h - высота между центрами нижней и верхней поверхностей, r - радиус верхней поверхности, а R - радиус нижней поверхности, такой, что R ≥ r.

Представьте, что вы зашли в кондитерскую и увидели торт, на котором написано, что он содержит 35% растопленного шоколада.

Если бы вы были настоящим энтузиастом математики и хотели бы перевести это в математическую задачу, вас мог бы заинтересовать объем шоколада внутри вашего торта. Что ж, измерьте верхний и нижний радиус вместе с высотой, чтобы вычислить объем всего торта.

Предположим, что размеры торта r = 16 см, R = 20 см и h = 10 см.

Тогда объем торта можно найти, просто подставив эти значения в калькулятор для расчета объема усеченного конуса.

$$Volume=\frac{1}{3}π h(r^2+rR+R^2)=\frac{1}{3}π 10(16^2+16×20+20^2)= 10220,648099679 \ сантиметров^3$$

Кроме того, 35% от 10.220,65 см³ составляет около 3.577,23 см³ шоколада.

Эллипс

Когда сфера деформируется путем направленного масштабирования, получается поверхность, известная как эллипс. Эллипс можно представить как растянутую сферу, в которой расстояния между центром эллипсоида и различными точками на поверхности не равны. Таким образом, эллипс имеет три оси, а объем эллипса определяется относительно радиуса от центра до каждой из этих осей. Три значения радиусов обозначаются как a, b и c.

Мы всегда думаем о круглых сферах, когда говорим о мячах, но существуют и мячи в форме эллипса! Посмотрите на мяч для регби. Его размеры составляют a = 9,3 см, b = 9,3 см и c = 14,3 см.

Объем эллипса задается как:

$V_{эллипс}=\frac{4}{3}π abc$

Порядок a, b и c не важен; ничего страшного, если вы их перепутаете.

Используя калькулятор объема эллипса, мы можем получить объем нашего мяча для регби.

$$Объем=\frac{4}{3}π abc=\frac{4}{3}× π × 9,3 × 9,3 × 14,3 = 5180,73 \ сантиметров^3$$

Квадратная пирамида

Упоминание о пирамидах может заставить вас вспомнить о древних пирамидах Египта. Как следует из названия, квадратная пирамида состоит из квадратного основания с вершиной, где точки на окружности квадрата основания соединены с этой вершиной. Объем можно рассчитать следующим образом:

$$V_{квадратная\ пирамида}=\frac{1}{3}a^2h$$

При этом a - это ребро основания квадрата, а h - высота от центра основания квадрата до вершины.

Возьмем размеры пирамиды Хеопса в том виде, в котором она была построена изначально: h = 146,6 м и a = 230,33 м. Объем пирамиды Хеопса можно рассчитать следующим образом:

$$Объем=\frac{1}{3}a^2h = \frac{1}{3}230,33^2 × 146,6 = 2.592.469,95 \ метров^3$$

Труба

В отличие от цилиндра, труба имеет внешний и внутренний диаметр. Таким образом, объем трубы должен учитывать разницу в диаметрах.

$$V_{труба}=π\frac{d_1^2-d_2^2}{4}l$$

Как вы уже догадались, d₁ и d₂ - это внешний и внутренний диаметры трубы соответственно. l - это длина трубы.

Давайте рассчитаем с помощью формулы объем бетонных колец для колодца, который мы собираемся выкопать на своем дачном участке. Высота нашего кольца 0,89 метра, внешний диаметр 1,16 метра, а внутренний диаметр 1 метр.

Таким образом, у нас получится следующий расчет:

$$Объем=π\frac{1,16^2-1^2}{4} × 0,89 = 0,076896 π = 0,24\ метра^3$$