Калькулятор остатка от деления

Операция модуло (modulo) - это метод нахождения остатка от операции деления. Особенностью операции modulo является то, что она возвращает остаток в виде целого числа.

Представьте, что у вас трое детей. Вы покупаете коробку конфет, в которой их 20. Вы хотите разделить все конфеты поровну и справедливо между своими детьми. А оставшиеся конфеты съесть самим, не разрезая и не ломая их. Ваши дети еще учатся в школе. Поэтому вы можете сначала определить остаток, оставшийся после деления, и съесть свое количество конфет.

Это тот случай, когда можно использовать оператор modulo. Он также может быть представлен в виде знака % или mod. Для операций с небольшими числами вы можете выполнять вычисления в уме. Если вы работаете с большими числами, вам будет удобнее использовать калькулятор модуля.

Уравнение можно представить следующим образом:

Делимое = (Частное × Делитель) + Остаток

В нашем случае

• Делитель - 20 (общее количество конфет).
• Делитель - 3 (количество детей).
• Частное 6 (количество конфет для каждого ребенка).
• Остаток - 2 (количество конфет, которые вы можете взять для себя).

Если вы используете операцию модуло, вы можете записать это в следующем виде:

x % y = r

или

x mod y = r

где x - делимое, y - делитель, а r - остаток от деления.

В нашем случае,

20 % 3 = 2

Расчеты без калькулятора модуло

В качестве примера рассмотрим конкретный случай.

Ваян живет на Бали и строит небольшой гостевой дом с шестью жилыми комнатами. Он собирается облицевать ванные комнаты плиткой. Его сосед, Геде, который уже закончил строительство своего отеля, предлагает Ваяну значительную скидку на покупку оставшейся плитки.

Сосед насчитал на своем складе 15 коробок, в каждой из которых 4 плитки (60х60 см) и две плитки отдельно. Таким образом, всего 62 плитки. И Геде хочет продать все плитки сразу.

Теперь Ваяну нужно подсчитать, сколько ванных комнат он сможет вымостить этой плиткой. И сколько плиток, возможно, останется неиспользованными.

Как найти модуль вручную без калькулятора оператора модуло?

Ваян измерил размер стандартной ванной комнаты в своем пансионе и понял, что ему нужно около 14 плиток на комнату.

Давайте проведем расчеты вручную!

1. Определите начальное число или дивиденды. В нашем случае это 62, или количество плиток, которые предлагает сосед.
2. Определите делитель. Это 14 - среднее количество плиток для стандартной ванной комнаты.
3. Делите делимое на делитель и округляйте результат до целого числа. 62 / 14 = 4,428571428571429 или 4. Таким образом, Ваян может использовать плитку для четырех ванных комнат.
4. Округленный результат деления умножьте на делитель. Получилось 4 × 14 = 56. Это будет количество плиток для четырех комнат.
5. Вычтите результат умножения из первоначального дивиденда. Это 62 - 56 = 6. Таким образом, у Ваяна остается шесть дополнительных плиток.

В упрощенном и сокращенном виде мы можем записать эту операцию как: 62 % 14 = 6 или 62 mod 14 = 6.

Ваян решил, что это хороший вариант, потому что он должен взять запас плитки примерно 10% на случай обрезки или недоразумений. А плитку для двух других ванных комнат он купит в местном строительном магазине.

Калькулятор модуло может выдать этот результат за считанные секунды.

Демонстрация принципа модуло на часах

Тип математики под названием "модульная арифметика" имеет дело с циклическими структурами. Самый простой способ представить это - циферблат с циклом 12. Для математика циферблат - это mod 12.

Если вы хотите узнать, можно ли разделить 251 час на дни без остатка, вы можете применить операцию 251 mod 24. Результат равен 11, так что ответ - нет! Мы можем ответить "да", только если результат равен 0.

Другой пример: Дэниел хочет поехать на автобусе из Атланты в Майами. Он отправляется в 13:00, и дорога занимает 15 часов. Сколько времени будет, когда он приедет? Это будет 1 + 15 mod 12, что равно 4. В его случае это будет 4 часа утра.

Использование модуло

Определение четных и нечетных чисел

Одно из самых простых применений оператора modulus - это определение четности или нечетности числа. Это возможно потому, что x % 2 всегда возвращает либо 0, либо 1. Четные числа всегда возвращают 0, потому что они делятся на 2, в то время как нечетные числа всегда возвращают остаток, равный 1.

Самый распространенный случай использования модуля в программировании - это когда вы печатаете таблицу в своем приложении и хотите чередовать цвета в строках. Возможно, вы захотите сделать их светло-голубыми и светло-серыми, поэтому вы проверяете модуло, чтобы узнать, находится ли он в четной или нечетной строке.

Преобразование единиц

Преобразование единиц измерения - это типичный пример практического использования операции модуло. Она обычно используется, когда мы хотим преобразовать меньшую единицу, например, минуты, дюймы или сантиметры, в большую единицу, например, часы, мили или километры. Десятичные или дробные числа не всегда помогают в таких ситуациях.

Например, если мы хотим узнать количество часов в 373 минутах, результат, выраженный как 6 часов и 13 минут, может быть более ценным, чем 6,21666666666666666666667 часов.

Стандартное деление (с округлением до ближайшего целого числа) определяет количество часов, а для учета оставшихся минут используется операция модуло. Если вы имеете дело со временем, расстоянием, давлением, энергией или хранением данных, вы можете использовать этот общий подход для преобразования единиц.

Определение високосного года

Еще один пример использования оператора модуло - определение високосного года.

Високосный год - это календарный год, содержащий дополнительный день в солнечном календаре. Дополнительный день в високосном году - 29 февраля.

1 января 45 года до н.э. римский диктатор Гай Юлий Цезарь ввел календарь, разработанный в Риме александрийскими астрономами. Календарь был основан на расчете, что астрономический год составляет приблизительно 365,25 дня (365 дней и 6 часов). Этот календарь был назван юлианским.

Чтобы уравнять шестичасовой сдвиг, Цезарь ввел високосный год. Три года подряд в нем было 365 дней, а в каждый год, кратный четырем, добавлялся один дополнительный день в феврале.

Однако со временем выяснилось, что одного этого правила недостаточно.

Средний тропический год (время между двумя весенними равноденствиями) точнее составляет 365 дней и 5 часов 49 минут. Разница между средним тропическим годом и годом по юлианскому календарю (365 дней и 6 часов) составляет около 11 минут. Так что за примерно 128 лет эти 11 минут могли сложиться в целый один лишний день.

Чтобы компенсировать накопившиеся ошибки и избежать подобного смещения в будущем, папа Григорий XIII в 1582 году реформировал календарь. Он добавил дополнительные правила для високосных лет. Високосные годы по-прежнему были кратны четырем, но исключения делались для тех, которые были кратны 100. Такие годы считались високосными только в том случае, если они также были кратны 400.

Правила определения вискокосного года стали следующими:

• Год, число которого кратно 400, является високосным.
• Остальные годы, число которых кратно 100, не являются високосными (например, 1700, 1800, 1900, 2100, 2200, 2300);
• Остальные годы, число которых кратно 4, являются високосными.
• Все остальные годы не являются високосными.

Так, 1700, 1800 и 1900 годы не являются високосными, так как их число кратно 100, а не кратно 400. Годы 1600 и 2000 являются високосными, так как они кратны 400.

Вернемся к нашей задаче.

Мы знаем, что:

• Если номер года mod 4 = 0, а номер года mod 100 ≠ 0, то это високосный год.
• Если номер года mod 400 = 0, то это високосный год
• В любом другом случае это не високосный год.

С помощью простого скрипта Python вы можете определить, является ли год високосным или нет. Это будет выглядеть следующим образом:

year = int(input('Enter year : '))

if (year%4 == 0 and year%100 != 0) or (year%400 == 0) :

	print(year, "is a leap year.")

else :

	print(year, "is not a leap year.")

Популярные применения оператора модуло в программировании включают:

• Определение того, является ли что-то четным или нечетным
• Выполнение определенной операции над каждым N-м элементом в списке
• Ограничение числа диапазоном
• Ротация через ограниченные варианты (круговой массив)
• Изменение числа на противоположное
• Преобразование линейных данных в матрицу
• Определение того, являются ли массивы повернутыми версиями друг друга
• Разбивка страниц

Генераторы случайных чисел

Модуло часто используется в компьютерной технике и телекоммуникационном оборудовании для создания контрольных чисел и получения случайных чисел в ограниченном диапазоне, например, конгруэнтный генератор случайных чисел. Деррик Генри Лемер предложил линейный конгруэнтный метод в 1949 году.

Линейно-конгруэнтный метод работает по формуле:

$$X_{n+1} = (a × X_n + c)\mod m$$

Где

• m - модуло,
• a - множитель,
• c - инкремент, и
• X₀ - начальное значение.

Например, для m = 11, X₀ = 9, a = 9, c = 9 мы получим следующую серию случайных чисел:

9, 2, 5, 10, 0, 9, 2, 5, 10, 0, 9

Криптография

Криптографы любят моду за то, что при использовании с очень большими числами можно создавать так называемые "односторонние функции". Эти специальные функции позволяют легко вычислить что-то в одном направлении, но не в противоположном.

Если 9 является результатом возведения в квадрат, вы можете легко определить, что исходным числом было 3. Вы можете представить себе весь процесс от начала до конца. Если вам скажут, что 9 - это результат mod 29, вам будет сложнее понять, что было на входе.

Криптографам нравится эта идея, потому что они могут использовать деление с остатком для генерации гигантских простых чисел для создания криптографических ключей.

Заключение

Пытаетесь ли вы равномерно распределить предметы на группы, узнать, делится ли число на другое число, или просто пытаетесь рассчитать время, модульная арифметика всегда пригодится. Во всех этих случаях остаток так же важен, как и делитель при делении.

Иногда решаемая задача проста и интуитивно понятна. Однако всегда лучше использовать онлайн калькулятор модуло, чтобы найти решение быстро и удобно.