Калькулятор размещений

Калькулятор размещений подсчитывает количество способов расположения количества n различных объектов, взятых за один раз в количестве r элементов. Он позволяет определить количество возможных вариантов расположения объектов в группах, где важен порядок расположения. Общее количество объектов, которые необходимо расположить, обозначается как n, а количество элементов в каждой группе как r.

Например, если мы хотим расположить буквы XYZ в группах по две буквы в каждой, то мы получим XY, XZ, YZ, YX, ZX и ZY: 6 способов.

Чтобы воспользоваться этим калькулятором, введите n, общее количество объектов, которые нужно расставить в определенном порядке, и введите r, количество элементов в каждой группе размещений, а затем нажмите кнопку "Рассчитать". С помощью кнопки "Очистить" вы также можете очистить калькулятор, чтобы ввести другой набор чисел.

Размещения

Размещения множества (permutations) - это расположение его членов в последовательности или определенном порядке. Если множество уже упорядочено, то это размещение его элементов. Для размещения важен порядок элементов. Например, размещения AB и BA - это две разные размещения. Количество размещений n объектов в выборках из r объектов обозначается как nPr.

Вычисление количества размещений зависит от того, как расположены объекты. Оно также зависит от того, разрешены ли повторения или нет. Если не указано иное, мы предполагаем, что при подсчете размещений повторения не допускаются. В этой статье мы рассмотрим примеры размещений без повторений.

Размещения следуют фундаментальному принципу счета. Он гласит, что если эксперимент состоит из k событий, где первое событие происходит $n_1$ раз, то второе событие происходит n₂ раз. И так далее, пока событие не произойдет nₖ раз. Число способов последовательного проведения эксперимента определяется произведением числа повторений отдельных событий, n₁ × n₂ × ... × nₖ.

Предположим, мы хотим узнать количество возможных расположений букв ABC без повторений в размещениях. Любая из букв может стоять первой, поэтому существует 3 способа поставить первую букву.

После установки первой буквы остается две буквы, и любая из них может быть установлена в качестве второй буквы, поэтому существует два способа установки второй буквы. После установки второй буквы останется только одна буква. Таким образом, существует только один способ установить третью букву.

Таким образом, согласно фундаментальному принципу счета, существует 3 × 2 × 1 = 6 способов расположить буквы ABC. Это ABC, ACB, BCA, BAC, CAB и CBA.

Факториал

Выше мы установили, что число размещений трех различных объектов равно 3 × 2 × 1 = 6. В общем случае, число размещений n объектов равно n × (n-1) × (n-2) × ... × 1.

Это означает умножение всех целых чисел от n до 1. Умножение всех целых чисел от целого числа, скажем n, до 1 называется факториалом и обозначается как ! (восклицательный знак).

Таким образом, n!= n × (n-1) × (n-2) × ... × 1, и называется факториалом n.

Заметим, что 0!=1 и 1!=1.

Пример размещений

Стандартный трек для забегов на Олимпийских играх обычно имеет 9 дорожек. Однако для забега на 100 метров дорожка 1 обычно не используется. 8 бегунов размещаются на дорожках со 2 по 9 в ряд. Сколькими способами можно расположить 8 бегунов на дорожках со 2 по 9?

Согласно фундаментальному принципу счета:

• любой из 8 бегунов получает дорожку 2,
• любой из оставшихся 7 бегунов может получить дорожку 3,
• любой из оставшихся 6 бегунов может получить дорожку 4,
• любой из оставшихся 5 бегунов может получить дорожку 5,
• любой из оставшихся 4 бегунов может получить дорожку 6,
• любой из оставшихся 3 бегунов может получить дорожку 7,
• любой из оставшихся 2 бегунов может получить дорожку 8,
• один оставшийся бегун получает дорожку 9.

Таким образом, общее количество возможных размещений 8 бегунов, которые могут быть расположены на 8 дорожках, составляет 8! = 8 × 7 × 6 × ... × 2 × 1 = 40.320 способов.

В калькуляторе размещений введите 8 в поле n (объекты) и 8 в поле r (выборка) и нажмите "Рассчитать", чтобы получить 40.320.

Размещения подмножеств

В предыдущих примерах мы рассмотрели размещения объектов, когда все объекты рассматриваются в размещениях. Но бывают ситуации, когда объекты располагаются в более мелких группах.

В этих случаях общее число объектов обозначается n, число объектов в группах (выборке) обозначается r, а число размещений определяется по формуле:

$$ₙPᵣ=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Эта формула используется для расчета размещений без повторений. И если нам нужно организовать в определенном порядке выборку r взятую из множества n.

Если мы рассчитываем количество вариантов, которыми мы можем организовать в определенном порядке и без повторений все элементы множества, мы можем использовать следующую формулу:

$$ₙPᵣ=n!$$

Пример

В приведенном выше примере мы рассмотрели количество возможных вариантов расположения всех восьми бегунов в забеге на 100 метров. Теперь в том же забеге разыгрываются три медали. Участник, занявший первое место в забеге, получает золотую медаль, а участники, занявшие второе и третье места, получают серебряную и бронзовую медали соответственно. Из 8 участников забега сколькими способами мы можем получить золотого, серебряного и бронзового медалистов?

Согласно фундаментальному принципу подсчета, любой из 8 бегунов может занять первую позицию. После того как первая позиция будет занята, останется семь бегунов, которые будут претендовать на вторую позицию. А после заполнения второй позиции шесть бегунов будут претендовать на третью позицию. Таким образом, общее число возможных размещений с первой по третью позиции из 8 бегунов составляет: 8 × 7 × 6 = 336

Мы используем формулу

$$ₙPᵣ=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

И мы получаем:

$$₈P₃=\frac{8!}{\left(8-3\right)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{8×7×6×5×4×\ldots×1}{5×4×\ldots×1}=8×7×6=336$$

В калькуляторе размещений введите 8 в поле n (объекты) и 3 в поле r (выборка) и нажмите "Рассчитать", чтобы получить 336.

Разница между размещениями и сочетаниями

Еще один важный метод расчета - сочетания (combinations). Сочетания - это различные способы выбора меньшего числа объектов, r, из большего общего числа объектов, n. Число сочетаний из r объектов из n объектов обозначается как ₙCᵣ.

В определении размещений мы упомянули, что в них важен порядок или расположение элементов. В этом и заключается разница между размещениями и сочетаниями, потому что в сочетаниях порядок не важен.

Так, например, мы сказали, что размещения букв XYZ в группах по две буквы будут следующими: XY, XZ, YZ, YX, ZX и ZY. То есть всего у нас окажется шесть размещений.

Однако сочетания букв XYZ в группах по две буквы каждая - это XY, XZ и YZ; три сочетания. Это потому, что в сочетаниях XY и YX считаются одинаковыми сочетаниями; то же самое с XZ и ZX, и то же самое с YZ и ZY. Следовательно, порядок расположения элементов не имеет значения при вычислении сочетаний.

Формула дает количество сочетаний r объектов из n объектов:

$$ₙCᵣ=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$$

Пример расчета сочетаний

В приведенном выше примере с бегунами мы получили количество способов, которыми можно выбрать первую, вторую и третью позиции из группы 8 бегунов. Предположим, мы хотим узнать количество способов, которыми можно выбрать 3 медалистов из группы 8 бегунов, не учитывая их позиции. Неважно, какое место займет человек - первое, второе или третье, главное, чтобы он выиграл медаль.

В этом случае используются сочетания, поскольку порядок медалей не имеет значения. Таким образом, мы решаем задачу с помощью формулы сочетаний:

$$ₙCᵣ = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Число способов выбрать троих медалистов из 8 бегунов определяется следующим образом:

$$₈C₃=\frac{8!}{3! × \left(8-3\right)!}=\frac{8!}{3! × 5!}=\frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1}=8×7=56$$

Примеры расчета размещений

1. Продюсер выпуска новостей может выбрать 3 из 5 гостей спикеров для своей аналитической программы. Порядок выступления гостей важен. Сколькими различными способами продюсер может организовать выступление гостей? Порядок важен и повторения не будут использоваться, поскольку один и тот же гость не может дважды выступить в одной и той же программе. Поэтому мы можем использовать формулу для размещений.

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₅P₃ = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60$$

Таким образом мы можем увидеть, что у продюсера есть 60 вариантов, которыми он может организовать выступление спикеров.

2. Ресторанный критик отобрал в городе 10 хороших заведений, подающих суши, чтобы составить из них рейтинг 3 лучших суши-ресторанов. Заведения должны быть представлены в порядке, отображающем место в рейтинге. Также одно и то же заведение не может появиться в рейтинге несколько раз. Таким образом, у нас удовлетворяются требования к размещениям - важен порядок и не должно быть повторений. Мы используем формулу для размещений:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₁₀P₃ = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 × 9 × 8 = 720$$

3. Когда мы говорим, что для размещений важен порядок, это не значит, что порядок должен быть численным от 1 до, например, 10 или любого другого числа. Порядок могут образовывать определенные объекты, между которыми мы распределяем наши элементы множества.

Например, возьмем менеджера компании по ремонту квартир. У него есть на сегодня четыре заказа на покраску помещений. Это офис визового агентства, склад на фабрике, магазин одежды и комната в частном доме. В компании есть шесть маляров. И каждый из них может поехать на 1 объект. А у оставшихся двоих будет выходной.

Эти объекты - офис визового агентства, склад на фабрике, магазин одежды и комната в частном доме представляют собой аналоги позиций 1, 2, 3, 4.

У менеджера будет:

• 6 претендентов, которых можно направить в офис,
• 5 оставшихся претендентов, которых можно будет направить на склад,
• 4 оставшихся претендента, которых можно будет направить в магазин,
• 3 оставшихся претендента, которых можно будет направить в комнату в частном доме.

Таким образом, интуитивно, мы можем описать количество вариантов как 6 × 5 × 4 × 3 = 360.

Нам заданы условия о том, что для нас важен порядок распределения маляров по объектам. При этом не допускаются повторения, то есть работа маляра на нескольких объектах в один день. Значит, мы можем применить уже использовавшуюся нами формулу размещений.

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$\frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 × 5 × 4 × 3 = 360$$

Получается, что есть 360 различных способов, которыми менеджер компании по ремонту домов может распределить заказы между имеющимися малярами в заданных условиях.