Калькулятор квадратичной формулы

Использование калькулятора квадратичной формулы

Этот калькулятор - простой в использовании инструмент, который решает квадратные уравнения. В алгебре квадратное уравнение - это любое уравнение, которое может быть записано в следующей форме:

ax²+bx+c=0

где

a≠0

Чтобы воспользоваться калькулятором квадратичных формул, введите значения a, b и c в соответствующие поля и нажмите "Вычислить". Значение a не может быть равно нулю, а для b и c допустимо введение нуля. Для вещественных и комплексных корней калькулятор будет использовать квадратичную формулу, чтобы определить все решения данного уравнения. После использования квадратичной формулы калькулятор также упростит полученный радикал, чтобы найти решения в их простейшей форме.

Решение квадратных уравнений с помощью квадратичной формулы

Любое квадратное уравнение можно решить с помощью квадратичной формулы. Чтобы воспользоваться квадратичной формулой, необходимо сначала привести данное уравнение к виду: ax²+bx+c=0. Затем решения можно найти следующим образом:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

Часть уравнения под квадратным корнем, b²-4ac, называется дискриминантом.

• Если дискриминант положительный, b²-4ac>0, то уравнение будет иметь два вещественных корня.
• Если дискриминант отрицательный, b²-4ac<0, то уравнение будет иметь два комплексных корня, так как квадратный корень из отрицательного числа является комплексным числом.
• Если дискриминант равен нулю, b²-4ac=0, то уравнение будет иметь только один корень.

Калькулятор квадратных уравнений покажет решения введенных уравнений и процесс нахождения этих решений. Калькулятор также вычислит дискриминант и покажет, является ли он положительным, отрицательным или равен нулю.

Практические примеры

Пример 1 (с действительными корнями)

Решим квадратное уравнение:

2x²+3x-2=0.

В данном примере a=2,b=3,c=-2.

Используя формулу квадратичного уравнения для этих значений, получаем:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-3±\sqrt{3^2-4(2)(-2)}}{2(2)}=\frac{-3±\sqrt{9--16}}{4}=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}$$

Дискриминант этого уравнения положительный, b²-4ac=25>0, поэтому уравнение будет иметь два вещественных корня.

Теперь упростим полученный радикал:

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}=\frac{-3±5}{4}$$

$$x=\frac{-3+5}{4}\ \ \ и\ \ \ x=\ \frac{-3-5}{4}$$

$$x=\frac{2}{4}\ \ \ и\ \ \ x=-\frac{8}{4}$$

$$x=\frac{1}{2}\ \ \ и\ \ \ x=-2$$

В итоге,

x=0,5

x=-2

Пример 2 (с комплексными корнями)

Решим следующее квадратное уравнение:

x²+2x+5=0

В данном примере a=1,b=2,c=5.

Используя квадратичную формулу для этих значений, получаем:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-2±\sqrt{2^2-4(1)(5)}}{2(1)}=\frac{-2±\sqrt{4-20}}{2}=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}$$

Дискриминант этого уравнения отрицательный, b²-4ac=-16<0, поэтому уравнение будет иметь два комплексных корня.

Теперь упростим полученный радикал:

$$x=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}=\frac{-2±4i}{2}=\frac{-2}{2}±\frac{4i}{2}=-1±2i$$

И наконец,

x=-1+2i

x=-1-2i

Пример 3 (с одним корнем)

Решим следующее квадратное уравнение:

3x²+6x+3=0

В данном примере a=3,b=6,c=3.

Используя квадратичную формулу для этих значений, получаем:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-6±\sqrt{6^2-4(3)(3)}}{2(3)}=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{6}=\frac{-6±\sqrt0}{6}$$

Дискриминант этого уравнения равен нулю, b²-4ac=0, следовательно, уравнение будет иметь один корень.

$$x=\frac{-6}{6}$$

И наконец,

x=-1

Вывод квадратичной формулы

Как было показано выше, с помощью квадратичной формулы можно решить абсолютно любое квадратное уравнение, независимо от того, является ли дискриминант положительным, отрицательным или равен нулю. Теперь давайте разберемся, как ее можно вывести. Знание основных принципов выведения формулы может оказаться очень полезным в том случае, если вы забудете саму формулу.

Алгоритм выведения квадратичной формулы достаточно прост и основан на процедуре возведения в квадрат. Чтобы вывести решения стандартного квадратного уравнения ax²+bx+c=0, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Итак, у нас есть уравнение:

ax²+bx+c=0

Перемещаем константу C в правую сторону уравнения:

ax²+bx=-c

2. Избавляемся от коэффициента A рядом с квадратным членом x². Для этого делим уравнение на A:

$$x²+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$

3. Прибавляем

$$(\frac{b}{2a})^2$$

к обеим сторонам уравнения:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

4. Левая часть теперь имеет формат x²+2dx+d². Это выражение можно переписать как (x+d)².

В нашем уравнении d выражается как

$$\frac{b}{2a}$$

Значит:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 = \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$$

Подставляем это в левую часть нашей формулы, а правую пока оставляем нетронутой:

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

Теперь корень x появляется в уравнении только один раз.

5. Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$$x+\frac{b}{2a}=± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

6. Переносим

$$\frac{b}{2a}$$

в правую часть уравнения:

$$x=-\frac{b}{2a} ± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

7. Умножаем правую часть уравнения на

$$\frac{2a}{2a}$$

$$x=\frac{-b ± \sqrt{-\frac{c}{a} × (2a)^2 + (\frac{b}{2a})^2 × (2a)^2}}{2a}$$

8. Упрощаем уравнение:

$$x=\frac{-b±\sqrt{-4ac+b²}}{2a}$$

9. В результате мы получаем квадратичную формулу:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

Интересные факты о квадратном уравнении

• Сумма двух корней квадратного уравнения равна

$$\frac{-b}{a}$$

Следовательно, если дискриминант квадратного уравнения b²-4ac равен нулю, то единственный корень уравнения можно найти как

$$\frac{-b}{2a}$$

• Произведение двух корней квадратного уравнения равно

$$\frac{c}{a}$$

• Термин "квадратичное" происходит от латинского слова "quadratus", что означает "квадрат". Уравнение было названо квадратичным, поскольку наибольшая сила переменной равна 2, то есть переменная "квадратная".

• Квадратичная формула в ее нынешнем виде была описана еще в 628 году нашей эры индийским математиком Брахмагуптой, который не использовал символы, а обсуждал решение с помощью слов. Однако Брахмагупта описал только одно из двух возможных решений, опустив важный знак ± перед квадратным корнем.

• Графиком квадратичной функции y=ax²+bx+c является парабола. Решения, или корни, квадратного уравнения - это координаты точек пересечения графика с осью x. Если уравнение имеет два действительных корня, то график пересекает ось x дважды. Если уравнение имеет только один корень, то график соответствующей параболы касается оси x только в максимуме или минимуме. Если уравнение не имеет действительных корней, то график соответствующей параболы вообще не пересекает ось x.

• Когда значение коэффициента при квадратичном члене a приближается к нулю, график соответствующей параболы становится более плоским, стремясь в конце концов стать прямой линией. Когда a=0, уравнение становится линейным, и его графическое изображение, очевидно, представляет собой прямую линию!

• Аналогично, когда a>0, парабола будет направлена вверх, если a<0, соответствующая парабола будет открыта вниз, а если a=0, "парабола" - плоская, то есть это прямая линия.

Квадратичные уравнения широко используются во всех областях науки. Например, в физике квадратичные уравнения используются для описания движения снаряда.