Калькулятор наклона

Калькулятор наклона

Калькулятор наклона — это простой онлайн-инструмент, позволяющий найти наклон прямой линии. В математике наклон линии определяется как изменение вертикальной координаты (y- координаты) относительно изменения горизонтальной координаты (x- координаты).

Используемые обозначения

Наклон обозначается буквой m. На графике выше графически представлены все остальные обозначения, используемые в калькуляторе. Калькулятор наклона может выполнять расчеты в двух разных сценариях:

1. Когда известны координаты двух точек на прямой. На графике две точки имеют координаты (x₁,y₁) и (x₂,y₂). В этом случае калькулятор найдет наклон линии, m.

2. Если известны координаты одной точки (x₁,y₁) расстояние d и наклон линии, калькулятор найдет координаты второй точки на линии, (x₂,y₂)

В обоих случаях калькулятор также вернет другие отсутствующие характеристики линии: изменение по горизонтали ∆x, изменение по вертикали ∆y, угол наклона θ, длину линии или расстояние, d.

Указания по использованию

Сначала определите известные значения и выберите подходящий калькулятор. Если известны координаты двух точек, выберите опцию «Если известны 2 точки».

Если у вас есть только координаты одной из точек, для выполнения расчетов вам потребуется знать расстояние d и наклон линии m. В этом случае выберите «Если известны 1 точка и наклон».

Если известны 2 точки

Введите известные координаты точек в соответствующие поля, затем нажмите «Рассчитать». Калькулятор предоставит следующие данные:

• наклон m,
• угол наклона θ,
• длину линии d,
• изменение по горизонтали ∆x,
• изменение по вертикали ∆y.

Калькулятор также покажет формулы, используемые для нахождения наклона и всех других характеристических значений линии. Калькулятор продемонстрирует соответствующее уравнение линии и схематически начертит линию для визуального представления.

Чтобы очистить все поля, нажмите «Очистить».

Если известна 1 точка и наклон

Введите в соответствующие поля известные координаты точки, расстояние и наклон. Обратите внимание, что вместо наклона вы можете ввести значение «угла наклона (тета или θ).» Значение θ должно быть указано в градусах. Необходимо указать только одно из этих значений (либо m, либо θ). Если введены и m, и θ, калькулятор проигнорирует значение θ и будет использовать для расчетов только наклон m.

Нажмите «Рассчитать». Калькулятор выдаст следующую информацию: координаты второй точки (x₂,y₂), изменение по горизонтали ∆x, изменение по вертикали ∆y, длина линии d. Если для расчетов использовался наклон (угловой коэффициент) m, калькулятор также вернет значение θ. Если для расчетов использовался угол наклона θ, в ответе будет представлено значение m. Также калькулятор продемонстрирует соответствующее уравнение линии и схематически начертит линию для визуального представления.

Чтобы очистить все поля, нажмите «Очистить».

Формула углового коэффициента

Как упоминалось выше, наклон линии определяется как изменение вертикальной координаты (координаты y) линии относительно изменения горизонтальной координаты (координаты x):

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=\frac{∆y}{∆x}=tanθ$$

Уравнение выше называется формулой углового коэффициента. Его можно использовать для нахождения наклона любой заданной линии, если известны координаты двух точек на линии. Наклон обычно обозначается как m, и используется для описания направления линии, а также ее крутизны:

• Если линия идет вверх слева направо, то y₂>y₁ когда x₂>x₁. Наклон всегда будет положительным, m>0. В этом случае говорят, что линия возрастает.
• Если линия идет сверху вниз слева направо, то y₂ < y₁ при x₂>x₁. Наклон будет отрицательным, m<0. В этом случае говорят, что линия убывающая.
• Если линия горизонтальна, то y₂=y₁ и y₂-y₁=0. Тогда наклон также будет равен нулю: m=0.
• Если линия вертикальная, то x₂=x₁ и x₂-x₁=0. Формула углового коэффициента иметь нуль в знаменателе, а наклон не определен.

Линейное уравнение

Любое линейное уравнение можно записать в следующем виде:

$$y=mx+b$$

Эта форма линейного уравнения называется уравнением с угловым коэффициентом. График этого уравнения будет представлять собой прямую линию, где m — наклон прямой, а b — координата пересечения графика с осью y. b иногда также называют точкой пересечения линии с осью y, так как y=b при x=0.

Когда координаты одной точки на линии и наклон известны, мы можем записать уравнение прямой в так называемое уравнение пучка прямых с центром в точке:

$$y-y₁=m(x-x₁)$$

Эта форма линейного уравнения удобна для нахождения точки пересечения линии по оси y.

Пример расчета

Предположим, мы знаем координаты двух точек на прямой.

Дано:

$$x₁=1$$

$$y₁=1$$

$$x₂=9$$

$$y₂=25$$

Найдем наклон этой линии:

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=\frac{∆y}{∆x}$$

$$m=\frac{25-1}{9-1}=\frac{24}{8}=3$$

$$m=3$$

Теперь давайте найдем другие характеристические значения линии. Мы знаем, что m=tanθ, поэтому угол наклона θ можно найти следующим образом:

$$\theta=\arctan{\left(m\right)}= arctan\frac{∆x}{∆y} = 71,565051177078°$$

Кроме того,

$$∆x=9-1=8$$

$$∆y=25-1=24$$

Расстояние d можно найти по теореме Пифагора. Она гласит, что квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов прямоугольного треугольника.

Применяя эту теорему к нашему треугольнику, мы получаем:

$$d^2=∆x2+∆y2$$

Таким образом,

$$d=∆x2+∆y2$$

$$d=\sqrt{8^2+{24}^2}=\sqrt{640}$$

$$d=25,298221281347$$

Чтобы найти точку пересечения линии по оси y, запишем линейное уравнение в форме пучка прямых с центром в точке, подставив наши заданные значения m, x₁ и y₁:

$$y-1=3\left(x-1\right)$$

$$y=3x-2$$

Следовательно, y=-2 есть точка пересечения прямой с осью y, или, другими словами, когда x=0, y=-2.

Если y=0:

$$x=\frac{2}{3}=0,66666666666667$$

На схеме демонстрируется соответствующая линия. В нашем случае наклон положительный, m>0, и мы видим, что линия увеличивается — она идет вверх слева направо. Также видно, что линия довольно крутая, так как угол наклона θ ≈ 72°.