Калькулятор сочетаний

В математике есть различные стратегии для определения количества способов выбора объектов из заданного множества. Сколькими способами мы можем выбрать r исходов из n возможностей? Это зависит от того, имеет ли порядок значение или нет. Может ли он повторяться?

Число способов выбрать r неупорядоченных исходов из n возможностей называется сочетанием (combination) и записывается как C (n, r). Она также известна как биномиальный коэффициент. Данный калькулятор позволяет вычислить сочетание r объектов из набора n объектов.

Правила использования калькулятора сочетаний

Для заданного набора объектов есть определенное количество способов расположить или выбрать некоторые, или все из них в соответствии с некоторым порядком или спецификацией. Калькулятор сочетаний вычисляет количество способов выбора r объектов из набора n объектов без повторений и когда порядок не имеет значения. Калькулятор требует две переменных:

• n = количество отдельных объектов для выбора;
• r = количество позиций для заполнения.

Существенным критерием для ввода данных в калькулятор сочетаний является то, что

$$0 ≤ r ≤ n$$

Если вы введете число r, которое больше, чем n, калькулятор выведет сообщение

"Пожалуйста, введите 0 ≤ r ≤ n".

Фундаментальный принцип расчета

Фундаментальный принцип счета помогает нам найти количество способов выполнения различных задач. Существуют два фундаментальных правила счета.

Правило суммы

Если первая задача может быть выполнена m способов, вторая задача может быть выполнена n способов, и если задачи не могут быть выполнены одновременно, то выполнение любой из этих задач может быть выполнено количеством способов равным (m + n).

Правило произведения

Если первая задача может быть выполнена m способами, а вторая задача может быть выполнена n способами и обе задачи могут быть выполнены одновременно, то существует (m × n) способов выполнения обеих задач одновременно.

Примеры

В кафетерии продаются 3 вида пирожков и 4 вида напитков. Среди них - пирожок с яблоками, с клубникой, с черникой. И апельсиновый, виноградный, вишневый и ананасовый сок. И напитки и пирожки продаются по цене 2 доллара. У вас есть с собой только 2 доллара и ни центом больше. То есть у вас есть 3 + 4 = 7 возможностей сделать какой-то определенный выбор.

Предположим, вы хотите подсчитать количество способов подбросить монету и бросить кубик. Поскольку у монеты две грани, количество способов бросить монету равно 2. Аналогично, есть 6 возможных способов бросить кубик. Поскольку вы можете выполнять обе задачи одновременно, есть 2 × 6 = 12 способов подбросить монету и бросить кубик.

Если вы хотите взять 2 карты из колоды в 52 карты без возвращения ее на место, есть 52 способа взять первую карту и 51 способ взять вторую. Следовательно, количество способов вытянуть две карты равно 52 × 51 = 2.652.

Пространства событий

Пространство событий - это перечень всех возможных исходов, обозначаемый заглавной буквой S. Пространство событий для одновременного подбрасывания монеты и бросания кубика таково:

S = {{H,1}, {H,2}, {H,3}, {H,4}, {H,5}, {H,6}, {T,1}, {T,2}, {T,3}, {T,4}, {T,5}, {T,6}}

Существует двенадцать возможных способов. Принципы расчета позволяют нам выяснить количество способов проведения проб без необходимости перечислять их все.

Сочетание

Число возможных способов выбрать r неповторяющихся исходов из n возможностей, когда порядок не имеет значения, называется сочетанием. Сочетание объектов записывается как C (n, r). Формула сочетания определяется как

$$C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Знак ! после цифры или буквы означает, что мы используем факториал какого-то числа. Например, n! - факториал числа n — или произведение натуральных чисел от 1 до n. Факториал 2! это 1 × 2. Факториал 3! это 1 × 2 × 3. Факториал 4! это 1 × 2 × 3 × 4. Факториал 5! это 1 × 2 × 3 × 4 × 5 и так далее. Факториал можно вычислять только для целых неотрицательных чисел.

Существенной характеристикой расчета сочетания по данной формуле является то, что повторение объектов не допускается, а порядок расположения не имеет значения.

Пример 1

Предположим, у вас есть набор из четырех чисел

{1, 2, 3, 4}

Сколькими способами можно скомбинировать два элемента из этого набора, если повторять один и тот же элемент в паре нельзя?

Если порядок расположения элементов имеет значение, мы получаем группы характерные для такого способа счета как размещение:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)

Если порядок не имеет значения - мы можем образовать пары, характерные для такого способа счета как сочетание:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)

Существует 6 возможных сочетаний. Вы можете использовать формулу, чтобы найти количество всех возможных сочетаний. Для данного примера n = 4, r = 2. Следовательно,

$$C(4,2)=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4 × 3 × 2 × 1}{(2× 1)(2× 1)}=\frac{24}{4}=6$$

Именно это рассчитывает калькулятор сочетаний.

Пример 2

Каковы могут быть сочетания букв A, B, C и D в группе из 3 букв? Существует 24 возможных варианта, если порядок важен. В комбинаторном счете порядок не имеет значения. Только первый ряд имеет значение, и существует 4 возможных сочетания.

Вместо того чтобы перечислять все возможные сочетания, мы можем подсчитать количество возможных сочетаний, порядок элементов в которых не важен, используя формулу, приведенную выше. Здесь имеется n = 4 объекта, и вы используете r = 3 за один раз. Следовательно,

$$C\left(n,r\right)=C\left(4,3\right)=\frac{4!}{\left(4-3\right)!3!}=\frac{4!}{1!3!}=4$$

Размещения

Размещение (permutation) определяет количество способов организации объектов, когда порядок их расположения важен. Формула для размещения при выборе r объектов из списка n объектов имеет следующий вид:

$$P\left(n,r\right)=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Две основные характеристики расчета размещений по этой формуле - это то, что повторение объектов не допускается, и то, что порядок объектов важен.

Пример 3

Предположим, что в собеседовании участвуют 4 кандидата. Задача отборочной комиссии - проранжировать кандидатов от 1 до 4. Вот возможные варианты:

• 1-й кандидат - есть 4 варианта выбора
• 2-й кандидат - есть 3 варианта выбора
• 3-й кандидат - есть 2 варианта выбора
• 4-й кандидат - есть только 1 способ выбора

Правило произведения дает общее число способов выбора, т.е. 4 × 3 × 2 × 1 = 24, что равно 4!. Допустим, кандидатами являются:

{A, B, C, D}

Примерное пространство событий, показывающее все возможные размещения, показано ниже:

Вместо того чтобы перечислять все возможные варианты расположения, как показано в таблице выше, мы можем подсчитать количество возможных вариантов расположения с помощью формулы размещений. В приведенном выше примере имеется n = 4 объекта, и вы берете r = 4 элемента за один раз. Следовательно,

$$P\left(n,r\right)=P\left(4,4\right)=\frac{4!}{\left(4-4\right)!}=\frac{4!}{0!}=24$$

Разница между сочетаниями и размещениями

Основное различие между сочетаниями и размещениями заключается в том, что для сочетаний не важен порядок расположения элементов, а в размещениях важен порядок элементов.