Калькулятор теоремы Пифагора

Этот калькулятор находит длину стороны правильного треугольника, если известны две другие стороны треугольника. Вычисления производятся на основе теоремы Пифагора.

Рекомендации по использованию

Введите известные длины сторон и нажмите "Вычислить". Калькулятор выдаст вам следующие значения:

• Длина третьей стороны.
• Значения углов, не равных 90°, в градусах и радианах.
• Площадь треугольника.
• Периметр треугольника.
• Длина высоты, перпендикулярной гипотенузе.

Калькулятор также вернет подробное решение, которое вы можете развернуть, нажав на "+ Показать шаги вычисления".

Обратите внимание, что поля ввода для каждой стороны включают в себя часть с целым числом и часть с квадратным корнем, так что вы можете удобно вводить значения типа 2√3, √3 и т.д.

Обратите также внимание, что значения a и b, катетов треугольника, должны быть короче значения c, гипотенузы. Чтобы очистить все поля, нажмите "Очистить".

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Теорема Пифагора может быть записана следующим образом:

a² + b² = c²,

где a и b - длины коротких сторон, или катетов, правильного треугольника, а c - длина самой длинной стороны, или гипотенузы. Приведенное выше уравнение можно описать следующим образом: квадрат a плюс квадрат b равен квадрату c.

Доказательство теоремы Пифагора

Докажем теорему Пифагора, сложив площади.

На изображении выше квадрат со стороной (a + b) состоит из квадрата со стороной c и четырех правильных треугольников со сторонами a, b и c. Давайте найдем площадь этого квадрата, используя две различные стратегии:

1. Площадь поверхности квадрата с длиной стороны (a + b) можно вычислить как (a + b)²:

A = (a + b)²

2. Такую же площадь можно найти как сумму площадей фигур, составляющих квадрат - площадь квадрата со стороной c и четырех площадей треугольника со сторонами a, b и c. Площадь квадрата со стороной c можно вычислить как c². Площадь правильного треугольника со сторонами a, b и c можно найти как (ab)/2. Следовательно,

A = c² + 4 × (ab)/2 = c² + 2ab

Поскольку оба этих расчета описывают одну и ту же площадь поверхности, мы можем приравнять их:

(a + b)² = c² + 2ab

Расширяя квадрат в левой части уравнения, получаем:

a² + 2ab + b² = c² + 2ab

Вычитая 2ab из обеих сторон уравнения, получаем:

a² + b² = c²

что и является искомым результатом.

Алгоритмы вычислений

Нахождение сторон правильного треугольника

Если даны две стороны правильного треугольника, то третью сторону можно найти с помощью теоремы Пифагора. Например, если даны стороны a и b, то длина стороны c может быть найдена следующим образом:

$$c=\sqrt{a²+b²}$$

Так же,

$$a=\sqrt{c²-b²}$$

и

$$b=\sqrt{c²-a²}$$

Нахождение углов правильного треугольника

Если известны все три стороны правильного треугольника, то углы, не равные 90°, можно найти следующим образом:

• ∠α = arcsin(a/c) или ∠α = arccos(b/c)
• ∠β = arcsin(b/c) или ∠β = arccos(a/c)

Здесь ∠α - это угол, противоположный катету 'a', ∠β - угол, противоположный катету 'b', а 'c' - гипотенуза. Выбор между arcsin и arccos зависит от того, какой катет (a или b) вы рассматриваете в отношении к углу. Используя arcsin, вы используете катет, противоположный углу, а с помощью arccos - прилежащий катет. Оба подхода допустимы и дадут правильные измерения углов в прямоугольном треугольнике.

Площадь правильного треугольника

Площадь правильного треугольника можно вычислить как 1/2 произведения его катетов:

A = 1/2 × (ab) = (ab)/2

Периметр правильного треугольника

Периметр правильного треугольника вычисляется как сумма всех его сторон:

P = a + b + c

Высота до гипотенузы

Если известны все три стороны правильного треугольника, то высоту до гипотенузы, h, можно найти следующим образом:

h = (a × b)/c

Примеры из реальной жизни

Теорема Пифагора широко используется в архитектуре и строительстве для вычисления необходимой длины деталей и для того, чтобы убедиться в правильности углов в построенных зданиях. Давайте рассмотрим пример применения теоремы.

Подгонка предметов

Представьте, что вы переезжаете и наняли грузовик для переезда длиной 4 метра и высотой 3 метра. У вас не так много громоздких предметов, но у вас есть лестница длиной 4,5 метра. Поместится ли ваша лестница в грузовик?

Решение

Поскольку длина лестницы, 4,5 метра, превышает длину грузовика, 4 метра, единственный способ, которым лестница может поместиться внутрь, - это диагональ. Чтобы выяснить, возможно ли это, нужно воспользоваться теоремой Пифагора и вычислить гипотенузу треугольника со сторонами, равными длине и высоте грузовика. Таким образом, в нашем случае a = 4, b = 3, и нам нужно найти c:

$$c=\sqrt{a²+b²}=\sqrt{4²+3²}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$

Гипотенуза треугольника с a = 4 и b = 3 равна c = 5. Следовательно, самый длинный предмет, который может поместиться в грузовик, равен 5 метрам. Длина вашей лестницы составляет 4,5 метра, поэтому она легко поместится!

Ответ

Да, лестница поместится.

Дополнительные расчеты

Данный онлайн-калькулятор также найдет некоторые дополнительные характеристики заданного треугольника. Давайте вычислим эти характеристики для треугольника с a = 4, b = 3, c = 5.

Площадь треугольника:

A = (ab)/2 = (3 × 4)/2 = 12/2 = 6

Периметр треугольника:

P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12

Высота до гипотенузы:

h = (a × b)/c = (3 × 4)/5 = 12/5 = 2,4

Угол, противоположный стороне a:

∠α = arcsin(a/c) = arcsin(4/5) = arcsin(0,8) = 53,13° = 53°7'48" = 0,9273 рад

Угол, противоположный стороне b:

∠β = arcsin(b/c) = arcsin(3/5) = arcsin(0,6) = 36,87° = 36°52'12" = 0,6435 рад