เครื่องคำนวนความชัน

เครื่องคำนวนความชัน

เครื่องคำนวณความชันเป็นเครื่องมือออนไลน์ที่ตรงไปตรงมาซึ่งช่วยให้คุณสามารถค้นหาความชันของเส้นตรงได้ ในทางคณิตศาสตร์ ความชันของเส้นถูกกำหนดให้เป็นการเปลี่ยนแปลงในพิกัดแนวตั้ง (พิกัด y) สัมพันธ์กับการเปลี่ยนแปลงในพิกัดแนวนอน (พิกัด x)

สัญกรณ์ที่ใช้

ความชันแทนด้วยตัวอักษร m แปลนด้านบนแสดงให้เห็นสัญลักษณ์อื่นๆทั้งหมดที่ใช้ในเครื่องคิดเลลขแบบกราฟิก ตัวค้นหาความชันสามารถทำการคำนวนได้ในสองสถานการณ์ที่แตกต่างกัน:

1. เมื่อทราบพิกัดของจุดสองจุดบนเส้นแล้ว บนกราฟ จุดทั้งสองมีพิกัด (x₁,y₁) และ (x₂,y₂) ในกรณีนี้ เครื่องคำนวณจะค้นหาความชันของเส้น m

2. หากเราทราบพิกัดของจุดหนึ่ง (x₁,y₁) ระยะทาง d และความชันของเส้น เครื่องคำนวนจะค้นหาพิกัดของจุที่สองบนเส้น (x₂,y₂)

ในทั้งสองสถานการณ์ เครื่องคำนวนจะคำนวนค่าอื่นๆที่ขาดหายไปของเส้นด้วย: การเปลี่ยนแปลงในแนวนอน ∆x การเปลี่ยนแปลงในแนวตั้ง ∆y มุมเอียง θ ความยาวของเส้น หรือระยะทาง d

คำแนะนำสำหรับการใช้งาน

ขั้นแรก ระบุค่าที่ทราบ แล้วเลือกเครื่องคำนวณที่เหมาะสม หากทราบพิกัดของจุดทั้งสอง ให้เลือก “หากทราบจุด 2 จุด”

หากคุณมีพิกัดของจุดใดจุดหนึ่งเท่านั้น ในการคำนวณ คุณจะต้องทราบระยะทาง d และความชันของเส้น m ในกรณีนี้ ให้เลือก “หากทราบ 1 จุดและความชัน”

หากทราบจุด 2 จุด

ใส่พิกัดที่ทราบของจุดในช่องที่เกี่ยวข้อง จากนั้นกด “คำนวน” เครื่องคำนวนจะส่งคืนข้อมูลต่อไปนี้:

• ความชัน m
• มุมเอียง θ
• ความยาวของเส้น d
• การเปลี่ยนแปลงแนวนอน ∆x
• การเปลี่ยนแปลงแนวตั้ง ∆y

เครื่องคำนวณยังจะแสดงสูตรที่ใช้หาความชันและค่าคุณลักษณะอื่นๆทั้งหมดของเส้นตรงอีกด้วย เครื่องคำนวณจะแสดงสมการที่สอดคล้องกันของเส้น และจะวาดเส้นตามแผนผังเพื่อแสดงภาพ

หากทราบ 1 จุดและความชัน

ใส่พิกัดที่ทราบของจุด ระยะทาง และความชันลงในช่องที่เกี่ยวข้อง โปรดทราบว่าแทนที่จะใส่ความชัน คุณสามารถใส่ค่าของ “มุมเอียง (ทีต้าหรือ θ)” ได้ ต้องใส่ค่า θ เป็นองศา ต้องใส่ค่าเหล่านี้เพียงต่าเดียวเท่านั้น (m หรือ θ) สมมติว่าทั้ง m และ θ ถูกใส่ ในกรณีนั้น เครื่องคำนวนจะไม่สนใจค่าของ θ และใช้เฉพาะความชัน m ในการคำนวน

กด “คำนวน” เครื่องคำนวนจะส่งคืนข้อมูลต่อไปนี้: พิกัดของจุดที่สอง (x₂,y₂) การเปลี่ยนแปลงแนวนอน ∆x การเปลี่ยนแปลงแนวตั้ง ∆y และความยาวของเส้น d หากใช้ความชัน m ในการคำนวณ เครื่องคำนวนก็จะคิดค่า θ ด้วย หากคุณใช้มุมเอียง θ ในการคำนวณ เครื่องคำนวนจะคิดค่า m ในคำตอบ นอกจากนี้ เครื่องคำนวนจะแสดงสมการที่สอดคล้องกันของเส้นและจะวาดเส้นตามแผนผังเพื่อแสดงภาพ

สมการความชัน

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น ความชันของเส้นถูกกำหนดให้เป็นการเปลี่ยนแปลงในพิกัดแนวตั้ง (พิกัด y) ของเส้นที่สัมพันธ์กับการเปลี่ยนแปลงในพิกัดแนวนอน (พิกัด x):

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=∆y∆x=tanθ$$

สมการข้างต้นเรียกว่าสูตรความชัน เราสามารถใช้มันเพื่อค้นหาความชันของเส้นตรงใดๆ หากทราบพิกัดของจุดสองจุดบนเส้นตรง ความชันมักเขียนแทนด้วย m ใช้เพื่ออธิบายทิศทางของเส้นและความชัน:

• หากเส้นขึ้นไปจากซ้ายไปขวา ดังนั้น y₂>y₁ เมื่อ x₂>x₁ ความชันจะเป็นค่าบวกเสมอ m>0 ในกรณีนี้ เราบอกว่าเส้นกำลังมีค่าเพิ่มขึ้น

• หากเส้นลงจากซ้ายไปขวา ดังนั้น y₂ < y₁ เมื่อ x₂ > x₁ ความชันจะเป็นลบ m < 0 ในกรณีนี้ เราบอกว่าเส้นกำลังมีค่าลดลง

• หากเส้นเป็นแนวนอน ดังนั้น y₂=y₁ และ y₂-y₁=0 ดังนั้นความชันจะเท่ากับศูนย์ด้วย: m=0

• หากเส้นเป็นแนวดิ่ง ดังนั้น x₂=x₁ และ x₂-x₁=0 สูตรความชันจะมีศูนย์ในตัวส่วน และความชันไม่สามารถกำหนดได้

สมการเส้นตรง

เราสามารถเขียนสมการเชิงเส้นใดๆในรูปแบบต่อไปนี้:

$$y=mx+b$$

สมการเชิงเส้นรูปแบบนี้เรียกว่าร฿ปแบบความชัน-จุดตัดแกนการวาดของสมการนี้จะเป็นเส้นตรง โดยที่ m คือความชันของเส้น และ B คือพิกัดที่กราฟตัดแกน y B บางครั้งเรียกอีกอย่างว่าจุดตัดแกน y ของเส้นตรง เนื่องจาก y=b เมื่อ x=0.

เมื่อทราบพิกัดของจุดหนึ่งบนเส้นและความชัน เราสามารถเขียนสมาการเส้นในรูปแบบที่เรียกว่าจุด-ความชันได้:

$$y-y₁=m(x-x₁)$$

สมการเชิงเส้นรูปแบบนี้มีประโยชน์ในการค้นหาค่าตัดแกน y ของเส้นตรง

ตัวอย่างการคำนวน

สมมติว่าเรารู้พิกัดของจุดสองจุดบนเส้นตรง

ที่ให้ว่า:

$$x₁=1$$

$$y₁=1$$

$$x₂=9$$

$$y₂=25$$

ขั้นแรกให้หาความชันของเส้นนี้ก่อน:

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=∆y∆x$$

$$m=\frac{25-1}{9-1}=\frac{24}{8}=3$$

$$m=3$$

ตอนนี้ เรามาค้นหาค่าลักษณธเฉพาะอื่นๆของเส้นกัน เรารู้ว่า m=tanθ ดังนั้นเราจึงสามารถหามุมเอียง θ ได้ดังนี้:

$$\theta=\arctan{\left(m\right)}=arctan∆x∆y= 71.565051177078°$$

นอกจากนี้

$$∆x=9-1=8$$

$$∆y=25-1=24$$

เราสามารถหาระยะทาง d ได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส โดยระบุว่ากำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของความยาวของขอของสามเหลี่ยมมุมฉาก

เมื่อใช้ทฤษฎีบทนี้กับสามเหลี่ยมของเรา เราจะได้:

$$d^2=∆x2+∆y2$$

ดังนั้น

$$d=∆x2+∆y2$$

$$d=\sqrt{8^2+{24}^2}=\sqrt{640}$$

$$d=25.298221281347$$

หากต้องการค้นหาค่าตัดแกน y ของเส้น ให้เขียนสมการเส้นในรูปแบบจุดตัด-ความชัน โดยแทนที่ค่าที่กำหนดของเราเป็น m, x₁ และ y₁:

$$y-1=3\left(x-1\right)$$

$$y=3x-2$$

ดังนั้น y=-2 คือค่าตัดแกน y ของเส้นตรง หรืออีกนัยหนึ่งคือ เมื่อ x=0, y=-2

หาก y=0:

$$x=\frac{2}{3}=0.66666666666667$$

ภาพร่างแสดงให้เห็นเส้นที่เกี่ยวข้อง ในกรณีของเรา ความชันเป็นบวก m>0 และเราจะเห็นว่าเส้นนั้นมีค่าเพิ่มขึ้น – มันขึ้นไปจากซ้ายไปขวา เรายังเห็นได้ว่าเส้นค่อนข้างชันเนื่องจากมุมเอียง θ ≈ 72°