เครื่องคำนวนทฤษฎีพีทาโกรัส

เครื่องคำนวนพีทาโกรัสนี้จะค้นหาความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากหากทราบอีกสองด้านของรูปสามเหลี่ยม การคำนวนจะดำเนินการตามทฤษฎีพีทาโกรัส

คำแนะนำสำหรับการใช้งาน

ป้อนความยาวด้านที่ทราบแล้วกด "คำนวณ" เครื่องคำนวนจะให้ค่าต่อไปนี้:

• ความยาวของด้านที่สาม
• ค่ามุมของมุมที่ไม่ใช่ 90° เป็นองศาและเรเดียน
• พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม
• เส้นรอบรูปของสามเหลี่ยม
• ความยาวของความสูงตั้งฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉาก

เครื่องคำนวนจะให้วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด ซึ่งคุณสามารถขยายได้โดยการกด "+ แสดงขั้นตอนการคำนวน"

โปรดทราบว่าช่องป้อนข้อมูลสำหรับแต่ละด้านประกอบด้วยส่วนของจำนวนเต็มและส่วนของรากที่สอง เพื่อให้คุณสามารถป้อนค่าต่างๆ เช่น 2√3, √3 ฯลฯ ได้อย่างสะดวก

โปรดสังเกตด้วยว่าค่าของ a และ b ซึ่งเป็นขาของสามเหลี่ยมนั้น ต้องสั้นกว่าค่าของ c ซึ่งเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก

ทฤษฎีพีทาโกรัส

ทฤษฎีพีทาโกรัสระบุว่าในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของความยาวของด้านขาของมุมฉาก

ทฤษฎีพีทาโกรัสสามารถเขียนได้ดังนี้:

a² + b² = c²,

โดยที่ a และ b คือความยาวของด้านที่สั้นกว่าหรือขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก และ c คือความยาวของด้านที่ยาวที่สุดหรือด้านตรงข้ามมุมฉาก สมการข้างต้นสามารถอธิบายได้ดังนี้: a กำลังสองบวก b กำลังสองเท่ากับ c กำลังสอง

ข้อพิสูจน์ทฤษฎีพีทาโกรัส

ลองพิสูจน์ทฤษฎีพีทาโกรัสด้วยการบวกพื้นที่กัน

ในภาพด้านบน รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน (a + b) ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน c และสามเหลี่ยมมุมฉากสี่รูปที่มีด้าน a, b และ c เรามาค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้โดยใช้สองกลยุทธ์ที่แตกต่างกันกัน:

1. พื้นที่ผิวของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้าน (a + b) สามารถคำนวณได้ดังนี้ (a + b)²:

A = (a + b)²

2. พื้นที่ผิวเดียวกันสามารถหาได้จากผลรวมของพื้นที่ผิวของรูปที่ทำให้เกิดสี่เหลี่ยมจัตุรัส ได้แก่ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน c และพื้นที่สี่ส่วนของสามเหลี่ยมที่มีด้าน a, b และ c พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน c สามารถคำนวณได้เป็น c² พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน a, b และ c สามารถหาได้จาก (ab)/2 ดังนั้น

A = c² + 4 × (ab)/2 = c² + 2ab

เนื่องจากการคำนวนทั้งสองนี้อธิบายพื้นที่ผิวเดียวกัน เราจึงสามารถเทียบเคียงได้:

(a + b)² = c² + 2ab

กระจายกำลังสองทางด้านซ้ายของสมการ เราจะได้:

a² + 2ab + b² = c² + 2ab

ลบ 2ab จากทั้งสองข้างของสมการ เราจะได้:

a² + b² = c²

ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่ต้องการ

อัลกอริธึมการคำนวน

การหาด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ถ้าให้ด้านสองด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก จะสามารถหาด้านที่สามได้โดยใช้ทฤษฎีพีทาโกรัส ตัวอย่างเช่น ถ้าให้ด้าน a และ b ไว้ ความยาวของด้าน c ก็จะหาได้ดังนี้:

$$c=\sqrt{a²+b²}$$

ในทำนองเดียวกัน

$$a=\sqrt{c²-b²}$$

และ

$$b=\sqrt{c²-a²}$$

การหามุมของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ถ้ารู้ด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉาก มุมที่ไม่ใช่ 90° ของสามเหลี่ยมจะพบได้ดังนี้:

• ∠α = arcsin(a/c) or ∠α = arccos(b/c)
• ∠β = arcsin(b/c) or ∠β = arccos(a/c)

โดยที่ ∠α คือมุมตรงข้ามขา 'a' ∠β คือมุมตรงข้ามขา 'b' และ 'c' คือด้านตรงข้ามมุมฉาก ทางเลือกระหว่างอาร์คไซน์และอาร์คคอสขึ้นอยู่กับขา (a หรือ b) ที่คุณกำลังพิจารณาโดยสัมพันธ์กับมุม เมื่อใช้อาร์คไซน์ คุณจะใช้ขาตรงข้ามทำมุม และเมื่อใช้อาร์คคอส คุณจะใช้ขาที่อยู่ติดกันทำมุม ทั้งสองวิธีใช้ได้และจะให้การวัดมุมที่ถูกต้องในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก

พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากสามารถคำนวณได้เป็น 1/2 ของผลคูณของขา:

A = 1/2 × (ab) = (ab)/2

เส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมมุมฉาก

เส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมมุมฉากจะคำนวนจากผลรวมของด้านทั้งหมด:

P = a + b + c

ระดับความสูงถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก

หากทราบด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉาก จะสามารถหาระดับความสูงถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก h ได้ดังนี้:

h = (a × b)/c

ตัวอย่างในชีวิตจริง

ทฤษฎีพีทาโกรัสใช้กันอย่างแพร่หลายในสถาปัตยกรรมและการก่อสร้างเพื่อคำนวนความยาวของส่วนประกอบที่จำเป็นและให้แน่ใจว่ามุมในอาคารที่สร้างขึ้นนั้นถูกต้อง ลองดูตัวอย่างการประยุกต์ใช้ทฤษฎี

ทดลองความเหมาะสมของวัตถุ

ลองนึกภาพว่าคุณกำลังขนย้าย และคุณได้จ้างรถบรรทุกขนย้ายที่มีความยาว 4 เมตร และสูง 3 เมตร คุณไม่มีสิ่งของขนาดใหญ่มากนัก แต่คุณมีบันไดซึ่งยาว 4.5 เมตร บันไดของคุณจะพอดีกับรถบรรทุกหรือไม่?

วิธีแก้

เนื่องจากบันไดยาว 4.5 เมตร เกินความยาวของรถบรรทุก 4 เมตร วิธีเดียวที่บันไดจะเข้าไปด้านในได้คือแนวทแยง เพื่อพิจารณาว่าเป็นไปได้หรือไม่ เราจำเป็นต้องใช้ทฤษฎีพีทาโกรัสในการคำนวณด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากับความยาวและความสูงของรถบรรทุก ดังนั้น ในกรณีของเรา a = 4, b = 3 และเราจำเป็นต้องหา c:

$$c=\sqrt{a²+b²}=\sqrt{4²+3²}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$

ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมที่มี a = 4 และ b = 3 คือ c = 5 ดังนั้น วัตถุที่ยาวที่สุดที่สามารถใส่เข้าไปในรถบรรทุกได้คือ 5 เมตร บันไดของคุณยาว 4.5 เมตร ดังนั้นมันจึงพอดี!

คำตอบ

ใช่ บันไดจะเข้าได้

การคำนวนเพิ่มเติม

เครื่องคำนวนออนไลน์นี้จะค้นหาคุณลักษณะเพิ่มเติมของรูปสามเหลี่ยมที่กำหนดด้วย คำนวนคุณลักษณะเหล่านี้สำหรับสามเหลี่ยมด้วย a = 4, b = 3 และ c = 5

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม:

A = (ab)/2 = (3 × 4)/2 = 12/2 = 6

เส้นรอบรูปของสามเหลี่ยม:

P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12

ระดับความสูงถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก:

h = (a × b)/c = (3 × 4)/5 = 12/5 = 2.4

มุมตรงข้ามกับด้าน a:

∠α = arcsin(a/c) = arcsin(4/5) = arcsin(0.8) = 53.13° = 53°7'48" = 0.9273 rad

มุมตรงข้ามกับด้าน b:

∠β = arcsin(b/c) = arcsin(3/5) =arcsin(0.6) = 36.87° = 36°52'12" = 0.6435 rad