เครื่องคำนวนสมการกำลังสอง

เครื่องคำนวนสมการกำลังสอง

สมการกำลังสองเป็นส่วนสำคัญของหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนและมหาวิทยาลัย ตัวอย่างเช่น การแก้สมการกำลังสองให้ข้อมูลต่างๆ เช่น อัตราการเปลี่ยนแปลง การกลับตัว และการกลับตัวของฟังก์ชัน การหาคำตอบของสมการกำลังสองต้องใช้ชุดการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตและเลขคณิต แม้ว่าโซลูชันจะมีรูปแบบมาตรฐาน แต่ก็ต้องใช้เวลาพอสมควรในการทำคณิตศาสตร์ด้วยตนเอง

เครื่องคำนวนสูตรกำลังสองออนไลน์เป็นเครื่องมือที่ใช้งานง่ายซึ่งช่วยให้ผู้ใช้แก้สมการกำลังสองได้ทันที เครื่องมือฟรีนี้ให้คำตอบและแสดงขั้นตอนที่ใช้ในการแก้สมการ ดังนั้น ผู้ใช้จะกำหนดแนวความคิดในการแก้ปัญหา ผลลัพธ์ที่เป็นตัวเลข และคำแนะนำทีละขั้นตอนตลอดการแก้ปัญหา

สมการกำลังสอง

สมการกำลังสองบางครั้งเรียกว่าฟังก์ชันกำลังสองหรือพหุนามดีกรีสอง เป็นสมการพีชคณิตที่มีรูปแบบทั่วไปเป็น ax²+bx+c=0 โดยที่ x เป็นตัวแปรที่ไม่รู้จักที่จะหา เงื่อนไข a และ b คือสัมประสิทธิ์ของ x² และ x ตามลำดับ ในขณะที่ C เป็นค่าคงที่ คำว่า "รูปสี่เหลี่ยม" หรือ "ระดับที่สอง" มาจากข้อเท็จจริงที่ว่าเลขชี้กำลังสูงสุดของตัวแปร x คือ 2 เช่นเดียวกับใน x² เราสามารถแสดงตัวอย่างสมการกำลังสองด้านล่างนี้ได้

$$2x²-4x+0.5=0$$

$$-3x²+\frac{1}{3}x+6=0$$

สมการ 2x²=0 ก็เป็นสมการกำลังสองเช่นกัน โดยมี b=0 และ c=0 อย่างไรก็ตาม 2x+3=0 ไม่ได้แสดงถึงสมการกำลังสองเนื่องจากไม่พบคำว่ากำลังสอง ax² ในสมการ ดังที่แสดงในตัวอย่างก่อนหน้านี้ ค่าของ A, B และ C อาจเป็นจำนวนเต็มบวก/ลบ หรือทศนิยม (เศษส่วน) โดยที่ a≠0

การแก้สมการกำลังสอง

จำนวนคำตอบที่เป็นไปได้ของสมการเท่ากับค่าเลขชี้กำลังสูงสุดในสมการ สมการกำลังสองสามารถมีคำตอบได้สูงสุดสองคำตอบในบริบทนี้ วิธีหนึ่งในการแก้ฟังก์ชันกำลังสองคือการใช้สูตรกำลังสองที่ระบุไว้ในสมการ (1)

$$x₁=\frac{-b+\sqrt{b²-4ac}}{2a}\ \ \ \ \ \ \ ;\ \ \ x₂=\frac{-b-\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$ (1)

คุณสามารถเขียนรูปแบบกะทัดรัดสำหรับสูตรกำลังสองได้ดังนี้:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

นี่เป็นวิธีแก้ปัญหาตรงไปตรงมาซึ่งผู้ใช้สามารถแทนค่า A, B และ C เพื่อรับค่า x₁ และ x₂ ตามค่าของการแบ่งแยกที่แสดงโดยคำภายใต้รากที่สอง b²-4ac จำนวนและลักษณะของการแก้ปัญหาจะเปลี่ยนไป เราสามารถหารือได้สามกรณี:

• หากดิสคริมิแนนต์เป็นบวก b²-4ac>0 ดังนั้นมีสองคำตอบที่แท้จริง (x₁≠x₂)
• หากดิสคริมิแนนต์เป็นศูนย์ b²-4ac=0 ดังนั้นมีหนึ่งคำตอบที่แท้จริง (x₁=x₂)
• หากดิสคริมิแนนต์เป็นลบ b²-4ac<0 ดังนั้นมีสองคำตอบที่เชิงซ้อน (x₁≠x₂)

เราจะให้ตัวอย่างของแต่ละกรณีในส่วนตัวอย่าง

ในเชิงกราฟิก บนระนาบพิกัด x-y โดยที่ y เป็นฟังก์ชันของ x ผู้อ่านสามารถมองเห็นคำตอบของฟังก์ชันกำลังสองเป็น พิกัด x ของจุดโดยที่ฟังก์ชัน y ตัดผ่าน แกน x

การใช้เครื่องคำนวนสูตรกำลังสอง

เครื่องคำนวนตัวแก้ปัญหากำลังสองสามารถแก้สมการกำลังสองทั้งหมดได้ โดยไม่คำนึงถึงลักษณะของวิธีแก้ปัญหา (จริงหรือซับซ้อน) เครื่องคิดเลขใช้อินพุตสามอินพุต: ค่าของ A, B และ C ในบางกรณี ผู้ใช้อาจต้องทำการปรับเปลี่ยนสมการบางอย่างก่อนที่จะใช้เครื่องคำนวน

ใน 2x² = x + 3 ผู้ใช้จะต้องย้ายพจน์จากด้านขวาไปด้านซ้าย ผลลัพธ์ที่ได้คือ 2x²-x-3=0 โดยที่ a = 2, b = -1 และ c = - 3

นอกจากนี้ เมื่อพิจารณาจาก 4(x²-0.2x)=1 ผู้ใช้จะต้องขยายวงเล็บโดยการเขียน 4x²-0.8x=1 จากนั้นย้ายเงื่อนไขทางด้านซ้ายมือไปทางด้านขวามือเพื่อใส่ สมการในรูปแบบทั่วไปคือ 4x²-0.8x-1=0 โดยที่ a = 4, b=-0.8 และ c=-1

ตัวอย่าง

ในส่วนนี้ สามตัวอย่างสามารถอธิบายกรณีที่เป็นไปได้สามกรณีของการแก้สมการกำลังสองโดยใช้เครื่องคำนวนสมการกำลังสอง

ตัวอย่างที่ 1: สองคำตอบที่แท้จริง

จำเป็นต้องค้นหาคำตอบของฟังก์ชันกำลังสอง y₁ ที่กำหนดเป็น y₁=x²-8x+12 และแสดงในรูปที่ 1

จุดมุ่งหมายคือการค้นหาพิกัด x ของจุดที่ฟังก์ชัน y₁ ตัดผ่าน แกน x หากมีอยู่

รูปที่ 1: พล็อตของ y₁=x²-8x+12

ขั้นแรก ฟังก์ชันจะเท่ากับศูนย์ (y₁ ถูกแทนที่ด้วย 0) จะได้ x²-8x+12=0 จะเห็นได้ว่าสมการสุดท้ายอยู่ในรูปแบบสมการกำลังสองมาตรฐาน โดยที่ a=1, b=-8 และ c=12 เราสามารถใช้เครื่องคำนวนสูตรสมการกำลังสองได้โดยตรง

การตรวจสอบค่าของดิสคริมิแนนต์ b²-4ac=(-8)²-4(1)(12)=16>0 ฟังก์ชันกำลังสองควรมีคำตอบจริงสองคำตอบ หลังจากคลิกปุ่มคำนวน เครื่องคำนวนจะให้คำตอบเชิงตัวเลขและขั้นตอนการแก้โจทย์โดยใช้สูตรกำลังสองของสมการ (1)

สิ่งสำคัญคือต้องเน้นว่าหลังจากป้อนค่า A, B และ C แล้ว เครื่องคำนวนจะแสดงสมการ ผู้ใช้อาจพิจารณาตรวจสอบว่าสมการที่แสดงนั้นเหมือนกับสมการในมือเพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดในการป้อนข้อมูล

• สมการ: x²-8x+12=0
• คำตอบ: x₁=2 and x₂=6
• ขั้นตอน:

$$x = \frac {-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a}=\frac{-(-8) ±\sqrt{(-8)^2-4×1×12}}{2×1}=\frac{8 ±\sqrt{16}}{2}=4 ±2=6 \ หรือ \ 2$$

วิธีแก้คือ x₁=2 และ x₂=6 เราสามารถตรวจสอบผลลัพธ์แบบกราฟิกได้โดยตรวจสอบจุดตัดของฟังก์ชันด้วย แกน x รูปที่ 2 แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันตัดผ่าน แกน x ในจุดที่กล่าวมาก่อนหน้านี้

รูปที่ 2: พล็อตของ y₁=x²-8x+12

ตัวอย่างที่ 2: หนึ่งคำตอบที่แท้จริง

เมื่อพิจารณาฟังก์ชันอื่น y₂-3x²+25=-4x²+10x ก่อนที่จะใช้เครื่องคิดเลข ขั้นตอนเริ่มต้นจะต้องแยก y₂ ไว้ด้านหนึ่งและรวบรวมพจน์อื่นๆทั้งหมดในอีกด้านหนึ่งเป็น y₂=-4x²+10x+3x²-25 การทำให้ y₂ เท่ากับศูนย์และดำเนินการทางคณิตศาสตร์ จะได้รูปแบบทั่วไปเป็น -x²+10x-25=0 โดยมี a=-1, b=10 และ c=-25

ดิสคริมิแนนต์เท่ากับศูนย์ b²-4ac=(10)²-4(-1)(-25)=0 ดังนั้น ผู้ใช้จึงคาดหวังคำตอบเพียงตัวเดียว จากนั้น เราสามารถใช้เครื่องคำนวนสูตรกำลังสองเพื่อค้นหา x₁=x₂=5

• สมการ: -x²+10x–25=0
• คำตอบ: x = 5
• ขั้นตอน:

$$x = \frac{-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a} = \frac{-10±{\sqrt{10^2 – 4 × (-1) × (-25)}}}{2×-1}=\frac{-10± \sqrt{0}}{-2} = 5$$

รูปที่ 3 แสดงพล็อตของ y₂ โดยที่ฟังก์ชันตัดผ่าน แกน x ณ จุดหนึ่ง

รูปที่ 3: y₂=-x²+10x-25

ตัวอย่างที่ 3: สองคำตอบที่เชิงซ้อน

สุดท้าย y₃=x²-4x+8 ถูกการศึกษาเพื่อแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันกำลังสองสามารถมีคำตอบที่ซับซ้อนได้อย่างไร รูปที่ 4 แสดงว่า y₃ ไม่ได้ตัด แกน x

รูปที่ 4: y₃=x²-4x+8

ดูที่ b²-4ac=(-4)²-4(1)(8)=-16<0 ซึ่งบ่งชี้ถึงการมีอยู่ของคำตอบเชิงซ้อนสองตัว แต่จำนวนเชิงซ้อนคืออะไร?

จำนวนเชิงซ้อนคือตัวเลขที่แสดงออกมาในรูปแบบของผลรวมของจำนวนจริงและจำนวนจินตภาพ และอยู่ในรูปของ a+ib

ในกรณีนี้ 'i' ในจำนวนเชิงซ้อนหมายถึงหน่วยจินตภาพ ซึ่งแสดงถึงรากที่สองของ -1

พจน์ A หมายถึงส่วนที่แท้จริงของจำนวนเชิงซ้อน (Re) ในทางกลับกัน ib คือจำนวนจินตภาพ (Im) โดยที่ i=√-1

รากที่สองจะมีจำนวนลบเมื่อพจน์ b²-4ac น้อยกว่าศูนย์ ดังนั้นการหารากที่สองของจำนวนลบจึงต้องใช้จำนวนเชิงซ้อน

กลับไปหาคำตอบของ x²-4x+8=0 เครื่องคำนวนจะแก้สมการและหา x₁=2+2i และ x₂=2-2i

• สมการ: x²–4x+8=0
• มีสองคำตอบที่เป็นไปได้: x=2±2i
• ขั้นตอน:

$$x = \frac{-b ± \sqrt{b² – 4ac}}{2a} = \frac{-(-4) ± \sqrt{(-4)^2 – 4 × 1 × 8}}{2 × 1} = \frac{4 ± \sqrt{-16}}{2} = 2 ± 2i$$

ขอบเขตการใช้งานและคำแนะนำ

เครื่องคำนวนสูตรกำลังสองได้รับการออกแบบมาสำหรับนักเรียนในโรงเรียนและมหาวิทยาลัยหรือใครก็ตามที่กำลังมองหาวิธีแก้ปัญหาอย่างรวดเร็วสำหรับฟังก์ชันกำลังสอง ฟังก์ชันกำลังสองสามารถพบได้ในด้านวิศวกรรม เศรษฐศาสตร์ เกษตรกรรม ฯลฯ

ในขณะที่การใช้เครื่องมือนี้ตรงไปตรงมา ผู้ใช้ควรจะสามารถดำเนินการทางคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐานเพื่อใส่สมการในรูปแบบกำลังสองมาตรฐาน ax²+bx+c=0 เพื่อใช้เครื่องมือได้ ยิ่งไปกว่านั้น เป็นการดีกว่า (ไม่ใช่ข้อกำหนดเบื้องต้น) ที่จะทำความคุ้นเคยกับจำนวนเชิงซ้อน เนื่องจากการแก้สมการกำลังสองอาจเป็นคู่ของจำนวนเชิงซ้อน

ผู้ใช้อาจสนใจใช้เครื่องมือการพล็อตเพื่อแสดงภาพฟังก์ชันและคำตอบ