ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นการวัดทางสถิติ

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นหนึ่งในหน่วยเมตริกที่ใช้กันมากที่สุดเพื่อระบุลักษณะสถิติของชุดข้อมูลที่กำหนด กล่าวง่ายๆ ก็คือ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือการวัดความกระจัดกระจายของชุดข้อมูล ด้วยการคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน คุณจะทราบได้ว่าตัวเลขนั้นอยู่ใกล้หรือไกลจากค่าเฉลี่ย หากจุดข้อมูลอยู่ไกลจากค่าเฉลี่ย แสดงว่าชุดข้อมูลมีความเบี่ยงเบนอย่างมาก ดังนั้น ยิ่งการกระจายข้อมูลมาก ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานก็จะยิ่งสูงขึ้น

เครื่องคำนวณนี้จะกำหนดค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของชุดข้อมูลที่กำหนด และแสดงขั้นตอนทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณ

กฎการใช้เครื่องคำนวณนี้

เครื่องคำนวณยอมรับอินพุตเป็นรายการตัวเลขที่คั่นด้วยตัวคั่น ตัวอย่างอินพุตที่เป็นไปได้จะแสดงอยู่ในตารางด้านล่าง

ตัวเลขสามารถคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค/เว้นวรรค/ขึ้นบรรทัด หรือผสมกัน และสามารถแทรกในรูปแบบแถวหรือคอลัมน์ก็ได้ สำหรับรูปแบบทั้งหมดที่แสดงในตารางด้านบน เครื่องคำนวณจะประมวลผลอินพุตเป็น 44, 63, 72, 75, 80, 86, 87 และ 89

เมื่อป้อนข้อมูลแล้ว ให้เลือกว่าจะเป็นข้อมูลตัวอย่างหรือข้อมูลประชากร แล้วกดตกลง เครื่องคำนวณจะแสดงพารามิเตอร์ทางสถิติห้าชุดของชุดข้อมูล ได้แก่ จำนวน (จำนวนการสังเกต) ค่าเฉลี่ย ผลรวมของค่าเบี่ยงเบนกำลังสอง ความแปรปรวน และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ปัญหาที่เครื่องคำนวณนี้ออกแบบมาเพื่อแก้ไข

เครื่องคำนวณได้รับการออกแบบมาเพื่อคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของชุดข้อมูลแยกกัน และให้ข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับทฤษฎีที่อยู่เบื้องหลังการคำนวณ

ข้อมูลอาจประกอบด้วยประชากรที่ประกอบด้วยการสังเกตที่เป็นไปได้ทั้งหมดในการทดลอง (ชนิดใดๆ ก็ตาม) ภายใต้เงื่อนไขที่ระบุ ในหลายกรณี ไม่สามารถสุ่มตัวอย่างสมาชิกประชากรแต่ละคนได้

ในทางปฏิบัติทางสถิติ เป็นเรื่องปกติที่จะทำงานกับกลุ่มย่อยของ 'ประชากร' ที่ใหญ่กว่า ซึ่งเราเรียกว่า 'ตัวอย่าง' เนื่องจากมักทำไม่ได้ในทางปฏิบัติหรือเป็นไปไม่ได้ที่จะรวบรวมข้อมูลจากบุคคลทุกคนในประชากร เราประมาณการหรืออนุมานเกี่ยวกับประชากรโดยอาศัยข้อมูลที่รวบรวมจากกลุ่มตัวอย่าง

เมื่อคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน สูตรที่เราใช้จะถูกปรับ ขึ้นอยู่กับว่าเรากำลังจัดการกับกลุ่มตัวอย่างหรือประชากรทั้งหมด การปรับเปลี่ยนนี้เกิดขึ้นจากปัจจัยที่เรียกว่า 'ระดับความเป็นอิสระ' สำหรับตัวอย่าง เราจะหารด้วย n - 1 (โดยที่ n คือขนาดตัวอย่าง) แทนที่จะหารด้วย n เมื่อคำนวณค่าความแปรปรวน ซึ่งจากนั้นจึงนำไปยกกำลังสองเพื่อหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน การแก้ไขนี้ชดเชยความจริงที่ว่าเราใช้ข้อมูลตัวอย่างเพื่อประมาณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร และช่วยให้แน่ใจว่าการประมาณการของเรายุติธรรม

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะวัดค่าการกระจายตัว/ค่าเบี่ยงเบน/ค่าความแปรปรวนโดยเฉลี่ยของชุดข้อมูลโดยสัมพันธ์กับค่าเฉลี่ย มักเขียนแทนด้วยตัวอักษรกรีก σ สำหรับประชากรหรือ s สำหรับตัวอย่าง ค่า σ หรือ s ที่มากขึ้นหมายถึงการกระจายตัวของจุดข้อมูลที่มากขึ้นจากค่าเฉลี่ยตัวอย่างและในทางกลับกัน

พิจารณาตัวอย่างชุดข้อมูลต่อไปนี้

(ชุด I)

11, 3, 5, 21, 10, 15, 20, 25, 13, 26, 27

(ชุด II)

12, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20 เมื่อแทนชุดข้อมูลเหล่านี้ลงในเครื่องคำนวณ เราจะได้ชุด I

• x̄=16 - ค่าเฉลี่ย
• s=8.3904708 - ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

สำหรับชุด II

• x̄=16 - ค่าเฉลี่ย
• s=2.3664319 - ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ในชุด I ตัวเลขเบี่ยงเบนไปจากค่าเฉลี่ยตัวอย่างอย่างมีนัยสำคัญ (s=8.39) ในขณะที่ชุด II ค่าความแปรปรวนมีน้อย (s=2.36) เมื่อเปรียบเทียบกับชุด I

สูตรคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

สูตรนี้จะใช้เมื่อมีการวิเคราะห์ค่าทั้งหมดของประชากร

$$σ = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-μ)^2}{N}}$$

• σ คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร
• xᵢ คือมูลค่าของมูลค่าส่วนบุคคลของประชากร
• μ คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากร
• n คือขนาดของประชากร

สูตรด้านล่างนี้ใช้เมื่อมีประชากรจำนวนมากและมีเพียงตัวอย่างเท่านั้นที่นำมาวิเคราะห์

$$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}$$

• s คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง
• xᵢ คือค่าของค่าตัวอย่างแต่ละรายการ
• x̄ คือค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่าง
• n คือขนาดตัวอย่าง

การคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ขั้นตอนต่อไปนี้เกี่ยวข้องกับการคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ขั้นตอนที่ 1: คำนวณตัวอย่าง/ค่าเฉลี่ยประชากร คือผลรวมของจุดข้อมูลทั้งหมดหารด้วยจำนวนนับ N หรือ n เช่น

ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง:

$$\bar{x}=\frac{x₁+x₂+x₃+........+x_n}{n}$$

ค่าเฉลี่ยประชากร

$$\mu=\frac{x₁+x₂+x₃+........+x_N}{N}$$

ขั้นตอนที่ 2: คำนวณค่าเบี่ยงเบนโดยการลบตัวอย่าง/ค่าเฉลี่ยประชากรออกจากจุดข้อมูลแต่ละจุด เช่น

ตัวอย่างการเบี่ยงเบน:

$$(x₁-\bar{x}), (x₂-\bar{x}), (x₃-\bar{x})…………………… (x_n-\bar{x})$$

ค่าเบี่ยงเบนของประชากร:

$$(x₁-\ \mu), (x₂-\ \mu), (x₃-\ \mu)……………….. (x_N-\ \mu)$$

ขั้นตอนที่ 3: คำนวณค่าเบี่ยงเบนกำลังสองสำหรับจุดข้อมูลแต่ละจุด

ตัวอย่างค่าเบี่ยงเบนกำลังสอง:

$$(x₁-\bar{x})^2, (x₂-\bar{x})^2, (x₃-\bar{x})^2…………………… (x_n-\bar{x})^2$$

ค่าเบี่ยงเบนกำลังสองของประชากร:

$$(x₁-\ \mu)^2, (x₂-\ \mu)^2, (x₃-\ \mu)^2……………….. (x_N-\ \mu)^2$$

ขั้นตอนที่ 4: คำนวณผลรวมของค่าเบี่ยงเบนกำลังสองโดยการบวกค่าเบี่ยงเบนกำลังสองแต่ละตัว

ผลรวมตัวอย่างของค่าเบี่ยงเบนกำลังสอง:

$$SS=(x₁-\bar{x})^2+ (x₂-\bar{x})^2+(x₃-\bar{x})^2……………………+(x_n-\bar{x})^2$$

ผลรวมประชากรของค่าเบี่ยงเบนกำลังสอง:

$$SS=(x₁-\ \mu)^2+ (x₂-\ \mu)^2+(x₃-\ \mu)^2……………….+ (x_N-\ \mu)^2$$

ขั้นตอนที่ 5: หารผลรวมของการเบี่ยงเบนกำลังสองด้วยจำนวนดีกรีอิสระเพื่อให้ได้ค่าความแปรปรวน สำหรับประชากร ให้หารด้วย N และสำหรับกลุ่มตัวอย่าง ให้หารด้วย n-1

ความแปรปรวนตัวอย่าง

$$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(xᵢ - \bar{x})^2}{n - 1}$$

ค่าความแปรปรวนของประชากร

$$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(xᵢ - \mu)^2}{N}$$

เมื่อคำนวณค่าความแปรปรวนสำหรับตัวอย่าง เราสามารถสรุปได้ว่าเราจะใช้นิพจน์ในการคำนวณ:

$$\frac{(x-\bar{x})^2}{n}$$

ที่ซึ่ง

x̄ คือค่าเฉลี่ยตัวอย่าง และ n คือขนาดตัวอย่าง แต่ไม่ได้ใช้สูตรดังกล่าว

การแสดงออกดังกล่าวไม่สามารถประมาณค่าความแปรปรวนของประชากรได้ดีนัก เมื่อประชากรทั่วไปมีขนาดใหญ่มากและกลุ่มตัวอย่างมีขนาดเล็กมาก ความแปรปรวนที่คำนวณโดยสูตรนี้จะประเมินค่าความแปรปรวนของประชากรต่ำไป ซึ่งจะแสดงความแปรปรวนน้อยเกินไปเนื่องจากขาดข้อมูล ดังนั้นโดยใช้นิพจน์ n-1 เราจะเพิ่มค่าความแปรปรวนที่เป็นไปได้

แทนที่จะหารด้วย n เราจะหาค่าความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่างโดยการหารด้วย n-1 การดำเนินการนี้ให้ค่าผลต่างที่มากกว่าเล็กน้อย ซึ่งใกล้เคียงกับค่าจริงมากขึ้น

ขั้นตอนที่ 6: แยกรากที่สองของตัวเลขผลลัพธ์ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือรากที่สองของความแปรปรวน

ตัวอย่างค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

$$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}}$$

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานประชากร

$$\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\frac{\sum_{i}^{N}{{(x_i-\ \mu)}^2\ }}{N}}$$

ตัวอย่างการคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง

ให้เราพิจารณาคะแนนต่อไปนี้ของนักเรียน n=8 คนในรอบชิงชนะเลิศวิชาฟิสิกส์:

45, 67, 70, 75, 80, 81, 82 และ 84

เครื่องคำนวณจะคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่างโดยใช้ขั้นตอนต่อไปนี้:

ขั้นตอนที่ 1: คำนวณค่าเฉลี่ย.

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i} x_i}{n}=\frac{45+\ 67+\ 70+\ 75+\ 80+\ 81+\ 82+\ 84}{8}=73$$

ขั้นตอนที่ 2: คำนวณค่าเบี่ยงเบน

ขั้นตอนที่ 3: คำนวณกำลังสองของค่าเบี่ยงเบน

ขั้นตอนที่ 4: รวมค่าเบี่ยงเบนกำลังสอง.

$$SS=\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2=784+36+9+4+49+64+81+121}=1148$$

ขั้นตอนที่ 5: คำนวณค่าความแปรปรวนโดยการหารผลรวมของค่าเบี่ยงเบนยกกำลังสองด้วยดีกรีอิสระ (n-1) สำหรับประชากร ค่าความแปรปรวนในขั้นตอนนี้จะถูกหารด้วย N แทนที่จะเป็น N-1 ในกรณีนี้ เรามีตัวอย่าง นั่นคือ ข้อมูลเกี่ยวกับส่วนหนึ่งของประชากรนักศึกษา ไม่ใช่ประชากรทั้งหมด

$$s^2=\ \frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}=\frac{1148}{8-1}=164$$

ขั้นตอนที่ 6: หารากที่สองของค่าความแปรปรวนเพื่อหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

$$s=\sqrt{s^2}=\ \sqrt{164}=12.80$$

การประยุกต์ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

การกระจายตัวและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสามารถใช้เพื่อกำหนดการกระจายของข้อมูลได้ หากค่าความแปรปรวนหรือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานมีขนาดใหญ่ ข้อมูลก็จะกระจัดกระจายมากขึ้น ข้อมูลนี้มีประโยชน์เมื่อเปรียบเทียบชุดข้อมูลสองชุด (หรือมากกว่า) เพื่อพิจารณาว่าชุดใดมีตัวแปรมากกว่า (ส่วนใหญ่)

ในอุตสาหกรรม ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการควบคุมคุณภาพ ในการผลิตขนาดใหญ่ คุณลักษณะของผลิตภัณฑ์บางอย่างจะต้องอยู่ภายในช่วงที่กำหนดซึ่งสามารถเข้าถึงได้โดยการคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ตัวอย่างเช่น ในการผลิตน็อตและสลักเกลียว ค่าความแปรผันของเส้นผ่านศูนย์กลางจะต้องมีขนาดเล็ก มิฉะนั้นชิ้นส่วนจะไม่พอดีกัน

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานถูกนำมาใช้ในด้านการเงินและด้านอื่นๆ อีกมากมายเพื่อประเมินความเสี่ยง ในการวิเคราะห์ทางเทคนิค ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะใช้ในการสร้างเส้น Bollinger และคำนวณความผันผวน

นอกจากนี้ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานยังใช้ในด้านการเงินเป็นการวัดความผันผวน และในด้านสังคมวิทยา ก็ใช้ในการสำรวจความคิดเห็นของประชาชนเพื่อช่วยคำนวณความไม่แน่นอน

ค่าความแปรปรวนและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานใช้เพื่อกำหนดจำนวนค่าข้อมูลที่อยู่ภายในช่วงการแจกแจงที่กำหนด ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทของ Chebyshev แสดงให้เห็นว่าสำหรับการแจกแจงใดๆ ค่าข้อมูลอย่างน้อย 75% จะอยู่ภายใน 2 ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าเฉลี่ย

ลองยกตัวอย่างง่ายๆ เกี่ยวกับสภาพอากาศ สมมติว่าเราศึกษาอุณหภูมิรายวันของสองเมืองในภูมิภาคเดียวกัน เมืองหนึ่งอยู่บนชายฝั่งและอีกเมืองหนึ่งอยู่ในแผ่นดิน อุณหภูมิสูงสุดเฉลี่ยรายวันในสองเมืองนี้อาจจะเท่ากัน แต่ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน กล่าวคือ การแพร่กระจายของอุณหภูมิสูงสุดรายวันจะมากกว่าสำหรับเมืองที่ตั้งอยู่ในทวีปนี้ และเมืองชายฝั่งทะเลจะมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานน้อยกว่าของอุณหภูมิสูงสุดรายวัน

ซึ่งหมายความว่าเมืองในทวีปจะมีการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิอากาศสูงสุดในแต่ละวันของปีมากกว่าเมืองชายฝั่ง กล่าวคือเมืองชายฝั่งทะเลจะมีสภาพอากาศที่อุ่นขึ้น