เครื่องคำนวณการเรียงสับเปลี่ยน

เครื่องคำนวณการเรียงสับเปลี่ยนจะคำนวณจำนวนวิธีที่คุณสามารถจัดเรียงวัตถุ n ชิ้นที่แตกต่างกัน โดยสุ่มตัวอย่างองค์ประกอบ r ในแต่ละครั้ง มันบอกเราถึงจำนวนการจัดเรียงที่เป็นไปได้ของวัตถุในกลุ่มโดยลำดับของการจัดเรียงมีความสำคัญ จำนวนวัตถุทั้งหมดที่จะจัดเรียงจะแสดงด้วย n ในขณะที่จำนวนองค์ประกอบในแต่ละกลุ่มจะแสดงด้วย r

ตัวอย่างเช่น หากเราต้องการจัดเรียงตัวอักษร XYZ เป็นกลุ่มละสองตัว เราจะได้ XY, XZ, YZ, YX, ZX และ ZY: 6 วิธี

หากต้องการใช้เครื่องคำนวณนี้ ให้ป้อน n จำนวนวัตถุทั้งหมดที่จะจัดเรียงตามลำดับ และป้อน r จำนวนองค์ประกอบในแต่ละกลุ่ม จากนั้นคลิก "คำนวณ"

การเรียงสับเปลี่ยน

การเรียงสับเปลี่ยนของเซตคือการจัดเรียงสมาชิกตามลำดับหรือลำดับเฉพาะ หากเซตถูกจัดเรียงไปแล้ว จะเป็นการเรียงสับเปลี่ยนองค์ประกอบต่างๆ สำหรับการเรียงสับเปลี่ยน ลำดับขององค์ประกอบเป็นสิ่งสำคัญ ตัวอย่างเช่น การเรียงสับเปลี่ยน AB และ BA เป็นการเรียงสับเปลี่ยนที่แตกต่างกันสองวิธี จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของวัตถุ n ชิ้นในตัวอย่างของวัตถุ r แสดงเป็น nPr

การคำนวณจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนขึ้นอยู่กับวัตถุที่ถูกจัดเรียง นอกจากนี้ยังขึ้นอยู่กับว่าอนุญาตให้ทำซ้ำหรือไม่ เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น เราถือว่าไม่อนุญาตให้ทำซ้ำเมื่อคำนวณการเรียงสับเปลี่ยน

ในบทความนี้ เราจะดูตัวอย่างการเรียงสับเปลี่ยนที่ไม่มีการทำซ้ำ

การเรียงสับเปลี่ยนเป็นไปตามหลักการพื้นฐานของการนับ โดยระบุว่าหากการทดสอบประกอบด้วย k เหตุการณ์ โดยที่เหตุการณ์แรกเกิดขึ้น n₁ ครั้ง เหตุการณ์ที่สองจะเกิดขึ้น n₂ เหตุการณ์ จนกว่าเหตุการณ์จะเกิดขึ้น nₖ ครั้ง จำนวนวิธีที่การทดลองสามารถเกิดขึ้นตามลำดับนั้นกำหนดโดยผลคูณของจำนวนครั้งที่เหตุการณ์แต่ละรายการเกิดขึ้น n₁ × n₂ × ... × nₖ

สมมติว่าเราต้องการทราบจำนวนการจัดเรียงที่เป็นไปได้ของตัวอักษร ABC โดยไม่มีการเรียงสับเปลี่ยนซ้ำ ตัวอักษรตัวใดก็ได้สามารถมาก่อนได้ ดังนั้นการตั้งตัวอักษรตัวแรกจึงมี 3 วิธี

หลังจากตั้งค่าตัวอักษรตัวแรกแล้ว จะเหลือตัวอักษรสองตัว และตัวอักษรตัวใดตัวหนึ่งในสองตัวสามารถตั้งค่าเป็นตัวอักษรตัวที่สองได้ ดังนั้น การตั้งค่าตัวอักษรตัวที่สองจึงมีสองวิธี หลังจากตั้งค่าตัวอักษรตัวที่สองแล้ว จะเหลือตัวอักษรเพียงตัวเดียวเท่านั้น ดังนั้นจึงมีทางเดียวเท่านั้นที่จะตั้งตัวอักษรตัวที่สาม

ดังนั้น ตามหลักการนับเบื้องต้น จึงมีวิธีจัดเรียงตัวอักษร ABC เพียง 3 × 2 × 1 = 6 ได้แก่ ABC, ACB, BCA, BAC, CAB และ CBA

แฟกทอเรียล

ข้างต้น เราได้กำหนดไว้แล้วว่าจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของวัตถุ 3 ชิ้นที่แตกต่างกันนั้นกำหนดโดย 3 × 2 × 1 = 6 โดยทั่วไป จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของวัตถุ n ชิ้น (รวมกัน) จะได้จาก n × (n-1) × (n-2) × ... × 1

นั่นคือการคูณจำนวนเต็มทั้งหมดตั้งแต่ n ลงไปถึง 1 การคูณจำนวนเต็มทั้งหมดจากจำนวนเต็ม เช่น n ลงไปเหลือ 1 เรียกว่าแฟกทอเรียล และเขียนแทนด้วย ! (เครื่องหมายอัศเจรีย์)

ดังนั้น n!= n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 และเรียกว่า n แฟกทอเรียล

โปรดทราบว่า 0!=1 และ 1!=1

ตัวอย่างของการเรียงสับเปลี่ยน

ลู่วิ่งมาตรฐานสำหรับการแข่งขันกีฬาโอลิมปิกมักจะมี 9 เลน อย่างไรก็ตาม สำหรับการวิ่ง 100 เมตร มักจะไม่ใช้เลน 1 นักวิ่ง 8 คนจะถูกวางไว้บนเลน 2 ถึง 9 ติดต่อกัน นักวิ่ง 8 คนสามารถจัดบนเลน 2 ถึง 9 ได้กี่วิธี?

โดยหลักการนับพื้นฐาน:

• นักวิ่งคนใดคนหนึ่งจาก 8 คนจะได้เลน 2
• นักวิ่งที่เหลืออีก 7 คนสามารถเข้าเลน 3 ได้
• นักวิ่งที่เหลืออีก 6 คนสามารถเข้าเลน 4 ได้
• นักวิ่งที่เหลืออีก 5 คนสามารถเข้าเลน 5 ได้
• นักวิ่งที่เหลืออีก 4 คนสามารถเข้าเลน 6 ได้
• นักวิ่งที่เหลืออีก 3 คนสามารถเข้าเลน 7 ได้
• นักวิ่งที่เหลืออีก 2 คนสามารถเข้าเลน 8 ได้
• นักวิ่งที่เหลืออีกหนึ่งคนได้รับเลน 9

ดังนั้น การเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้ทั้งหมดของนักวิ่ง 8 คนที่สามารถจัดเรียงบน 8 แทร็กคือ 8! = 8 × 7 × 6 × ... × 2 × 1 = 40,320 วิธี

ในเครื่องคำนวณการเรียงสับเปลี่ยน ให้ป้อน 8 ลงในทั้งกล่อง n (วัตถุ) และ r (ตัวอย่าง) แล้วคลิกคำนวณเพื่อให้ได้ 40,320

การเรียงสับเปลี่ยนของเซตย่อย

ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราดูที่การเรียงสับเปลี่ยนของวัตถุเมื่อพิจารณาวัตถุทั้งหมดในการจัดเตรียม อย่างไรก็ตาม มีบางสถานการณ์ที่วัตถุถูกจัดเรียงเป็นกลุ่มเล็กๆ

ในกรณีดังกล่าว จำนวนวัตถุทั้งหมดจะถูกบริจาคโดย n จำนวนวัตถุในกลุ่ม (ตัวอย่าง) จะแสดงด้วย r และสูตรจะให้จำนวนการเรียงสับเปลี่ยน:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

สูตรนี้ใช้ในการคำนวณการเรียงสับเปลี่ยนโดยไม่ต้องทำซ้ำ และถ้าเราจำเป็นต้องจัดเรียงตามลำดับที่แน่นอน ตัวอย่าง r นำมาจากเซต n

หากเราคำนวณจำนวนตัวเลือกที่เราสามารถจัดเรียงองค์ประกอบทั้งหมดของเซตตามลำดับที่แน่นอนและไม่มีการซ้ำกัน เราสามารถใช้สูตรต่อไปนี้:

$$ₙPᵣ=n!$$

ตัวอย่าง

ในตัวอย่างข้างต้น เราดูจำนวนวิธีที่เป็นไปได้ในการจัดนักวิ่งทั้ง 8 คนในการวิ่ง 100 เมตร ตอนนี้ในการแข่งขันเดียวกัน มีสามเหรียญรออยู่ อันดับหนึ่งในการแข่งขันจะได้รับเหรียญทอง และนักวิ่งอันดับที่สองและสามจะได้รับเหรียญเงินและเหรียญทองแดงตามลำดับ จากนักวิ่ง 8 คนในการแข่งขัน เราจะได้เหรียญทอง เหรียญเงิน และเหรียญทองแดงได้กี่วิธี?

ตามหลักการนับเบื้องต้น นักวิ่งคนใดคนหนึ่งจาก 8 คนสามารถเข้ารับตำแหน่งที่หนึ่งได้ หลังจากตำแหน่งแรกเต็มแล้ว จะเหลือนักวิ่งเจ็ดคนเพื่อชิงตำแหน่งที่สอง และหลังจากตำแหน่งที่สอง นักวิ่งหกคนก็จะแข่งขันกันเพื่อชิงตำแหน่งที่สาม ดังนั้น จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตำแหน่งที่หนึ่งถึงสามจากนักวิ่ง 8 ตัวคือ: 8 × 7 × 6 = 336

เราใช้สูตร:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

และเราได้

$$₈P₃=\frac{8!}{\left(8-3\right)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{8×7×6×5×4×\ldots×1}{5×4×\ldots×1}=8×7×6=336$$

และในเครื่องคำนวณการเรียงสับเปลี่ยน ให้ป้อน 8 ลงในช่อง n (วัตถุ) และ 3 ในช่อง r (ตัวอย่าง) แล้วคลิก "คำนวณ" เพื่อให้ได้ 336

การเรียงสับเปลี่ยนและการรวมกัน: ความแตกต่าง

เทคนิคการนับที่สำคัญอีกอย่างหนึ่งคือการรวมกัน การรวมกันเป็นวิธีการต่างๆ ที่สามารถเลือกวัตถุ (ตัวอย่าง) จำนวนน้อยกว่า r จากวัตถุจำนวนมากได้ n จำนวนการรวมกันของวัตถุ r จากวัตถุ n รายการเขียนแทนด้วย ₙCᵣ

ในคำจำกัดความของการเรียงสับเปลี่ยน เราได้กล่าวถึงลำดับหรือการจัดการเป็นสิ่งสำคัญ นั่นคือความแตกต่างระหว่างการเรียงสับเปลี่ยนและการรวมกัน เพราะในการรวมกัน ลำดับไม่สำคัญ

ตัวอย่างเช่น เราระบุว่าการเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษร XYZ ในกลุ่มตัวอักษรสองตัว แต่ละตัวจะเป็น XY, XZ, YZ, YX, ZX และ ZY ดังต่อไปนี้ เราก็ได้การเรียงสับเปลี่ยนหกครั้ง

อย่างไรก็ตาม การผสมตัวอักษร XYZ ในกลุ่มตัวอักษรสองตัว แต่ละตัวคือ XY, XZ และ YZ สามชุด เนื่องจากในการรวมกัน XY และ YX ถือเป็นชุดค่าผสมเดียวกัน เช่นเดียวกับ XZ และ ZX และเช่นเดียวกันกับ YZ และ ZY ดังนั้น ลำดับการจัดเรียงจึงไม่สำคัญในการคำนวณการรวมกัน

สูตรให้จำนวนชุดค่าผสมของวัตถุ r จากวัตถุ n ชิ้น:

$$ₙСᵣ=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$$

ตัวอย่างการคำนวณการรวมกัน

ในตัวอย่างข้างต้นกับนักวิ่ง เราได้รับจำนวนวิธีที่สามารถเลือกตำแหน่งที่หนึ่ง สอง และสามจากกลุ่มนักวิ่ง 8 คน สมมติว่าเราต้องการทราบจำนวนวิธีที่ผู้ชนะเลิศ 3 คนสามารถเลือกได้จากกลุ่มนักวิ่ง 8 คน โดยไม่ต้องคำนึงถึงตำแหน่งของพวกเขา ไม่ว่าใครจะมาเป็นที่หนึ่ง สอง หรือสาม ตราบใดที่นักวิ่งได้รับเหรียญรางวัล

ในกรณีนี้ จะใช้การรวมกันเนื่องจากลำดับของเหรียญไม่สำคัญ ดังนั้นเราจึงแก้ปัญหานี้โดยใช้สูตรการรวมกัน

$$ₙСᵣ = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

จำนวนวิธีที่สามารถเลือกผู้ชนะเลิศ 3 คนจากนักวิ่ง 8 คน:

$$₈C₃=\frac{8!}{3! × \left(8-3\right)!}=\frac{8!}{3! × 5!}=\frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1}=8×7=56$$

ตัวอย่างการคำนวณการเรียงสับเปลี่ยน

1. โปรดิวเซอร์ข่าวสามารถเลือกวิทยากรรับเชิญ 3 ใน 5 คนสำหรับโปรแกรมการวิเคราะห์ของพวกเขา ลำดับของแขกเป็นสิ่งสำคัญ โปรดิวเซอร์สามารถจัดเตรียมการนำเสนอของแขกได้ด้วยวิธีต่างๆ กี่วิธี? ลำดับเป็นสิ่งสำคัญและการทำซ้ำจะไม่ถูกนำมาใช้เนื่องจากแขกคนเดียวกันไม่สามารถปรากฏซ้ำสองครั้งในรายการข่าวเดียวกันได้ ดังนั้น เราจึงสามารถใช้สูตรการเรียงสับเปลี่ยนได้

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₅P₃ = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60$$

ดังนั้นเราจะเห็นได้ว่าโปรดิวเซอร์มี 60 วิธีในการจัดเรียงวิทยากร

2. นักวิจารณ์ร้านอาหารได้เลือกสถานประกอบการที่ดี 10 แห่งในเมืองที่ให้บริการซูชิ เพื่อจัดอันดับร้านซูชิชั้นนำ 3 แห่ง สถานประกอบการจะต้องนำเสนอตามลำดับที่แสดงสถานที่ในการจัดอันดับ นอกจากนี้ สถานที่เดียวกันไม่สามารถปรากฏในการจัดอันดับได้หลายครั้ง ดังนั้น เราจึงปฏิบัติตามข้อกำหนดสำหรับสูตรการเรียงสับเปลี่ยน - ลำดับมีความสำคัญและไม่ควรมีการทำซ้ำ เราใช้สูตรสำหรับการเรียงสับเปลี่ยน:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₁₀P₃ = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 × 9 × 8 = 720$$

3. เมื่อเราบอกว่าลำดับมีความสำคัญสำหรับการเรียงสับเปลี่ยน ไม่ได้หมายความว่าลำดับนั้นจะต้องเป็นตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 10 หรือตัวเลขอื่นใด ลำดับสามารถเกิดขึ้นได้จากวัตถุบางอย่างซึ่งเราจัดสรรองค์ประกอบของชุดของเรา

เช่น ผู้จัดการของบริษัทซ่อมบ้านแห่งหนึ่ง วันนี้เขามีรายการทาสีห้องสี่รายการ เป็นสำนักงานของตัวแทนวีซ่า โกดังในโรงงาน ร้านขายเสื้อผ้า และห้องในบ้านส่วนตัว บริษัทมีช่างทาสีหกคน แต่ละคนสามารถไปที่สถานที่ได้ 1 แห่งในหนึ่งวัน ช่างทาสีที่เหลืออีกสองคนจะมีวันหยุด

วัตถุเหล่านี้เป็นสำนักงานของหน่วยงานวีซ่า โกดังในโรงงาน ร้านขายเสื้อผ้า และห้องในบ้านส่วนตัว ซึ่งคล้ายคลึงกับตำแหน่ง 1, 2, 3 และ 4

ผู้จัดการก็จะมี:

• ช่างทาสี 6 คนที่จะสามารถได้รับมอบหมายให้ไปออฟฟิศ
• ช่างทาสีที่เหลืออีก 5 คนที่จะสามารถได้รับมอบหมายให้เข้าคลังสินค้า
• ช่างทาสีที่เหลืออีก 4 คนที่จะสามารถถูกส่งไปยังร้านค้า
• ช่างทาสีที่เหลืออีก 3 คนที่จะสามารถได้รับมอบหมายให้ไปห้องในบ้านส่วนตัวได้

ตามสัญชาตญาณ เราสามารถอธิบายจำนวนตัวเลือกได้เป็น 6 × 5 × 4 × 3 = 360

เราได้รับเงื่อนไขว่าลำดับในการกระจายช่างทาสีเหนือวัตถุนั้นมีความสำคัญสำหรับเรา ไม่อนุญาตให้ทำซ้ำ กล่าวคือ ช่างทาสีทำงานบนวัตถุมากกว่าหนึ่งชิ้นในวันเดียวกัน เราจึงใช้สูตรการเรียงสับเปลี่ยนที่เราใช้ไปแล้วได้

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$\frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 × 5 × 4 × 3 = 360$$

ปรากฎว่ามี 360 วิธีที่แตกต่างกันที่ผู้จัดการบริษัทซ่อมแซมบ้านสามารถจัดสรรรายการให้กับช่างทาสีที่มีอยู่ตามเงื่อนไขที่กำหนด