เครื่องคำนวณขนาดตัวอย่าง

เครื่องคำนวณขนาดตัวอย่างมีสององค์ประกอบ องค์ประกอบแรกคือการคำนวณขนาดตัวอย่าง และองค์ประกอบที่สองคือการกำหนดความคลาดเคลื่อน

การเลือกระดับความเชื่อมั่นจากรายการแบบเลื่อนลงเป็นขั้นตอนแรกในการกำหนดขนาดตัวอย่าง ถัดไป แทรกความสัมพันธ์ของความคลาดเคลื่อน คุณสามารถแปลงระยะขอบของข้อผิดพลาดจากเงื่อนไขสัมบูรณ์เป็นเงื่อนไขสัมพัทธ์ได้โดยการหารค่าสัมบูรณ์จากการประมาณค่าจุด

จากนั้น หากคุณทราบสัดส่วนประชากร ให้ป้อน มิฉะนั้นให้เก็บไว้ที่ 50% ป้อนขนาดประชากรในเซลล์สุดท้ายหากคุณทราบ มิฉะนั้นให้เว้นว่างไว้ สุดท้ายคลิก "คำนวณ"

ใช้ส่วนประกอบที่สองของเครื่องคำนวณเพื่อหาค่าเผื่อข้อผิดพลาด ในขั้นตอนแรก ให้เลือกระดับความเชื่อมั่นจากเมนูแบบเลื่อนลง ป้อนขนาดตัวอย่างของการศึกษาในเซลล์ที่สอง จากนั้นให้ใส่สัดส่วนประชากร ป้อนขนาดประชากรในเซลล์สุดท้าย หากคุณไม่ทราบขนาดประชากร ให้ปล่อยเซลล์นั้นว่างไว้ สุดท้ายคลิก "คำนวณ"

ตัวอย่าง

ส่วนหนึ่งหรือบางส่วนของประชากรเรียกว่ากลุ่มตัวอย่าง ประชากรหมายถึงองค์ประกอบทั้งหมดที่น่าสนใจในการศึกษาเฉพาะเรื่อง การศึกษาทุกองค์ประกอบของประชากรในการศึกษาที่คุณเลือกเป็นวิธีที่เหมาะสมที่สุดในการตรวจสอบประชากร อย่างไรก็ตาม เนื่องจากปัจจัยหลายประการ การตรวจสอบทุกรายการในประชากรจึงมักเป็นไปไม่ได้ ตัวอย่างเช่น หากคุณวิจัยเกี่ยวกับแมลงในป่า จำนวนประชากรก็ไม่จำกัด ดังนั้น คุณไม่สามารถศึกษาประชากรทั้งหมดของคุณได้ บางครั้งเมื่อทำการทดสอบ รายการการศึกษาของคุณอาจถูกทำลาย

ตัวอย่างเช่น เมื่อคุณเปิดและตรวจสอบปริมาตรของขวดน้ำอัดลมที่ปิดสนิท คุณจะไม่สามารถส่งขวดน้ำอัดลมนั้นไปยังตลาดได้

คุณต้องใช้เวลา เงิน และทรัพยากรอื่นมากเพื่อตรวจสอบประชากรทั้งหมด ในกรณีส่วนใหญ่ คุณจะต้องทำการวิจัยให้เสร็จสิ้นโดยมีเวลา เงิน และทรัพยากรอื่นๆ ที่จำกัด การตรวจสอบประชากรทั้งหมดไม่สามารถทำได้ในกรณีส่วนใหญ่ วิธีแก้ไขคือเลือกตัวอย่างและทำการวิจัย

ความคลาดเคลื่อน

โดยส่วนใหญ่ เราไม่สามารถตรวจสอบองค์ประกอบของประชากรได้ทั้งหมด ดังนั้นสถิติตัวอย่าง (การวัดที่คำนวณจากตัวอย่าง) จึงมักจะใช้ในการประมาณค่าพารามิเตอร์ประชากร (การวัดที่คำนวณจากประชากร) สถิติตัวอย่างได้มาจากข้อมูลจริงที่สังเกตหรือวัดจากตัวอย่าง เราเรียกมันว่าการประมาณค่าจุดเมื่อคุณประมาณค่าตัวเลขตัวเดียวสำหรับพารามิเตอร์ประชากร

ตัวอย่างเช่น หากคุณต้องการประมาณปริมาตรเฉลี่ยของขวดน้ำอัดลมในสายการผลิต คุณสามารถเลือกชุดงานแบบสุ่มและค้นหาปริมาตรเฉลี่ยของชุดนั้นได้ สมมติว่าชุดนี้มีปริมาตรเฉลี่ย x̄ 250 มล. ดังนั้น คุณประมาณการว่าแต่ละขวดในสายการผลิตจะมีปริมาตรเฉลี่ย \$(\hat{μ})\$ เท่ากับ 250 มล.

ในทางปฏิบัติ พารามิเตอร์จริงและพารามิเตอร์โดยประมาณไม่เท่ากัน ความแตกต่างเกิดจากการประมาณค่าพารามิเตอร์โดยใช้ตัวอย่างมากกว่าการประมาณประชากรทั้งหมด

ความคลาดเคลื่อนถูกกำหนดให้เป็นความแตกต่างที่เป็นไปได้สูงสุดระหว่างการประมาณค่าจุดของพารามิเตอร์และค่าจริง ซึ่งมักเรียกว่าข้อผิดพลาดสูงสุดของการประมาณการ

ช่วงความเชื่อมั่น

ช่วงความเชื่อมั่นแสดงถึงช่วงของการประมาณค่า ช่วงของการประมาณการหรือช่วงความเชื่อมั่นบ่งชี้ว่าพารามิเตอร์ถูกประมาณภายในความคลาดเคลื่อนที่ระบุ ในการกำหนดขอบเขตล่างของช่วงความเชื่อมั่น ความคลาดเคลื่อนจะถูกลบออกจากการประมาณค่าแบบจุด ในการกำหนดขอบเขตด้านบนของช่วงความเชื่อมั่น ความคลาดเคลื่อนจะถูกเพิ่มเข้าไปในการประมาณจุด

การเชื่อมต่อระหว่างตัวอย่างในสถิติ ความคลาดเคลื่อน และช่วงความเชื่อมั่น

แทนที่จะค้นคว้าประชากรทั้งหมด เรากำลังศึกษาตัวอย่างเพื่อประมาณค่าพารามิเตอร์ของประชากร ดังนั้น อาจมีความแตกต่างระหว่างพารามิเตอร์โดยประมาณของประชากรและพารามิเตอร์ที่แท้จริงของประชากร ความคลาดเคลื่อนคือความแตกต่างที่เป็นไปได้สูงสุดระหว่างการประมาณค่าจุดของพารามิเตอร์และค่าจริง นอกจากนี้ ยังมีการเชื่อมโยงแบบผกผันระหว่างขนาดตัวอย่างและความคลาดเคลื่อน ขนาดตัวอย่างที่ใหญ่ขึ้นจะส่งผลให้การแสดงประชากรมีความแม่นยำมากขึ้น ซึ่งจะลดความคลาดเคลื่อนลง ในทำนองเดียวกัน การลดขนาดตัวอย่างจะเพิ่มความคลาดเคลื่อน

ช่วงความเชื่อมั่นจะได้มาเมื่อคุณใช้ความคลาดเคลื่อนนี้กับค่าประมาณจุด

สูตรคำนวณขนาดตัวอย่าง

มีสูตรที่แตกต่างกันในการคำนวณขนาดตัวอย่างโดยขึ้นอยู่กับข้อมูลของคุณ

ระดับความเชื่อมั่นที่ต้องการจะกำหนดระดับความแม่นยำ ในขณะที่ช่วงสูงสุดของความคลาดเคลื่อนจะกำหนดระดับความแม่นยำที่เราต้องการได้รับจากการประมาณค่าช่วงของเรา

เราสามารถคำนวณขนาดตัวอย่างขั้นต่ำที่จำเป็นเพื่อให้ได้ช่วงความเชื่อมั่นที่ต้องการ หากเราทราบค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรด้วย โดยใช้สูตรด้านล่างนี้

$$n=\left(\frac{z_{\alpha/2}×\sigma}{E}\right)^2$$

ผลลัพธ์สุดท้าย n ควรถูกปัดเศษขึ้นให้เป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุด

สูตรของ Cochran ช่วยให้คุณสามารถกำหนดขนาดตัวอย่างขั้นต่ำตามความคลาดเคลื่อนที่ต้องการ ระดับความเชื่อมั่นที่ต้องการ และสัดส่วนที่คาดหวังของคุณลักษณะที่มีอยู่ในประชากร สูตร Cochran คือ

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{E^2}$$

• z = ค่า z จาก z-table ขึ้นอยู่กับระดับความเชื่อมั่นที่ต้องการ
• p = สัดส่วนที่คาดหวังของคุณลักษณะที่มีอยู่ในประชากร
• E = ความคลาดเคลื่อน

ตัวอย่างที่ 1

ลองนึกภาพว่าเรากำลังค้นคว้านักศึกษาต่างชาติที่ลงทะเบียนเรียนหลักสูตรระดับปริญญาตรีในแคนาดา ในตอนแรก เราไม่มีข้อมูลมากนัก ดังนั้น เราจึงถือว่านักศึกษาต่างชาติคิดเป็น 60% ของนักศึกษาระดับปริญญาตรีทั้งหมดในแคนาดา เป็นผลให้สัดส่วนโดยประมาณของคุณลักษณะในประชากรคือ 60% เราต้องการระดับความเชื่อมั่น 95% และข้อผิดพลาด 4% ต้องมีนักเรียนกี่คนรวมอยู่ในขนาดตัวอย่างขั้นต่ำของการศึกษา?

$$(1-\alpha)=95\%$$

$$z_{α/2}=z_{{95\%}/2}=1.96$$

$$p=60\%$$

$$E=4\%$$

$$n₀=\frac{z²p(1-p)}{E²}=\frac{1.96²×60\%×(1-60\%)}{4\%²}=576.24≈577$$

ดังนั้น จะต้องมีนักเรียนอย่างน้อย 577 คนรวมอยู่ในการศึกษานี้เพื่อให้ได้ระดับความปรารถนา 95% และข้อผิดพลาด 4%

สูตรข้างต้นใช้เมื่อขนาดประชากรมีขนาดใหญ่หรือไม่มีที่สิ้นสุด หากขนาดประชากรน้อยหรือจำกัด เราต้องปรับขนาดตัวอย่าง ขนาดตัวอย่างจะถูกปรับขนาดโดยใช้สูตรด้านล่าง

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}$$

• n₀ = ขนาดตัวอย่างคำนวณจากสูตร Cochran
• N = ขนาดประชากร
• n = ปรับขนาดตัวอย่างสำหรับประชากรที่มีจำกัด

ตัวอย่างที่ 2

ลองนึกภาพว่าเรากำลังค้นคว้านักศึกษาต่างชาติที่ลงทะเบียนเรียนหลักสูตรระดับปริญญาตรีในวิทยาลัยที่คุณกำลังศึกษาอยู่ในแคนาดา ในตอนแรก เราไม่มีข้อมูลมากนัก ดังนั้นเราจึงถือว่านักศึกษาต่างชาติคิดเป็น 60% ของนักศึกษาระดับปริญญาตรีทั้งหมดในวิทยาลัยของคุณ เป็นผลให้สัดส่วนโดยประมาณของคุณลักษณะในประชากรคือ 60% จำนวนนักเรียนทั้งหมดในวิทยาลัยของคุณคือ 12,000 เราต้องการระดับความเชื่อมั่น 95% และข้อผิดพลาด 4% ต้องมีนักเรียนกี่คนรวมอยู่ในขนาดตัวอย่างขั้นต่ำของการศึกษา?

ในกรณีนี้ คุณต้องคำนวณ n₀ โดยใช้สูตร Cochran ก่อน จากนั้นจึงปรับขนาดตัวอย่างตามจำนวนประชากรที่มีจำกัด

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{{E}^2}=\frac{1.96^2×{60\%}×(1-{60\%})}{{4\%}^2}=576.24$$

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}=\frac{576.24}{1+\left(\frac{576.24-1}{12,000}\right)}=549.88=550$$

ด้วยเครื่องคำนวณขนาดตัวอย่างขั้นต่ำ คุณสามารถคำนวณที่ซับซ้อนข้างต้นได้ภายในเวลาไม่ถึงหนึ่งวินาที

สูตรคำนวณความคลาดเคลื่อน

คุณสามารถจัดเรียงสูตรขนาดตัวอย่างใหม่เพื่อค้นหาสูตรสำหรับความคลาดเคลื่อน

คุณรู้ไหมว่าสูตรขนาดตัวอย่างขั้นต่ำคือ

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

กำหนดให้ E หรือความคลาดเคลื่อนเป็นหัวเรื่องของสูตรข้างต้น

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

$${n₀}×{E}^2=z^2p\left(1-p\right)$$

$$E^2=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}$$

$$E=\sqrt{\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

ตัวอย่างที่ 3

ลองนึกภาพว่าเรากำลังค้นคว้านักศึกษาต่างชาติที่ลงทะเบียนเรียนหลักสูตรระดับปริญญาตรีในแคนาดา ในตอนแรก เราไม่มีข้อมูลมากนัก ดังนั้นเราจึงถือว่านักศึกษาต่างชาติคิดเป็น 60% ของนักศึกษาระดับปริญญาตรีทั้งหมดในแคนาดา เป็นผลให้สัดส่วนโดยประมาณของคุณลักษณะในประชากรคือ 60% สมมติว่าเราต้องการระดับความเชื่อมั่น 95% และคุณเลือกนักเรียน 577 คนสำหรับการวิจัยของคุณ อะไรคือขอบเขตของข้อผิดพลาดในการศึกษาของคุณ?

$$z_{{95\%}/2}=1.96$$

$$p=60\%$$

$$n₀=577$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n_0}}=1.96 \times \sqrt{\frac{60\% \times \left(1-60\%\right)}{577}}=4\%$$

หากจำนวนประชากรมีจำกัด คุณต้องค้นหา n₀ ก่อนโดยใช้สูตรด้านล่าง

$$n₀=\frac{n-nN}{n-N}$$

จากนั้น ใช้คำตอบในสูตรต่อไปนี้เพื่อค้นหาความคลาดเคลื่อน:

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

องค์ประกอบที่สองของเครื่องคำนวณขนาดตัวอย่างขั้นต่ำช่วยให้คุณข้ามขั้นตอนเหล่านี้ทั้งหมดและคำนวณความคลาดเคลื่อนได้ในเวลาไม่ถึงวินาที

สูตรคำนวณช่วงความเชื่อมั่น

ช่วงความเชื่อมั่นนั้นง่ายต่อการพิจารณาว่าคุณทราบความคลาดเคลื่อนหรือไม่ สูตรที่แสดงด้านล่างใช้เพื่อคำนวณช่วงความเชื่อมั่น

ช่วงความเชื่อมั่น = การประมาณจุด ± ความคลาดเคลื่อน

ขอบเขตบนของช่วงความเชื่อมั่น = การประมาณจุด + ความคลาดเคลื่อน

ขอบเขตล่างของช่วงความเชื่อมั่น = การประมาณจุด - ความคลาดเคลื่อน

ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับค่าเฉลี่ย μ คือ

x̄ - E < μ < x̄ + E

x̄ - E คือขีดจำกัดล่าง และ x̄ + E คือขีดจำกัดบน

ช่วงความเชื่อมั่นของ P คือ

p - E < P < p + E

ตัวอย่างที่ 4

คุณกำลังค้นหาค่าใช้จ่ายหลักสูตรโดยเฉลี่ยของนักศึกษาต่างชาติที่กำลังศึกษาอยู่ในแคนาดา คุณได้เลือกนักเรียน 1,000 คนสำหรับกลุ่มตัวอย่างของคุณ และจากกลุ่มตัวอย่างของคุณ คุณประมาณการว่าค่าใช้จ่ายหลักสูตรโดยเฉลี่ยของนักศึกษาต่างชาติที่กำลังศึกษาอยู่ในแคนาดาอยู่ที่ CAD 20,000 คงามคลาดเคลื่อนคือ CAD 5,000 ค้นหาช่วงความเชื่อมั่นสำหรับค่าใช้จ่ายหลักสูตรโดยเฉลี่ยของนักศึกษาต่างชาติที่กำลังศึกษาอยู่ในแคนาดา

ขีดจำกัดบน = x̄ + E = CAD 20,000 + CAD 5,000 = CAD 25,000

ขีดจำกัดล่าง = x̄ - E = CAD 20,000 - CAD 5,000 = CAD 15,000

ดังนั้น ช่วงความเชื่อมั่นคือ

x̄ - E < μ < x̄ + E

CAD 15,000 < μ < CAD 25,000