เครื่องคำนวณชุดค่าผสม

มีกลยุทธ์ที่แตกต่างกันในการกำหนดจำนวนวิธีในการเลือกวัตถุจากชุดที่กำหนดในทางคณิตศาสตร์ เราสามารถเลือกผลลัพธ์ r จากความเป็นไปได้ของ n ได้กี่วิธี? ขึ้นอยู่กับว่าลำดับมีความสำคัญหรือไม่ และค่าสามารถทำซ้ำได้หรือไม่

จำนวนวิธีในการเลือก r ผลลัพธ์ที่ไม่เรียงลำดับจากความเป็นไปได้ n รายการ เรียกว่าการรวมกัน และเขียนเป็น C (n, r) เรียกอีกอย่างว่าสัมประสิทธิ์ทวินาม เครื่องคำนวณนี้ช่วยให้คุณสามารถคำนวณการรวมกันของวัตถุ r จากชุดของวัตถุ n อัน

กฎการใช้เครื่องคำนวณแบบรวม

สำหรับชุดของวัตถุที่กำหนด มีหลายวิธีในการจัดเรียงหรือเลือกบางส่วนหรือทั้งหมดตามลำดับหรือข้อกำหนดบางอย่าง เครื่องคำนวณจะคำนวณจำนวนวิธีในการเลือกวัตถุ r จากชุดของวัตถุ n รายการโดยไม่ต้องทำซ้ำ และเมื่อลำดับไม่สำคัญ เครื่องคำนวณต้องใช้อินพุตสองช่อง:

• n = จำนวนวัตถุที่แตกต่างกันที่มีให้เลือก และ
• r = จำนวนตำแหน่งที่ต้องเติม

เกณฑ์สำคัญในการป้อนข้อมูลลงในเครื่องคำนวณแบบรวมก็คือ

0 ≤ r ≤ n

หากคุณป้อนตัวเลข r ที่มากกว่า n ระบบจะพิมพ์ข้อความ

"โปรดป้อน 0 ≤ r ≤ n"

หลักการพื้นฐานของการนับ

หลักการนับขั้นพื้นฐานนำทางเราในการหาวิธีทำงานต่างๆ ให้สำเร็จ มีกฎพื้นฐานสองข้อในการนับ

กฎของผลรวม

งานแรกสามารถทำได้ m วิธี และงานที่สองสามารถทำได้ n วิธี ถ้างานไม่สามารถทำได้พร้อมกัน จำนวนวิธีที่เป็นไปได้สามารถนับเป็น (m + n)

กฎของผลคูณ

งานแรกสามารถทำได้ m วิธี และงานที่สองสามารถทำได้ n วิธี ถ้าทั้งสองงานสามารถทำได้พร้อมกัน ก็มีวิธี (m × n) ในการดำเนินการ

ตัวอย่าง

โรงอาหารจำหน่ายพาย 3 ชนิดและเครื่องดื่ม 4 ชนิด ได้แก่พายแอปเปิ้ล พายสตรอเบอร์รี่ และพายบลูเบอร์รี่ และน้ำส้ม น้ำองุ่น น้ำเชอร์รี่ และน้ำสับปะรด ทั้งเครื่องดื่มและพายขายในราคา $2 คุณมีเงินติดตัวเพียง $2 เท่านั้นและอีกเล็กน้อย ดังนั้นคุณจึงมีโอกาส 3 + 4 = 7 ที่จะตัดสินใจเลือกสิ่งใดสิ่งหนึ่งโดยเฉพาะ

สมมติว่าคุณต้องการนับจำนวนวิธีในการโยนเหรียญและทอยลูกเต๋า จำนวนวิธีที่คุณสามารถโยนเหรียญได้คือ 2 วิธี เนื่องจากเหรียญมี 2 หน้า ในทำนองเดียวกัน มี 6 วิธีที่เป็นไปได้ที่คุณสามารถทอยลูกเต๋าได้ เนื่องจากคุณสามารถทำงานทั้งสองอย่างพร้อมกันได้ จึงมีวิธี 2 × 6 = 12 วิธีที่คุณสามารถโยนเหรียญและทอยลูกเต๋าได้

หากคุณต้องการจั่วไพ่ 2 ใบจากสำรับไพ่ 52 ใบโดยไม่ต้องเปลี่ยนใหม่ มี 52 วิธีในการจั่วไพ่ใบแรก และ 51 วิธีในการจั่วไพ่ใบที่สอง ดังนั้น จำนวนวิธีในการจั่วไพ่สองใบคือ 52 × 51 = 2,652

พื้นที่ตัวอย่าง

พื้นที่ตัวอย่างคือรายการผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด และแสดงด้วยอักษรตัวใหญ่ S พื้นที่ตัวอย่างสำหรับการโยนเหรียญและทอยลูกเต๋าพร้อมกันคือ

S = {{H,1}, {H,2}, {H,3}, {H,4}, {H,5}, {H,6}, {T,1}, {T,2}, {T,3}, {T,4}, {T,5}, {T,6}}

มีสิบสองวิธีที่เป็นไปได้ หลักการนับช่วยให้เราทราบจำนวนวิธีการทดลองโดยไม่ต้องแจกแจงทั้งหมด

การผสมผสาน

จำนวนวิธีที่เป็นไปได้ในการเลือก r ผลลัพธ์ที่ไม่เกิดซ้ำจากความเป็นไปได้ n รายการเมื่อลำดับที่ไม่เกี่ยวข้องเรียกว่าการรวมกัน การรวมกันของวัตถุเขียนเป็น C (n, r) เรียกอีกอย่างว่าสัมประสิทธิ์ทวินาม สูตรการรวมกันถูกกำหนดเป็น

$$C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

สัญลักษณ์ ! หลังตัวเลขหรือตัวอักษรหมายความว่าเรากำลังใช้แฟกทอเรียลของตัวเลขจำนวนหนึ่ง ตัวอย่างเช่น n! คือแฟกทอเรียลของจำนวน n - หรือผลคูณของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง n แฟกทอเรียลของหมายเลข 2 คือ 1 × 2 แฟกทอเรียลของหมายเลข 3 คือ 1 × 2 × 3 แฟกทอเรียลของหมายเลข 4 คือ 1 × 2 × 3 × 4 แฟกทอเรียลของหมายเลข 5 คือ 1 × 2 × 3 × 4 × 5 และอื่น ๆ แฟกทอเรียลสามารถคำนวณได้สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบเท่านั้น

ลักษณะสำคัญของการคำนวณชุดค่าผสมโดยใช้สูตรนี้คือไม่อนุญาตให้มีการทำซ้ำของวัตถุ และลำดับของการจัดเรียงไม่สำคัญ

ตัวอย่างที่ 1

สมมติว่าคุณมีชุดตัวเลขสี่ตัว

{1, 2, 3, 4}

เราสามารถรวมสององค์ประกอบจากชุดนี้ได้กี่วิธีหากองค์ประกอบเดียวกันไม่สามารถทำซ้ำเป็นคู่ได้กี่วิธี?

หากลำดับขององค์ประกอบมีความสำคัญ เราจะได้กลุ่มที่เกิดจากการเรียงสับเปลี่ยน:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)

หากลำดับไม่สำคัญ - เราจะได้กลุ่มที่เกิดจากการรวมกัน:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)

มี 6 ชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ คุณสามารถใช้สูตรเพื่อหาจำนวนชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ทั้งหมด ยกตัวอย่าง n=4, r=2 ดังนั้น

$$C(4,2)=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4 × 3 × 2 × 1}{(2× 1)(2× 1)}=\frac{24}{4}=6$$

นี่คือสิ่งที่เครื่องคำนวณชุดค่าผสมคำนวณ

ตัวอย่างที่ 2

ตัวอักษร A, B, C และ D ในกลุ่ม 3 ตัวประกอบด้วยอะไรบ้าง? มีการเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้ 24 รูปแบบเมื่อลำดับมีความสำคัญ ในการนับแบบผสมผสาน ลำดับจะไม่เกี่ยวข้อง ดังนั้น เฉพาะแถวแรกเท่านั้นที่เกี่ยวข้อง เช่น มีชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ 4 แบบ

แทนที่จะแสดงรายการการจัดเตรียมที่เป็นไปได้ทั้งหมด เราสามารถคำนวณจำนวนการจัดเตรียมที่เป็นไปได้ (ซึ่งลำดับไม่สำคัญ) โดยใช้สูตรผสมด้านบน ที่นี่ มีวัตถุ n=4 ชิ้น และคุณกำลังหา r=3 ต่อครั้ง ดังนั้น

$$C\left(n,r\right)=C\left(4,3\right)=\frac{4!}{\left(4-3\right)!3!}=\frac{4!}{1!3!}=4$$

การเรียงสับเปลี่ยน

การเรียงสับเปลี่ยนกำหนดจำนวนวิธีในการจัดระเบียบวัตถุเมื่อลำดับของวัตถุมีความสำคัญ สูตรสำหรับการเรียงสับเปลี่ยนเมื่อเลือกวัตถุ r จากรายการวัตถุ n รายการมีดังนี้:

$$P\left(n,r\right)=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

ลักษณะสำคัญสองประการในการคำนวณการเรียงสับเปลี่ยนโดยใช้สูตรนี้คือไม่อนุญาตให้มีการซ้ำของวัตถุ และลำดับของวัตถุมีความสำคัญ

ตัวอย่างที่ 3

สมมติว่ามีผู้สมัคร 4 คนในการสัมภาษณ์งาน หน้าที่ของคณะกรรมการคัดเลือกคือการจัดอันดับผู้สมัครตั้งแต่ 1 ถึง 4 นี่คือความเป็นไปได้:

• ผู้สมัครคนที่ 1 - มี 4 วิธีในการเลือก
• ผู้สมัครคนที่ 2 - มี 3 วิธีในการเลือก
• ผู้สมัครคนที่ 3 - มี 2 วิธีในการเลือก
• ผู้สมัครคนที่ 4 - มีวืธีเดียวเท่านั้นที่จะเลือก

กฎผลคูณให้จำนวนวิธีเลือกทั้งหมด เช่น 4 × 3 × 2 × 1 = 24 ซึ่งเหมือนกับ 4! บอกว่าผู้สมัครเป็น

{A, B, C, D}

พื้นที่ตัวอย่างของปัญหา ซึ่งแสดงการเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้ทั้งหมด แสดงไว้ด้านล่าง:

แทนที่จะแสดงรายการการจัดเตรียมที่เป็นไปได้ทั้งหมดดังที่แสดงในตารางด้านบน เราสามารถคำนวณจำนวนการจัดเตรียมที่เป็นไปได้โดยใช้สูตรการเรียงสับเปลี่ยน สำหรับตัวอย่างข้างต้น มีวัตถุ n = 4 ชิ้น และคุณรับองค์ประกอบ r = 4 ชิ้นในแต่ละครั้ง ดังนั้น

$$P\left(n,r\right)=P\left(4,4\right)=\frac{4!}{\left(4-4\right)!}=\frac{4!}{0!}=24$$

ความแตกต่างระหว่างการรวมกันและการเรียงสับเปลี่ยน

ความแตกต่างที่สำคัญระหว่างการรวมกันและการเรียงสับเปลี่ยนก็คือในการรวมกันลำดับขององค์ประกอบนั้นไม่สำคัญ ในขณะที่ในการเรียงสับเปลี่ยนลำดับขององค์ประกอบนั้นมีความสำคัญ