เครื่องคำนวณสมการยกกำลังสอง

การใช้เครื่องคำนวณสมการกำลังสอง

เครื่องคำนวณนี้ทำให้การแก้สมการกำลังสองเป็นเรื่องง่าย ในวิชาพีชคณิตนั้น สมการใดก็แล้วแต่ที่เราสามารถเขียนให้อยู่ในรูปต่อไปนี้ได้ เราจะเรียกว่าสมการกำลังสอง

ax²+bx+c=0

โดยที่

a≠0

หากต้องการใช้เครื่องคำนวณสมการกำลังสอง ให้คุณกรอกค่า A, B, และ C และกดปุ่ม “คำนวณ” A จะต้องไม่เป็นศูนย์ แต่ B และ C จะเป็นศูนย์ก็ได้ เครื่องคำนวณจะใช้สูตรกำลังสองเพื่อหาคำตอบของสมการ ไม่ว่าจะมีรากเป็นจำนวนจริงหรือมีรากเชิงซ้อนก็ตาม หลังจากนั้นเครื่องคำนวณจะทำการลดรูปรากให้ได้คำตอบที่ง่ายที่สุด

การใช้สูตรกำลังสอง

แต่ก่อนที่จะใช้สูตรสูตรกำลังสองนี้ได้นั้น คุณต้องเขียนสมการให้อยู่ในรูป ax²+bx+c=0 เสียก่อน จากนั้นเราจะสามารถหาคำตอบได้ดังนี้

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

สมการส่วนที่อยู่ในรากที่สอง b²-4ac มีชื่อว่าดิสคริมิแนนต์

• ถ้าดิสคริมิแนนต์เป็นบวก b²-4ac>0 สมการจะมีรากจำนวนจริงสองราก
• ถ้าดิสคริมิแนนต์เป็นลบ b²-4ac<0 สมการจะมีรากเชิงซ้อนสองราก เพราะว่าผลลัพธ์ของรากที่สองของจำนวนลบคือจำนวนเชิงซ้อน
• ถ้าดิสคริมิแนนต์เท่ากับศูนย์ b²-4ac=0 สมการจะมีเพียงรากเดียวเท่านั้น

เครื่องคำนวณสมการกำลังสองจะแสดงคำตอบของสมการที่คุณกรอกเข้ามา พร้อมกับวิธีหาคำตอบ ตลอดจนคำนวณดิสคริมิแนนต์และแสดงให้เห็นว่าเป็นบวก ลบ หรือเท่ากับศูนย์

ตัวอย่างการใช้จริง

ตัวอย่างที่ 1 (รากจำนวนจริง)

เรามาแก้สมการกำลังสองกันดีกว่า

2x²+3x-2=0

ในตัวอย่างนี้

a=2,b=3,c=-2.

แทนค่าจำนวนเหล่านี้ในสูตรกำลังสอง เราจะได้

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-3±\sqrt{3^2-4(2)(-2)}}{2(2)}=\frac{-3±\sqrt{9--16}}{4}=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}$$

ดิสคริมิแนนต์ของสมการนี้เป็นบวก

b²-4ac=25>0

ดังนั้น สมการจะมีรากจำนวนจริงของราก

ต่อไปเราจะมาลดรูปรากกัน

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}=\frac{-3±5}{4}$$

$$x=\frac{-3+5}{4}\ \ \ และ\ \ \ x= \frac{-3-5}{4}$$

$$x=\frac{2}{4}\ \ \ และ\ \ \ x=-\frac{8}{4}$$

$$x=\frac{1}{2}\ \ \ และ\ \ \ x=-2$$

สุดท้าย

x=0.5

x=-2

ตัวอย่างที่ 2 (รากเชิงซ้อน)

เรามาแก้สมการกำลังสองกันดีกว่า

x²+2x+5=0

ในตัวอย่างนี้

a=1,b=2,c=5

แทนค่าจำนวนเหล่านี้ในสูตรกำลังสอง เราจะได้

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-2±\sqrt{2^2-4(1)(5)}}{2(1)}=\frac{-2±\sqrt{4-20}}{2}=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}$$

ดิสคริมิแนนต์ของสมการนี้เป็นลบ

b²-4ac=-16<0

ดังนั้น สมการจะมีรากเชิงซ้อนสองราก

ต่อไปเราจะมีลดรูปรากกัน

$$x=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}=\frac{-2±4i}{2}=\frac{-2}{2}±\frac{4i}{2}=-1±2i$$

สุดท้าย

x=-1+2i

x=-1-2i

ตัวอย่างที่ 3 (มีรากเดียว)

เรามาแก้สมการกำลังสองกันดีกว่า

3x²+6x+3=0

ในตัวอย่างนี้

a=3,b=6,c=3

แทนค่าจำนวนเหล่านี้ในสูตรกำลังสอง เราจะได้

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-6±\sqrt{6^2-4(3)(3)}}{2(3)}=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{6}=\frac{-6±\sqrt0}{6}$$

ดิสคริมิแนนต์ของสมการนี้เท่ากับศูนย์ b²-4ac=0 สมการจึงมีเพียงรากเดียว

$$x=\frac{-6}{6}$$

สุดท้าย

x=-1

ที่มาของสูตรกำลังสอง

ดังที่แสดงไว้ข้างต้น เราสามารถใช้สูตรกำลังสองไปแก้สมการกำลังสองสมการไหนก็ได้ ไม่ว่าดิสคริมิแนนต์จะเป็นบวก ลบ หรือศูนย์ก็ตาม ต่อไปเราจะมาเรียนรู้เกี่ยวกับที่มาของสูตรกำลังสองกัน การเข้าใจหลักการพื้นฐานของการพิสูจน์สูตรทางคณิตศาสตร์นั้นมีประโยชน์อย่างมากถ้าคุณลืมสูตรไป

ขั้นตอนในการหาสูตรกำลังสองนั้นก็ไม่ได้มีอะไรมาก หลักการก็มาจากวิธีแก้สมการโดยการทำกำลังสองสมบูรณ์ ในการหารูปมาตรฐานของสมการกำลังสองหรือ ax²+bx+c=0 นั้น คุณต้องปฏิบัติตามขั้นตอนต่อไปนี้

1. เรามีสมการ

ax²+bx+c=0

ย้ายค่าคงที่ C ไปด้านขวาของสมการ

ax²+bx=-c

2. กำจัดสัมประสิทธิ์ A ที่อยู่ติดกับพจน์กำลังสอง x² ออกไป ด้วยการหารทั้งสองด้านด้วย A:

$$x²+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$

3. บวก

$$(\frac{b}{2a})^2$$

ทั้งสองด้านของสมการ

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

4. ตอนนี้ ด้านซ้ายจะอยู่ในรูปนี้

x²+2dx+d²

เราสามารถเขียนสมการนี้ให้อยู่ในรูปต่อไปนี้ได้

(x+d)²

ในสมการของเรานั้น d ก็คือ

$$\frac{b}{2a}$$

ดังนั้น

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 = \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$$

แทนค่าสมการนี้เข้าไปในด้านซ้ายของสูตรของเรา ยังไม่ต้องไปแตะต้องด้านขวา

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

สมการมีราก x อยู่เพียงตัวเดียวเท่านั้นในตอนนี้

5. แยกรากที่สองออกจากทั้งสองส่วนของสมการ

$$x+\frac{b}{2a}=± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

6. ย้าย $\frac{b}{2a}$ ไปทางขวาของสมการ

$$x=-\frac{b}{2a}± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

7. คูณด้านขวาของสมการด้วย

$$\frac{2a}{2a}$$

$$x=\frac{-b ± \sqrt{-\frac{c}{a} × (2a)^2 + (\frac{b}{2a})^2 × (2a)^2}}{2a}$$

8. ลดรูปสมการ

$$x=\frac{-b±\sqrt{-4ac+b²}}{2a}$$

9. ผลที่ได้คือสูตรกำลังสอง

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

เรื่องน่ารู้เกี่ยวกับสมการกำลังสอง

• ผลรวมของทั้งสองรากของสมการกำลังสองคือ

$$\frac{-b}{a}$$

ดังนั้น ถ้าดิสคริมิแนนต์ของสมการกำลังสอง b²-4ac เท่ากับศูนย์ เราจะหารากเพียงรากเดียวของสมการได้

$$\frac{-b}{2a}$$

• ผลคูณของทั้งสองรากของสมการกำลังสองคือ

$$\frac{c}{a}$$

• คำว่า "quadratic" (กำลังสอง) มาจากคำว่า "quadratus" ในภาษาละติน ซึ่งแปลว่า "ยกกำลังสอง" เราเรียกสมการประเภทนี้ว่าสมการกำลังสองเพราะกำลังที่สูงที่สุดของตัวแปรคือกำลัง 2

• สูตรกำลังสองในรูปอย่างที่เราใช้กันในปัจจุบันมีมาตั้งแต่ปี ค.ศ. 628 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียชื่อว่าบรามากุปตาเป็นผู้อธิบายด้วยคำพูด เขาไม่ได้ใช้สัญลักษณ์ใด ๆ ทั้งสิ้น สมการประเภทนี้มีคำตอบสองคำตอบ แต่บรามากุปตากล่าวถึงคำตอบเดียวเท่านั้น เขาไม่ได้กล่าวถึงสัญลักษณ์ที่สำคัญ หรือ ± ที่อยู่ด้านหน้ารากที่สองไว้ด้วย

• กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง y=ax²+bx+c เป็นรูปพาราโบลา คำตอบหรือรากของสมการกำลังสองก็คือพิกัดของจุดที่กราฟตัดกับแกน x นั่นเอง ถ้าสมการมีรากจำนวนจริงสองราก ก็แปลว่ากราฟตัดกับแกน x สองครั้ง ถ้ามีเพียงรากเดียว ก็แปลว่ากราฟพาราโบลาสัมผัสกับแกน x เพียงครั้งเดียวที่จุดสูงสุดหรือต่ำสุดของมัน ถ้าสมการไม่มีรากจำนวนจริง แปลว่าพาราโบลาไม่ได้ตัดกับแกน x เลย

• เมื่อสัมประสิทธิ์ A ที่ติดกับพจน์กำลังสองเข้าใกล้ศูนย์ กราฟของพาราโบลาจะแบนมากขึ้น จนในที่สุดก็จะกลายเป็นเส้นตรง เมื่อ a=0 สมการจะกลายเป็นสมการเชิงเส้น กราฟจะกลายเป็นเส้นตรงอย่างชัดเจน!

• เมื่อ a>0 พาราโบลาจะหันขึ้น ถ้า a<0 พาราโบลาจะหันลง ถ้า a=0 พาราโบลาจะแบนหรือเป็นเส้นตรง

สมการกำลังสองถูกนำไปประยุกต์ใช้ในวิทยาศาสตร์หลายแขนง เช่น เราใช้สมการกำลังสองเพื่ออธิบายการเคลื่อนที่แบบโปรเจคไทล์ในฟิสิกส์ได้