เครื่องคำนวณสามเหลี่ยมมุมฉาก

เครื่องคำนวณสามเหลี่ยมมุมฉาก

เครื่องคำนวณสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นตัวแก้ปัญหารูปสามเหลี่ยมออนไลน์ที่มุ่งเน้นไปที่สามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น เครื่องคำนวณใช้ค่าสองค่าของสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นอินพุตและคำนวณค่าของสามเหลี่ยมที่ขาดหายไป ค่าที่รวมถึงคือความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยม (a, b และ c) ค่ามุมยกเว้นมุมฉาก (α และ β) เส้นรอบรูป (P) พื้นที่ (A) และความสูงถึงไฮโปเตนูส (h)

ในการใช้เครื่องคำนวณให้ป้อนค่าสองค่าที่ระบุไว้ข้างต้นแล้วกด "คำนวณ"

ค่ามุมสามารถป้อนได้ทั้งในองศาและเรเดียน เพื่อป้อนค่าเป็นเรเดียนโดยใช้ π ให้ใช้สัญกรณ์ต่อไปนี้: "pi" ตัวอย่างเช่น หากค่ามุมที่กำหนดคือ π/3 ให้ใส่ "pi/3"

เครื่องคำนวณจะแสดงค่าที่ขาดหายไปทั้งหมดและขั้นตอนการคำนวณ เครื่องคำนวณจะแสดงมุมมองที่ปรับขนาดของสามเหลี่ยมที่เกี่ยวข้อง และค่าของรัศมีวงกลมวงใน และรัศมีวงกลมวงนอก

ข้อจำกัดเกี่ยวกับค่าอินพุตของเครื่องคำนวณสามเหลี่ยม

1. คุณสามารถป้อนค่าสองค่าเท่านั้น
2. ค่ามุมของ α และ β ควรน้อยกว่า 90° หรือ (π/2) เรเดียน
3. ความยาวของความสูงถึงไฮโปเตนูส (h) ไม่ควรเกินความยาวของคาเทตีใดๆ (a หรือ b)
4. ความยาวของแต่ละด้านของสามเหลี่ยม (a, b หรือ c) ต้องน้อยกว่าผลรวมของอีกสองด้าน
5. สำหรับความยาวถึงไฮโปเตนูสที่กำหนดใดๆ สามเหลี่ยมมีเส้นรอบรูปสูงสุด เครื่องคำนวณจะไม่ยอมรับเส้นรอบรูปใดๆที่เกินค่านี้ เส้นรอบรูปสูงสุดของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีความยาวถึงไฮโปเตนูสที่กำหนดสอดคล้องกับกรณีของสามเหลี่ยมด้านเท่า (a=b) ในกรณีนี้ \$a=b=\frac{c}{\sqrt2}\$ และเส้นรอบรูปสูงสุด \$P=a+b+c=c+\frac{2c}{\sqrt2}\$

สามเหลี่ยมมุมฉาก: คำจำกัดความและข้อมูลที่เป็นประโยชน์

สามเหลี่ยมมุมฉากคือสามเหลี่ยมที่มุมหนึ่งเท่ากับ 90° หรือ \$\frac{π}{2}\ rad\$ ด้านตรงข้ามกับมุมฉากเรียกว่าไฮโปเตนูส อีกสองด้านเรียกว่าคาเทตี หรือขา ของสามเหลี่ยม

ขา b บางครั้งเรียกว่าฐานของสามเหลี่ยมมุมฉาก และขา a คือความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ขาของสามเหลี่ยมจะสั้นกว่าไฮโปเตนูสเสมอ เนื่องจากมุมหนึ่งของสามเหลี่ยมเท่ากับ 90° และผลรวมของมุมทั้งหมดของสามเหลี่ยมใดๆคือ 180° ผลรวมของมุมอีกสองมุมของสามเหลี่ยมมุมฉากก็คือ 90° เช่นกัน: α+β=90°ความยาวของด้านข้างของสามเหลี่ยมมีความสัมพันธ์กันตามที่อธิบายไว้ในทฤษฎีพีทาโกรัส

ทฤษฎีพีทาโกรัส

ทฤษฎีพีทาโกรัสเกี่ยวข้องกับความยาวของทุกด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก ระบุว่ากำลังสองของไฮโปเตนูสเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขาทั้งสอง:

$$c^2=a^2+b²$$

ดังนั้น หากทราบเฉพาะความยาวของคาเธติเท่านั้น ความยาวของไฮโปเตนูสสามารถคำนวณได้ดังนี้:

$$c=\sqrt{a^2+b²}$$

สมมติว่าเรารู้ความยาวของคาเธตัสหนึ่งด้านและความยาวของไฮโปเตนูส ในกรณีนั้น เราสามารถคำนวณความยาวของคาเธตัสอีกด้านได้ดังนี้:

$$a=\sqrt{c^2-b²}$$

$$b=\sqrt{c^2-a^2}$$

ทฤษฎีพีทาโกรัสเป็นทฤษฎีบทที่สำคัญที่สุดเกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉากและหนึ่งในทฤษฎีบทที่สำคัญที่สุดในเรขาคณิตยูคลิด

สูตรที่จำเป็นอื่นๆ

นอกเหนือจากทฤษฎีพีทาโกรัส ความสัมพันธ์ต่อไปนี้จะใช้ในการคำนวณค่าที่ขาดหายไปของสามเหลี่ยมมุมฉาก:

เส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมคือผลรวมของความยาวของด้านทั้งหมดและพบเป็น

$$P = a + b + c$$

พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากคำนวณเป็น

$$A=\left( \frac{1}{2} \right)ab$$

ในการค้นหามุมของสามเหลี่ยมมุมฉาก เราควรคำนวณไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุม ในการค้นหาไซน์ โคไซน์ หรือแทนเจนต์ของมุม เราจำเป็นต้องระบุด้านที่อยู่ติดกันและด้านตรงข้ามของมุม ไฮโปเตนูสและอีกด้านหนึ่งสร้างมุมแหลมทั้งสองของสามเหลี่ยมมุมฉาก อีกด้านนี้เป็นด้านที่อยู่ติดกันของมุมที่เกี่ยวข้อง ด้านซ้ายจึงเป็นด้านตรงข้ามของมุมนี้ ตัวอย่างเช่น ในรูปด้านล่าง a คือด้านตรงข้ามของมุม α และ b คือด้านที่อยู่ติดกัน

ไซน์ของมุมแหลมใดๆในสามเหลี่ยมมุมฉากสามารถพบได้เป็นความยาวของด้านตรงข้ามหารด้วยความยาวของไฮโปเตนูส:

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{c}, \sin{\beta}=\frac{b}{c}$$

โคไซน์ของมุมแหลมใดๆในสามเหลี่ยมมุมฉากสามารถคำนวณได้เป็นความยาวของด้านข้างที่อยู่ติดกันหารด้วยความยาวของไฮโปเตนูส:

$$\cos{\alpha}=\frac{b}{c}, \cos{\beta}=\frac{a}{c}$$

แทนเจนต์ของมุมแหลมใดๆในสามเหลี่ยมมุมฉากสามารถพบได้เป็นอัตราส่วนของความยาวของด้านตรงข้ามกับความยาวของด้านข้างที่อยู่ติดกัน:

$$\tan{\alpha}=\frac{a}{b}, \tan{\beta}=\frac{b}{a}$$

ความยาวของความสูงถึงไฮโปเตนูสคำนวณเป็น

$$h=\frac{ab}{c}$$

เครื่องคำนวณยังค้นหารัศมีและเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมที่กำหนดโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

$$อินเรเดียส=\frac{ab}{a+b+c}$$

$$เส้นรอบวง=\frac{c}{2}$$

ตัวอย่างการคำนวณ

สมมติว่าเรามีสามเหลี่ยมที่รู้จักความยาวของขาทั้งสอง: a = 3 และ b = 4 มาค้นหาค่าที่ขาดหายไปทั้งหมดของสามเหลี่ยมกันเถอะ

ก่อนอื่นเรามาหาความยาวของไฮโปเตนูส c โดยใช้ทฤษฎีพีทาโกรัส:

$$c=\sqrt{a^2+b²}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}+\sqrt{25}=5$$

$$c=5$$

ตอนนี้ เรามาหาค่ามุมของสามเหลี่ยมกันเถอะ ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{c}$$

ดังนั้น

$$\alpha=arcsin\left(\frac{a}{c}\right)$$

$$\alpha=arcsin\left(\frac{3}{5}\right)=arcsin(0.6)=0.6435\ rad\ =\ 36.87° = 36°52'12"$$

คล้ายๆกัน

$$\sin{\beta}=\frac{b}{c}$$

ดังนั้น

$$\beta=arcsin\left(\frac{b}{c}\right)$$

$$\beta=arcsin\left(\frac{4}{5}\right)=arcsin(0.8)=0.9273\ rad\ =\ 53.13° = 53°7'48"$$

ลองหาระดับความสูงถึงไฮโปเตนูส h:

$$h=\frac{ab}{c}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}=2.4$$

สำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยม เรามี:

$$A=\frac{1}{2}ab=\frac{a× b}{2}=\frac{3×4}{2}=6$$

สำหรับเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมที่กำหนด เรามี:

$$P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12$$

รัศมีวงกลมวงในสามารถคำนวณได้ดังนี้:

$$อินเรเดียส=\frac{ab}{a+b+c}=\frac{3×4}{3+4+5}=\frac{12}{12}=1$$

และสุดท้าย รัศมีวงกลมวงนอก:

$$เส้นรอบวง=\frac{c}{2}=\frac{5}{2}=2.5$$

สามเหลี่ยมมุมฉากพิเศษ

สามเหลี่ยมมุมฉากมีสองประเภทพิเศษ ได้แก่ สามเหลี่ยม 45-45-90 และสามเหลี่ยม 30-60-90 ความยาวของด้านข้างของสามเหลี่ยมเหล่านี้อยู่ในอัตราส่วนพิเศษ

สามเหลี่ยมมุมฉากด้านเท่า

สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขนาดมุมแหลม 45°และ 45° มีมุมเท่ากันสองมุม ดังนั้น ความยาวของขาจึงเท่ากันทำให้สามเหลี่ยมนี้เป็นเท่ากัน และมุมฉากและความยาวของด้านข้างเกี่ยวข้องดังนี้:

$$a : b : c = 1 : 1 : \sqrt{2}$$

สามเหลี่ยม 30-60-90

มุมแหลมของสามเหลี่ยมนี้คือ 30° และ 60°ความยาวของด้านข้างเกี่ยวข้องดังนี้:

$$a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2$$

โดยที่ 'a' คือด้านตรงข้ามกับมุม 30°, 'b' คือด้านตรงข้ามกับมุม 60° และ 'c' คือไฮโปเตนูส