เครื่องคำนวณสูตรระยะทาง

เครื่องคำนวณนี้จะค้นหาระยะห่างระหว่างจุดสองจุดบนระนาบหากทราบพิกัดของจุด เครื่องคำนวณทำงานในพื้นที่สองมิติ

เนื่องจากเส้นตรงแสดงถึงระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่าง 2 จุด เครื่องคำนวณนี้จึงสามารถใช้เป็นเครื่องคำนวณความยาวเส้นได้

คำแนะนำสำหรับการใช้งาน

เครื่องคำนวณค้นหาระยะห่างระหว่างจุด 1 ที่มีพิกัด (X₁, Y₁) และจุด 2 ที่มีพิกัด (X₂, Y₂)

หากต้องการค้นหาระยะห่างระหว่างจุดสองจุด ให้ป้อนพิกัดลงในช่องที่เกี่ยวข้อง ควรป้อนพิกัดอินพุตดังนี้:

• เครื่องหมายจุลภาคควรแยกพิกัดสองตัวของแต่ละจุด ตัวอย่างเช่น ป้อน “4,5” ลงในช่อง (X₁, Y₁) เพื่อให้มีจุด 1 ที่มีพิกัด x คือ 4 และพิกัด y ที่ 5 หากพิกัดใดตัวหนึ่งแสดงด้วยทศนิยม ให้ใช้จุดทศนิยมเพื่อแยกส่วนจำนวนเต็มออกจากส่วนทศนิยม ตัวอย่างเช่น ป้อน “4.5,7” เพื่อให้มีจุดที่มีพิกัด x ที่ 4.5 และพิกัด y ที่ 7
• คุณสามารถใช้จำนวนเต็มและทศนิยมเป็นพิกัดจุดเท่านั้น เศษส่วนไม่ได้รับการยอมรับ
• ช่องว่างระหว่างพิกัดไม่จำเป็น แต่คุณสามารถใช้เพื่อความสะดวกของคุณ

หลังจากป้อนพิกัด ให้กด “คำนวณ” เครื่องคำนวณจะส่งคืนคำตอบสุดท้ายและอัลกอริทึมการแก้ปัญหาโดยละเอียด

สูตรระยะทาง

บนระนาบสองมิติ ระยะทาง d ระหว่างจุด 1 ที่มีพิกัด (X₁, Y₁) และจุด 2 ที่มีพิกัด (X₂, Y₂) สามารถพบได้ด้วยความช่วยเหลือของสูตรต่อไปนี้:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง: ระยะห่างระหว่าง 2 จุดในพื้นที่ 2 มิติสามารถพบได้เป็นรากที่สองของผลรวมของความแตกต่างกำลังสองของพิกัดที่เกี่ยวข้อง สูตรนี้เรียกว่าสูตรระยะทางยูคลิเดียน ดังนั้น เครื่องคำนวณนี้จึงสามารถเรียกได้ว่าเครื่องคำนวณระยะทางยูคลิเดียน

การกำเนิดสูตรระยะทางยูคลิด

หาสูตร มาดูจุดสองจุดที่กำหนดบนระนาบพิกัด (X, Y) กันเถอะ:

หากต้องการค้นหาระยะห่างระหว่างจุด 1 และจุด 2 ลองวาดเส้นแนวตั้งลงจากจุด 2 และเส้นแนวนอนไปทางขวาจากจุด 1 เส้นที่วาดสองเส้นและระยะทางที่จำเป็นจะสร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ขาแนวตั้งของสามเหลี่ยมนี้จะเกิดจากระยะทางแนวตั้งระหว่างจุด 1 และจุด 2: Y₂ – Y₁ ขาแนวนอนของรูปสามเหลี่ยมจะเกิดจากระยะทางแนวนอนระหว่างจุดสองจุด: X₂ – X₁ ไฮโปนูสของสามเหลี่ยมนี้แสดงถึงระยะห่างที่จำเป็นระหว่างจุด เมื่อทราบความยาวของขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก ความยาวของไฮโปนูสสามารถพบได้ด้วยความช่วยเหลือของทฤษฎีพีทาโกรัส:

$$d^2=(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2$$

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

ตัวอย่างการคำนวณ

ตัวอย่างที่ 1

ลองหาระยะห่างระหว่างจุด 1 ด้วย (X₁, Y₁) = (3, 1) และจุด 2 ด้วย (X₂, Y₂) = (5, 7) การแทนที่ค่าของ X₁, Y₁, X₂, Y₂ ในสูตรระยะทางยูคลิเดียน เราจะได้รับ:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(5-3)^2+(7-1)^2}=\sqrt{2^2+6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6.32$$

โปรดทราบว่าการเปลี่ยนลำดับของจุดจะไม่เปลี่ยนผลลัพธ์สุดท้ายเนื่องจากความแตกต่างระหว่างพิกัดยกกำลังสอง ลองทำซ้ำการคำนวณข้างต้น โดยสมมติว่า (X₁, Y₁) = (5, 7) และ (X₂, Y₂) = (3, 1):

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-5)^2+(1-7)^2}=\sqrt{-2^2+-6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6.32$$

ตัวอย่างที่ 2

ลองดูตัวอย่างที่มีพิกัดลบและค้นหาระยะห่างระหว่างจุด 1 ด้วย (X₁, Y₁) = (-4, 2) และจุด 2 ด้วย (X₂, Y₂) = (6, -6)การแทนที่ค่าของ X₁, Y₁, X₂, Y₂ ในสูตรระยะทางยูคลิเดียน เราจะได้รับ:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(6-(-4))^2+(-6-2)^2}=\sqrt{10^2+(-8)^2}$$

$$\sqrt{10^2+(-8)^2}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\approx 12.8$$

ตัวอย่างชีวิตจริง

ดังที่แสดงข้างต้น สูตรระยะทางของยูคลิเดียนขึ้นอยู่กับทฤษฎีพีทาโกรัส ถึงกระนั้น มันปรับทฤษฎีบทให้เข้ากับสถานการณ์ที่ทราบเฉพาะพิกัดของจุดเท่านั้น (แทนที่จะเป็นความยาวของด้านข้างของสามเหลี่ยมที่ใช้โดยทฤษฎีพีทาโกรัส) สูตรนี้มีประโยชน์เมื่อต้องคำนวณระยะทางจากพิกัดบนแผนที่หรือกราฟ นอกจากนี้ยังใช้ในการคำนวณขนาดของจำนวนเชิงซ้อนและเวกเตอร์

ตัวอย่างที่ 3

ลองนึกภาพบันไดเอียงกับผนัง ในสถานการณ์นี้ พื้นแสดงถึงแกน x ของระนาบสองมิติ และผนังแสดงแกน y ดังที่แสดงในภาพด้านล่าง หากบันไดสัมผัสกับผนังที่จุด (0, 2) และสัมผัสพื้นที่จุด (3, 0) ให้หาความยาวของบันได

วิธีแก้

ในการค้นหาความยาวของบันไดในระนาบสองมิติที่เกิดจากผนังและพื้น ก่อนอื่นเรามาระบุพิกัดของจุดสุดท้ายของบันได: X₁, Y₁, X₂, Y₂ เรามาเรียกว่าจุดที่บันไดสัมผัสกับผนัง จุด 1 (X₁, Y₁) และจุดที่บันไดสัมผัสกับพื้น จุด 2 (X₂, Y₂) เรารู้ว่าบันไดสัมผัสกับผนังที่จุดที่มีพิกัด (0, 2) ดังนั้น (X₁, Y₁) = (0, 2):

X₁ = 0, Y₁ = 2

โปรดทราบว่า X₁ = 0 อย่างไร ซึ่งแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนจากภาพด้านบนโดยที่จุด (0, 0) สอดคล้องกับจุดทางกายภาพที่ผนังตรงกับพื้น ทำให้ค่าลบของ X และ Y เป็นไปไม่ได้

นอกจากนี้ เรารู้ว่าบันไดสัมผัสกับพื้นที่จุดที่มีพิกัด (3, 0) ดังนั้น (X₂, Y₂) = (3, 0):

X₂ = 3, Y₂ = 0

นอกจากนี้ Y₂ = 0 เนื่องจากพิกัดเหล่านี้สอดคล้องกับจุดบนพื้นโดยตรง ตอนนี้เรามาใช้สูตรระยะทางเพื่อคำนวณความยาวของบันได:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2}$$

$$\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\approx 3.6$$

คำตอบ

ความยาวของบันไดคือ 3.6

ระยะทางในอวกาศสามมิติ

ระยะทางยูคลิเดียนเป็นสิ่งที่คนส่วนใหญ่เรียกว่า “ระยะทาง” เมื่อเราบอกว่าวัตถุอยู่ห่างจากเรา 5 เมตร นั่นคือระยะทางยูคลิเดียนที่เราคำนึงถึง สูตรระยะทางที่อธิบายไว้ข้างต้นสามารถแยกออกเป็น 3 มิติ (หรือมากกว่า!) ได้อย่างง่ายดาย

ในพื้นที่สามมิติ ระยะห่างระหว่างจุด 1 ที่มีพิกัด (X₁, Y₁, Z₁) และจุด 2 ที่มีพิกัด (X₂, Y₂, Z₂) สามารถคำนวณได้เป็นรากที่สองของผลรวมของความแตกต่างยกกำลังสองระหว่างพิกัดที่สอดคล้องกัน:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2+(Z₂-Z₁)^2}$$