เครื่องคำนวนรากที่สาม

เครื่องคำนวณนี้สามารถใช้ในการค้นหารากที่สามทั้งหมดของตัวเลขที่กำหนดได้ พบทั้งรากหลักและรากจินตภาพ

คำแนะนำสำหรับการใช้งาน

หากต้องการค้นหารากที่สามของตัวเลข ให้ใส่ตัวเลขนั้นลงในช่องป้อนข้อมูลแล้วกด "คำนวน" เครื่องคำนวนจะแสดงคำตอบในสองส่วน: "รากหลัก (จำนวนจริง)" และ "รากทั้งหมด" โดยที่ "รากทั้งหมด" ประกอบด้วยรากหลักและรากจินตภาพ

เครื่องคำนวณยอมรับจำนวนเต็มบวกและลบเป็นอินพุต ไม่ยอมรับเศษส่วน และจำนวนจินตภาพ โปรดทราบว่าหากคุณใช้เศษส่วนหรือจำนวนจินตภาพเป็นอินพุต เครื่องคำนวณรากที่สามนี้จะไม่สนใจทุกอย่างที่อยู่ถัดจากสัญลักษณ์ที่ไม่ใช่ตัวเลขตัวแรกโดยอัตโนมัติ ตัวอย่างเช่น หากคุณป้อน 8/15 เครื่องคำนวนจำคำนวนรากที่สามของ 8 หากคุณป้อน 5 + 3i ระบบจะคำนวนรากที่สามของ 5

คำริยามรากที่สาม

รากที่สามของตัวเลขถูกกำหนดให้เป็นตัวเลขที่ต้องคูณสามครั้งเพื่อให้ได้ตัวเลขเดิม รากที่สามของ x โดยทั่วไปเขียนแทนด้วย ∛x ตามคำจำกัดความ y คือรากที่สามของ x:

$$y=\sqrt[3]{x}$$

ถ้า

$$y \times y \times y = x$$

การหารากที่สามของตัวเลข ∛x เทียบเท่ากับการเพิ่มจำนวนนั้นให้เป็นกำลัง 1/3:

$$\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$$

การดำเนินการรากที่สามเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับการค้นหาการดำเนินการของยกกำลังสาม หากต้องการหายกกำลังสามของตัวเลข จะต้อวคูณตัวเลขนั้น 3 ครั้ง:

$$y^3 = y \times y \times y = x$$

และใน

$$\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{y×y×y}=y$$

กำลังสามสมบูรณ์

กำลังสามสมบูรณ์คือตัวเลข ซึ่งรากที่สามเป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น 8 เป็นกำลังสามสมบูรณ์เนื่องจาก:

$$\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2×2×2}=2$$

เนื่องจากจำนวนเต็มเป็นจำนวนเต็มที่สามารถเป็นบวกและลบได้ กำลังสามสมบูรณ์จึงเป็นทั้งบวกและลบ ตัวอย่างเช่น -8 เป็นกำลังสามสมบูรณ์เนื่องจาก:

$$\sqrt[3]{-8}=\sqrt[3]{-2×-2×-2}=-2$$

0 ก็เป็นจำนวนเต็มเช่นกัน และ

$$\sqrt[3]{0}=\sqrt[3]{0×0×0}=0$$

ดังนั้น 0 จึงเป็นกำลังสามสมบูรณ์เช่นกัน

ในทางกลับกัน 4 ไม่ใช่กำลังสามสมบูรณ์เนื่องจากรากที่สามที่แท้จริงของ 4:

∛4 ≈ 1.58740105

ซึ่งไม่ใช่จำนวนเต็ม

คุณสมบัติรากที่สาม

รากที่สามของจำนวนลบถูกกำหนดให้เป็นค่าลบของรากที่สามของจำนวนบวก กล่าวคือ

$$\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}$$

ตัวอย่างเช่น

$$\sqrt[3]{-27}=-\sqrt[3]{27}=-3$$

คุณสมบัติการคูณของรากที่สาม:

$$\sqrt[3]{x}×\sqrt[3]{y} =\sqrt[3]{x×y}$$

วิธีการคำนวนรากที่สาม

การคำนวนรากที่สามที่แท้จริงของกำลังสามสมบูรณ์

หากต้องการค้นหารากที่สามของตัวเลข ให้ใช้วิธีการแยกตัวประกอบเฉพาะ:

1. ค้นหาตัวประกอบเฉพาะของจำนวน
2. แบ่งตัวประกอบเฉพาะออกเป็นกลุ่มๆโดยมีตัวประกอบสามตัวที่เหมือนกัน
3. นำตัวประกอบของกลุ่มแต่ละกลุ่มมาคูณกันเพื่อให้ได้คำตอบสุดท้าย

ตัวอย่างเช่น ลองหารากที่สามที่แก้จริงของ 3375, ∛3375:

1. เมื่อหาตัวประกอบเฉพาะของ 3375 เราจะได้ 3375 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5
2. เมื่อแบ่งพวกมันออกเป็นกลุ่มที่มีตัวประกอบเหมือนกันสามตัว เราจะได้ 3375 = (3 × 3 × 3) × ( 5 × 5 × 5)
3. สุดท้าย เมื่อนำตัวประกอบของแต่ละกลุ่มมาคูณกัน เราก็ได้ 3 × 5 = 15

ดังนั้น ∛3375 = 15

ถ้าตัวประกอบเฉพาะของจำนวนไม่จัดกลุ่มเป็นสาม แสดงว่าจำนวนนั้นไม่ใช่กำลังสามสมบูรณ์ และเราม่สามารถใช้วิธีนี้หารากที่สามได้

การคำนวนรากที่สามที่แท้จริงของตัวเลขที่มากกว่า -1 และน้อยกว่า 1 (ไม่รวม 0)

ถ้าจำนวนที่กำหนดมากกว่า -1 และน้อยกว่า 1 ก็ไม่สามารถเป็นกำลังสามสมบูรณ์ได้ เนื่องจากตามนิยามแล้ว กำลังสามสมบูรณ์คือตัวเลข ซึ่งรากที่สามเป็นจำนวนเต็ม ตัวเลขใดๆ y จากช่วง -1 < y < 1 ที่ไม่ใช่ 0 จะไม่สามารถเป็นกำลังสามสมบูรณ์ได้ อย่างไรก็ตาม บางครั้งการค้นหารากที่สามที่แท้จริงของตัวเลขดังกล่าวอาจทำได้ค่อนข้างง่าย

ตัวอย่างเช่น ลองหารากที่สามที่แท้จริงของ -0.000125 ตัวเลขนี้ไม่ใช่จำนวนเต็ม ดังนั้น เราจึงไม่สามารถใช้วิธีการแยกตัวประกอบเฉพาะตามที่อธิบายไว้ข้างต้น

แต่เราสามารถสังเกตได้ง่ายกว่า -0.000125 = -125 × 10⁻⁶ ดังนั้น

$$\sqrt[3]{-0.000125}=\sqrt[3]{(-125)×10⁻⁶}$$

เมื่อใช้คุณสมบัติการคูณของรากที่สาม เราจะได้:

$$\sqrt[3]{-0.000125}=\sqrt[3]{(-125)×10⁻⁶}=\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}$$

เขียนรากที่สามของจำนวนลบใหม่ให้เป็นลบของรากที่สามของจำนวนบวก เราจะได้:

$$\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}=-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}$$

สังเกตได้ง่ายกว่า 125 = 5 × 5 × 5 และ 10⁻⁶ = 10⁻² × 10⁻² × 10⁻² ดังนั้น

$$\sqrt[3]{(125)}=\sqrt[3]{(5×5×5)}=5$$

และ

$$\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=\sqrt[3]{(10⁻²)×(10⁻²)×(10⁻²)=10⁻²}$$

ในที่สุด เราก็ได้:

$$\sqrt[3]{(-0.000125)}=\sqrt[3]{((-125) × 10⁻⁶)}=\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}$$

$$\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}$$

$$-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=-\sqrt[3]{(5×5×5)}×\sqrt[3]{(10⁻²)×(10⁻²)×(10⁻²)}=(-5)×10⁻²=-0.05$$

ตัวอย่างในชีวิตจริง

รากที่สามถูกนำมาใช้ในชีวิตจริงเพื่อค้นหาความยาวด้านของวัตถุลูกบาศก์ใดๆ ตัวอย่างเช่น หากคุณทราบปริมาตรของกล่องและต้องการทราบว่าสูงแค่ไหน ให้ตรวจสอบว่าพอดีกับที่ใดที่หนึ่งหรือไม่ หรือถ้าคุณต้องการประมาณปริมาณสี คุณจะต้องทาสีผนังห้องทรงลูกบาศก์ หรือหากต้องการนับจำนวนกระเบื้อง ก็ต้องปูพื้นห้องทรงลูกบาศก์ด้วยปริมาตรที่ทราบ

ปริมาตรลูกบาศก์ของไม้

ลองนึกภพการสร้างบ้านแล้วเจอโฆษณาขายไม้ขนาด 64 ลูกบาศก์เมตร ปริมาตรของไม้จะมีความยาว ความกว้าง และความสูงเป็นเท่าใด?

เพื่อแก้ปัญหานี้ คุณต้องหารากที่สามของ 64 ความยาวของด้านของลูกบาศก์จินตภาพซึ่งจะช่วยคุณอธิบายปริมาตรนี้คือ ∛64 = 4 ดังนั้น จากข้อมูลเดิมเกี่ยวกับปริมาตรลูกบาศก์ของไม้ เรามีความคิดที่แตกต่างกันเกี่ยวกับขนาดของปริมาตรดังกล่าว