Örneklem Büyüklüğü Hesaplayıcı

Örneklem büyüklüğü hesaplayıcısının iki bileşeni bulunmaktadır. İlk bileşen örneklem büyüklüğünü hesaplamak için, ikinci bileşen ise hata payını belirlemek içindir.

Örneklem büyüklüğü belirlemedeki ilk adım, açılır listeden güven seviyesini seçmektir. Ardından, göreceli hata payını girin. Mutlak hata payını, nokta tahmininden bölmek suretiyle göreceli terimlere çevirebilirsiniz.

Eğer nüfus oranını biliyorsanız, onu girin. Aksi takdirde %50 olarak bırakın. Eğer nüfus büyüklüğünü biliyorsanız son hücreye girin; aksi takdirde boş bırakın. Son olarak, "Hesapla" butonuna tıklayın.

Hesaplayıcının ikinci bileşenini hata payını elde etmek için kullanın. İlk adım olarak, açılır menüden bir güven seviyesi seçin. İkinci hücreye çalışmanın örneklem büyüklüğünü girin. Ardından, nüfus oranını ekleyin. Son hücreye nüfus büyüklüğünü girin. Eğer nüfus büyüklüğünü bilmiyorsanız, bu hücreyi boş bırakın. Son olarak, "Hesapla" butonuna tıklayın.

Örneklem

Bir nüfusun bir kısmı veya bir parçası örneklem olarak bilinir. Nüfus, belirli bir çalışmada ilgi alanındaki tüm ögeleri ifade eder. Seçtiğiniz çalışmanın nüfusunun her ögesini incelemek, nüfusu incelemenin ideal yoludur. Ancak, birçok faktör nedeniyle nüfusun her bir ögesini incelemek sıklıkla pratik olmaz. Örneğin, araştırmanız ormandaki böcekler üzerineyse, nüfus sınırsızdır. Dolayısıyla tüm nüfusu inceleyemezsiniz. Bazen test yaparken, çalışmanızın ögeleri yok edilebilir.

Örneğin, mühürlü bir gazlı içecek şişesinin hacmini açıp kontrol ettiğinizde, o gazlı içeceği pazara gönderemezsiniz.

Tüm nüfusu incelemek için çok zaman, para ve diğer kaynaklara ihtiyaç duyulur. Çoğu durumda, araştırmanızı sınırlı zaman, para ve diğer kaynaklarla tamamlamak zorundasınızdır. Çoğu durumda tüm nüfusu incelemek pratik değildir. Çözüm, bir örneklem seçmek ve araştırmayı yapmaktır.

Hata Payı

Çoğu zaman, nüfusun tüm bileşenlerini inceleyemeyiz. Bu nedenle, genellikle örneklem istatistikleri (örnekten hesaplanan ölçümler) nüfus parametrelerini (nüfustan hesaplanan ölçümler) tahmin etmek için kullanılır. Örneklem istatistikleri, örneklemden gözlemlenen veya ölçülen gerçek verilerden türetilir. Bir nüfus parametresi için tek bir sayı tahmin ettiğinizde buna nokta tahmini denir.

Örneğin, bir üretim hattındaki gazlı içecek şişesinin ortalama hacmini tahmin etmek istiyorsanız, rastgele bir parti seçip o partinin ortalama hacmini bulabilirsiniz. Diyelim ki bu partinin ortalama hacmi x̄ 250 ml. Dolayısıyla, üretim hattındaki her şişenin ortalama hacmi \$(\hat{μ})\$ olarak 250 ml olduğunu tahmin edersiniz.

Pratikte, gerçek parametre ile tahmin edilen parametre eşit değildir. Fark, parametrenin tam nüfus yerine bir örneklem kullanılarak tahmin edilmesinden kaynaklanır.

Hata payı, bir parametrenin nokta tahmini ile gerçek değeri arasındaki maksimum muhtemel fark olarak tanımlanır. Bu, genellikle tahminin maksimum hatası olarak adlandırılır.

Güven Aralığı

Güven aralığı, tahminlerin aralığını temsil eder. Tahminlerin aralığı veya güven aralıkları, parametrenin belirli bir hata payı içinde tahmin edildiğini öne sürer. Güven aralığının alt sınırını belirlemek için, hata payı nokta tahminden çıkarılır. Güven aralığının üst sınırını belirlemek için, hata payı nokta tahmine eklenir.

İstatistiklerdeki Örneklem, Hata Payı ve Güven Aralığı Arasındaki İlişki

Tam nüfusu araştırmak yerine, nüfusun parametrelerini tahmin etmek için bir örneklem üzerinde çalışıyoruz. Bu nedenle, nüfusun tahmin edilen parametresi ile gerçek parametresi arasında bir fark olabilir. Hata payı, bir parametrenin nokta tahmini ile gerçek değeri arasındaki maksimum muhtemel farktır. Ayrıca, örneklem büyüklüğü ile hata payı arasında ters bir bağlantı vardır. Daha büyük bir örneklem büyüklüğü, nüfusu daha doğru bir şekilde temsil edecektir, bu da hata payını düşürecektir. Benzer şekilde, örneklem büyüklüğünü azaltmak hata payını artırır.

Bu hata payını nokta tahmine uyguladığınızda güven aralığı elde edilir.

Örneklem Büyüklüğü Hesaplama Formülü

Eldeki bilgilere bağlı olarak örneklem büyüklüğünü hesaplamak için farklı formüller mevcuttur.

İstenilen güven düzeyi, doğruluk derecesini belirlerken, hata payı üzerindeki maksimum aralık, tahmin aralığımızla ulaşmak istediğimiz hassasiyet derecesini belirler.

Eğer nüfusun standart sapmasını da biliyorsak, aşağıdaki formülü kullanarak istenilen güven aralığını elde etmek için gereken minimum örneklem büyüklüğünü hesaplayabiliriz.

$$n=\left(\frac{z_{\alpha/2}×\sigma}{E}\right)^2$$

Finalde elde edilen n sonucu, en yakın tam sayıya yuvarlanmalıdır.

Cochran formülü, istenilen hata payı düzeyi, istenilen güven düzeyi ve nüfusta bulunan özelliğin beklenen oranına dayalı olarak minimum örneklem büyüklüğünü belirlemenize olanak tanır. Cochran formülü şöyledir:

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{E^2}$$

• z = İstenilen güven düzeyine göre z-tablosundan elde edilen Z değeri
• p = Nüfusta bulunan özelliğin beklenen oranı
• E = Hata payı

Örnek 1

Kanada'da lisans öğrencisi olarak kayıtlı olan uluslararası öğrenciler üzerine bir araştırma yapıldığını varsayalım. Başlangıçta çok fazla bilgimiz yok. Bu nedenle, Kanada'daki tüm lisans öğrencilerinin %60'ının uluslararası öğrenciler olduğunu varsayıyoruz. Sonuç olarak, nüfustaki özelliğin tahmini oranı %60'tır. %95 güven düzeyi ve %4 hata payı istiyoruz. Çalışmanın minimum örneklem büyüklüğünde kaç öğrencinin yer alması gerekmektedir?

$$(1-\alpha)=95\%$$

$$z_{α/2}=z_{{95\%}/2}=1,96$$

$$p=60\%$$

$$E=4\%$$

$$n₀=\frac{z²p(1-p)}{E²}=\frac{1,96²×60\%×(1-60\%)}{4\%²}=576,24≈577$$

Böylece, %95 güven düzeyi ve %4 hata payı elde etmek için çalışmada en az 577 öğrencinin yer alması gerekmektedir.

Yukarıdaki formül, nüfus büyüklüğü büyük veya sonsuz olduğunda kullanılır. Eğer nüfus büyüklüğü küçük veya sonlu ise, örneklem büyüklüğünü ayarlamamız gerekmektedir. Örneklem büyüklüğü, aşağıdaki formül kullanılarak sonlu nüfus için ayarlanır.

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}$$

• n₀ = Cochran formülünden hesaplanan örneklem büyüklüğü
• N = Nüfus büyüklüğü
• n = Sonlu nüfus için ayarlanmış örneklem büyüklüğü

Örnek 2

Kanada'da okuduğunuz kolejde lisans programlarında kayıtlı uluslararası öğrenciler üzerine bir araştırma yapıldığını varsayalım. Başlangıçta çok fazla bilgimiz yok. Bu nedenle, kolejdeki tüm lisans öğrencilerinin %60'ının uluslararası öğrenciler olduğunu varsayıyoruz. Sonuç olarak, nüfustaki özelliğin tahmini oranı %60'tır. Kolejinizdeki toplam öğrenci sayısı 12.000'dir. %95 güven düzeyi ve %4 hata payı istiyoruz. Çalışmanın minimum örneklem büyüklüğünde kaç öğrencinin yer alması gerekmektedir?

Bu durumda, önce Cochran formülünü kullanarak n₀ değerini hesaplamalı ve sonra nüfus sonlu olduğu için örneklem büyüklüğünü ayarlamalısınız.

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{{E}^2}=\frac{1,96^2×{60\%}×(1-{60\%})}{{4\%}^2}=576,24$$

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{12.000}\right)}=\frac{576,24}{1+\left(\frac{576,24-1}{12.000}\right)}=549,88\approx550$$

Minimum örneklem büyüklüğü hesaplayıcı ile yukarıdaki karmaşık hesaplamaları bir saniyeden daha kısa sürede tamamlayabilirsiniz.

Hata Payı Hesaplama Formülü

Örneklem büyüklüğü formülünü yeniden düzenleyerek Hata payı formülünü bulabilirsiniz.

Minimum örneklem büyüklüğü formülü şöyledir:

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

Yukarıdaki formülde E'yi veya hata payını konu edelim.

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

$${n₀}×{E}^2=z^2p\left(1-p\right)$$

$$E^2=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}$$

$$E=\sqrt{\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

Örnek 3

Kanada'da lisans programlarında kayıtlı uluslararası öğrenciler üzerine bir araştırma yapıldığını varsayalım. Başlangıçta çok fazla bilgimiz yok. Bu nedenle, Kanada'daki tüm lisans öğrencilerinin %60'ının uluslararası öğrenciler olduğunu varsayıyoruz. Sonuç olarak, nüfustaki özelliğin tahmini oranı %60'tır. Diyelim ki %95 güven düzeyi istiyoruz ve araştırmanız için 577 öğrenci seçtiniz. Araştırmanızın hata payı nedir?

$$z_{{95\%}/2}=1,96$$

$$p=60\%$$

$$n₀=577$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n_0}}=1.96 \times \sqrt{\frac{60\% \times \left(1-60\%\right)}{577}}=4\%$$

Nüfus sonlu ise, önce aşağıdaki formülü kullanarak n₀ değerini bulmalısınız.

$$n₀=\frac{n-nN}{n-N}$$

Sonra, hata payını bulmak için cevabı aşağıdaki formülde uygulayın:

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

Minimum örneklem büyüklüğü hesaplayıcının ikinci bileşeni, tüm bu adımları atlayarak hata payını bir saniyeden daha kısa sürede hesaplamanıza yardımcı olur.

Güven aralığı hesaplama formülü

Hata payını bildiğinizde güven aralığını belirlemek basittir. Aşağıda gösterilen formül güven aralığını hesaplamak için kullanılır.

Güven aralığı = Nokta tahmini ± Hata payı

Güven aralığının üst sınırı = Nokta tahmini + Hata payı

Güven aralığının alt sınırı = Nokta tahmini - Hata payı

Ortalama μ için güven aralığı,

x̄ - E < μ < x̄ + E

x̄ - E alt sınır ve x̄ + E üst sınırdır.

P için güven aralığı,

p - E < P < p + E

Örnek 4

Kanada'da eğitim gören uluslararası öğrencilerin ortalama program maliyetini araştırıyorsunuz. Örnekleminiz için 1.000 öğrenci seçtiniz ve örnekleminize dayanarak, Kanada'da eğitim gören uluslararası öğrencilerin ortalama program maliyetinin 20.000 CAD olduğunu tahmin ediyorsunuz. Hata payı 5.000 CAD. Kanada'da eğitim gören uluslararası öğrencilerin ortalama program maliyeti için güven aralığını bulun.

Üst sınır = x̄ + E = 20.000 CAD + 5.000 CAD = 25.000 CAD

Alt sınır = x̄ - E = 20.000 CAD - 5.000 CAD = 15.000 CAD

Bu durumda, güven aralığı şu şekildedir,

x̄ - E < μ < x̄ + E

15.000 CAD < μ < 25.000 CAD