Dik Üçgen Hesaplayıcı

Dik Üçgen Hesaplayıcı

Dik üçgen hesaplayıcı, sadece dik üçgenlere odaklanan çevrimiçi bir üçgen çözücüdür. Hesaplayıcı, dik üçgenin herhangi iki değerini girdi olarak alır ve eksik üçgen ölçülerini hesaplar. Dahil edilen değerler – üçgenin kenar uzunlukları (a, b ve c), dik açı dışındaki açı değerleri (α ve β), çevre (P), alan (A) ve hipotenüse dik yükseklik (h).

Hesaplayıcıyı kullanmak için, yukarıda listelenen değerlerden herhangi ikisini girin ve "Hesapla" butonuna basın.

Açı değerleri hem derece hem de radyan cinsinden girilebilir. Değeri π kullanarak radyan cinsinden girmek için aşağıdaki gösterimi kullanın: "pi." Örneğin, verilen açı değeri π/3 ise, "pi/3" yazın.

Hesaplayıcı, tüm eksik değerleri ve hesaplama adımlarını gösterecektir. Hesaplayıcı ayrıca, ilgili üçgenin ölçekli görünümünü ve iç teğet çember yarıçapı ile çevre teğet çember yarıçapı değerlerini de gösterecektir.

Üçgen hesaplayıcının girdi değerleri üzerindeki sınırlamaları

1. Yalnızca iki değer girebilirsiniz.
2. α ve β açı değerleri 90°'den veya (π/2) rad'den küçük olmalıdır.
3. Hipotenüse dik yükseklik (h) uzunluğu, herhangi bir dik kenarın (a veya b) uzunluğunu aşmamalıdır.
4. Üçgenin her bir kenarının (a, b veya c) uzunluğu, diğer iki kenarın toplamından küçük olmalıdır.
5. Verilen hipotenüs uzunluğu için, üçgenin maksimum bir çevresi vardır. Hesaplayıcı, bu değeri aşan herhangi bir çevreyi kabul etmeyecektir. Verilen hipotenüs uzunluğu ile dik üçgenin maksimum çevresi, eşkenar üçgen durumuna karşılık gelir (a=b). Bu durumda \$a=b=\frac{c}{\sqrt2}\$, ve maksimum çevre \$P=a+b+c=c+\frac{2c}{\sqrt2}\$.

Dik Üçgen: Tanımı ve Faydalı Bilgiler

Bir dik üçgen, bir açısı 90° veya \$\frac{π}{2}\ rad\$ olan bir üçgendir. Dik açının karşısındaki kenar hipotenüs olarak adlandırılır. Diğer iki kenar, üçgenin dik kenarları veya bacakları olarak adlandırılır.

Üçgenin b bacağı bazen dik üçgenin tabanı olarak adlandırılır ve a bacağı dik üçgenin yüksekliği olarak adlandırılır.

Üçgenin bacakları her zaman hipotenüsten daha kısadır. Üçgenin bir açısı 90° olduğu için ve herhangi bir üçgenin tüm açılarının toplamı 180° olduğu için, dik üçgenin diğer iki açısının toplamı da 90°'dir: α+β=90°. Üçgenin kenar uzunlukları birbirleriyle Pisagor teoremiyle açıklanan bir ilişki içindedir.

Pisagor Teoremi

Pisagor teoremi, bir dik üçgenin tüm kenar uzunluklarını birbirine bağlar. Hipotenüsün karesinin, diğer iki dik kenarın karelerinin toplamına eşit olduğunu belirtir:

$$c^2=a^2+b²$$

Bu nedenle, eğer sadece dik kenarların uzunlukları biliniyorsa, hipotenüsün uzunluğu aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

$$c=\sqrt{a^2+b²}$$

Eğer bir dik kenarın ve hipotenüsün uzunluğu biliniyorsa, diğer dik kenarın uzunluğu aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

$$a=\sqrt{c^2-b²}$$

$$b=\sqrt{c^2-a^2}$$

Pisagor teoremi, dik üçgen hakkında en önemli teorem ve Öklid geometrisindeki en önemli teoremlerden biridir.

Diğer Temel Formüller

Pisagor teoreminin yanı sıra, dik üçgenin eksik değerlerini hesaplamak için aşağıdaki ilişkiler kullanılır:

Bir üçgenin çevresi, tüm kenarlarının uzunluklarının toplamıdır ve şu şekilde bulunur:

$$P = a + b + c$$

Dik bir üçgenin alanı şu şekilde hesaplanır:

$$A=\left( \frac{1}{2} \right)ab$$

Dik üçgenin açılarını bulmak için, açıların sinüsünü, kosinüsünü ve tanjantını hesaplamamız gerekir. Bir açının sinüsünü, kosinüsünü veya tanjantını bulmak için, açının bitişik ve karşı kenarlarını belirlememiz gerekir. Hipotenüs ve dik üçgenin diğer bir kenarı, dik üçgenin her iki dar açısını da oluşturur. Bu diğer kenar, ilgili açının bitişik kenarıdır. Kalan kenar, bu açının karşı kenarıdır. Örneğin, aşağıdaki şekilde, a α açısının karşı kenarı ve b bitişik kenarıdır.

Dik üçgende herhangi bir dar açının sinüsü, karşı kenarın uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna bölünmesiyle bulunur:

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{c}, \sin{\beta}=\frac{b}{c}$$

Dik üçgende herhangi bir dar açının kosinüsü, bitişik kenarın uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna bölünmesiyle hesaplanabilir:

$$\cos{\alpha}=\frac{b}{c}, \cos{\beta}=\frac{a}{c}$$

Dik üçgende herhangi bir dar açının tanjantı, karşı kenarın uzunluğunun bitişik kenarın uzunluğuna oranı olarak bulunur:

$$\tan{\alpha}=\frac{a}{b}, \tan{\beta}=\frac{b}{a}$$

Hipotenüse dik yükseklik şu şekilde hesaplanır:

$$h=\frac{ab}{c}$$

Hesaplayıcı ayrıca, verilen bir üçgenin yarıçapını ve çevresini aşağıdaki formüller kullanarak bulur:

$$İç\ Teğet\ Çember\ Yarıçapı=\frac{ab}{a+b+c}$$

$$Çevre\ Teğet\ Çember\ Yarıçapı=\frac{c}{2}$$

Hesaplama Örneği

İki dik kenarının uzunluklarının bilindiği bir üçgenimiz olduğunu varsayalım: a = 3 ve b = 4. Üçgenin tüm eksik değerlerini bulalım.

Öncelikle, Pisagor teoremini kullanarak hipotenüs c'nin uzunluğunu bulalım:

$$c=\sqrt{a^2+b²}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

$$c=5$$

Şimdi, üçgenin açı değerlerini bulalım. Yukarıda belirtildiği gibi,

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{c}$$

dolayısıyla,

$$\alpha=arcsin\left(\frac{a}{c}\right)$$

$$\alpha=arcsin\left(\frac{3}{5}\right)=arcsin(0,6)=0,6435\ rad\ =\ 36,87° = 36°52'12"$$

Benzer şekilde

$$\sin{\beta}=\frac{b}{c}$$

dolayısıyla

$$\beta=arcsin\left(\frac{b}{c}\right)$$

$$\beta=arcsin\left(\frac{4}{5}\right)=arcsin(0,8)=0,9273\ rad\ =\ 53,13° = 53°7'48"$$

Hipotenüse dik yüksekliği, h'yi bulalım:

$$h=\frac{ab}{c}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}=2,4$$

Üçgenin alanı için:

$$A=\frac{1}{2}ab=\frac{a× b}{2}=\frac{3×4}{2}=6$$

Verilen üçgenin çevresi için:

$$P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12$$

İç teğet çember yarıçapı şu şekilde hesaplanabilir:

$$İç teğet çember yarıçapı=\frac{ab}{a+b+c}=\frac{3×4}{3+4+5}=\frac{12}{12}=1$$

Ve son olarak, çevre teğet çember yarıçapı:

$$Çevre\ teğet\ çember\ yarıçapı=\frac{c}{2}=\frac{5}{2}=2,5$$

Özel Dik Üçgenler

İki özel tür dik üçgen vardır - 45-45-90 üçgeni ve 30-60-90 üçgeni. Bu üçgenlerin kenar uzunlukları özel bir oranda bulunur.

Eşkenar Dik Üçgen

Dar açıları 45° ve 45° olan dik üçgenin iki eşit açısı vardır. Dolayısıyla, bacaklarının uzunlukları da eşittir, bu üçgeni eşkenar ve dik yapar. Kenar uzunlukları aşağıdaki gibi ilişkilidir:

$$a : b : c = 1 : 1 : \sqrt{2}$$

30-60-90 Üçgeni

Bu üçgenin dar açıları 30° ve 60°'dir. Kenar uzunlukları aşağıdaki gibi ilişkilidir:

$$a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2$$

burada 'a' 30° açısının karşısındaki kenar, 'b' 60° açısının karşısındaki kenar ve 'c' hipotenüstür.