Hacim Hesap Makinesi

Her katı üç boyutlu nesne belirli bir alanı kaplar. Masanın üzerine konulan cep telefonumuzun, mahallede yer alan bir su depolama konteynerinin veya basitçe bir futbol sahasındaki futbol topunun kapladığı alanı düşünebiliriz.

Hacim, bir nesnenin kapladığı alan olarak tanımlanabilir. Hacim aynı zamanda nesnenin kapasitesine de atıfta bulunabilir. Garajımızda su konteynerinin kapladığı alanı düşünmek yerine, konteynerin depolayabileceği su miktarı veya kapasitesi hakkında düşünebiliriz.

Hacim hesaplama, bilimin ve matematiğin çeşitli disiplinlerinde kullanılır.

Hacim hesap makinesi, hacim hesaplarken birden fazla ölçü birimini destekler. Ayrıca, hesap makinesi formülü ve adım adım hesaplama sürecini gösterir. Bu makale, hacim ve hacim formülü hesaplayıcısını gerçek örneklerle basit ancak yeterli bir açıklama sağlayacaktır.

Birimler ve Ölçümler

Yargımızın güvenilirliğini ve doğruluğunu artırmak için standart bir ölçü birimine ihtiyacımız var. Birlik için, standart birimler olarak bilinen standartlaştırılmış bir ölçü birimleri seti gereklidir.

SI (Uluslararası Birimler Sistemi) hacim birimi metreküp m³'dür. Ancak, bazı küçük nesnelerin hacimleri, nesne çok küçükse santimetreküp cm³ veya milimetreküp mm³ gibi daha küçük birimlerde yazılabilir.

Öte yandan, kullanıcı uygulamalarına en uygun birimi belirleme özgürlüğüne sahiptir. Hacim hesap makinesi iki ölçüm sistemi destekler: Metrik Sistem ve İngiliz ve ABD Geleneksel Birimleri. Kullanıcı aşağıdaki birimler arasında seçim yapma özgürlüğüne sahiptir:

• kilometreler,
• metreler,
• santimetreler,
• milimetreler,
• mikrometreler,
• nanometreler,
• angstromlar,
• mil,
• yard,
• fit,
• inç.

Eğer formüllerle hacim hesaplaması yaparsak, homojen ölçü birimleriyle çalışmalıyız. Bu nedenle, genellikle hesaplamaları kolaylaştırmak için tüm ölçümleri aynı birime dönüştürürüz.

Örneğin, yüksekliği 75 cm ve yarıçapı 0,5 m olan bir silindirin hacmini hesaplamak düşünün. Yüksekliği metreye dönüştürüp hacmi metreküp cinsinden hesaplayabilir veya yarıçapı santimetreye dönüştürüp hacmi santimetreküp cinsinden bulabiliriz.

Peki, yüksekliği inç cinsinden ve yarıçapı nanometre cinsinden tanımlamaya ne dersiniz? Hesap makinesi bu birim dönüşümünü de yapacak ve adımları gösterecektir.

Bu hesap makinesiyle kullanıcı, her ölçüm girişi için farklı bir birim seçebilir ve hacim formülü hesap makinesi hacmi döndürecektir.

Örneğin, silindirin yüksekliği 5 inç ve yarıçapı 10.506.070 nanometre olsun. Silindir hacim hesap makinesi bölümüne gidip yarıçap ve yükseklik değerlerini açılır listeden doğru birimlerle giriyoruz.

Hesap makinesi ilk olarak hacmi 2,6874044006564 inçküp (inç küp) ve 4,4038667907438E+22 nanometreküp (nanometre küp) olarak döndürür. Bunun nedeni nedir? Çünkü bu, girdiğimiz ölçüm birimleridir ve hesap makinesi, hacmin bu birimlerden biriyle hesaplanmasını gerektiğini varsayar. Silindir hacmi, birim dönüşümü ile birlikte iki farklı şekilde hesaplama yapmayı gösterir!

Hacim Hesaplayıcı: Kapsam, Özellikler ve Örnekler

Hacim hesaplama yöntemleri, bir figürden diğerine değişiklik gösterebilir. Bazı geometrik şekiller, kenar uzunluğu veya yarıçap gibi özelliklerine dayanarak hacimlerini hesaplamak için standart aritmetik formüller kullanır.

Diğer geometrik şekiller daha karmaşıktır ve hacimlerini doğrudan hesaplayamazsınız. Bu durumda, geometrik entegrasyon ve sonlu eleman yöntemleri gibi ileri hesaplama yöntemleri kullanılır. Hacim hesaplayıcı, hacimlerini hesaplamak için geniş bir nesne yelpazesini destekler.

Küre

Küre, bir dairenin üç boyutlu eşdeğeri olup, herhangi bir yuvarlak top (beyzbol, basketbol vb.) bir küre örneğidir. Bir kürenin hacim formülü şöyle verilir:

$$V_{küre}=\frac{4}{3}π r^3$$

Bir kürenin hacminin yalnızca kürenin yarıçapına (r) bağlı olduğunu gözlemleyebiliriz. Yarıçap, kürenin merkezi ile yüzeyindeki herhangi bir nokta arasındaki mesafe olarak tanımlanır. Beyzbol topunun yarıçapı r = 3,65 cm olduğu göz önüne alındığında, bir kürenin hacmini bulmak için küre hacim hesaplayıcısını kullanabiliriz:

$$Hacim = \frac{4}{3}πr^3 = \frac{4}{3} × π × 3,65^3 = 203,68882488692 \ santimetre^3$$

Koni

Bir koni, dairesel bir taban ve zirve olarak adlandırılan bir tepe noktasından oluşan geometrik bir şekildir; taban çevresi noktalarının hepsi, çizgi segmentleri ile tepeye bağlanır. Bir koninin özelliklerini, dairesel tabanın yarıçapı (r) ve tabanın merkezi ile tepe arasındaki yükseklik (h) ile tanımlayabiliriz.

Bir koninin hacmi şöyle ifade edilebilir:

$$V_{koni}=\frac{1}{3}{π r}^2h$$

r yarıçap ve h koninin yüksekliğidir

Diyelim ki bir doğum günü partisi düzenliyorsunuz ve gece boyunca patlamış mısır konileri olarak kullanılacak DIY koni şeklinde parti şapkaları yapmak istiyorsunuz.

Koni şapkalarını 7,5 cm yarıçap ve 0,45 m yükseklikle yapmaya karar verirseniz, her koni şapkanın hacmini hesaplamak için koni hacim hesaplayıcısını kullanabilirsiniz.

0,45 metre = 45 santimetre

$$Hacim = \frac{1}{3}πr^2h = \frac{1}{3} × π × 7,5^2 × 45 = 2650,7188014664 \ santimetre^3$$

Bu, partinin sonunda koninizde bu kadar patlamış mısır koyabileceğiniz anlamına gelir.

Küp

Rubik Küpü ile oynama fırsatı bulamayan kim var ki?

Bu geometrik nesne, 8 köşesi ve 6 eşit kenarı olan bir nesnedir. Bir küpün hacmi yalnızca küpün bir kenarının uzunluğuna (a) bağlıdır.

$$V_{küp}=a^3$$

Çocukların bilişsel yeteneklerini geliştirmeleri için gelişim merkezimize 30 Rubik küp almayı kararlaştırdık. Mağazaya gidip tasarım ve fiyat açısından uygun küpleri bulduk. Küpün bir kenarının uzunluğu 5,7 santimetre. Ne yazık ki, mağazadaki satıcı tüm küpleri kolay taşıma için tek bir kutuya yığmak zorunda. Kutu, kenar uzunluğu 20 santimetre olan kübik bir kutu. Tüm küplerimiz bu kutuya sığar mı?

Küplerin hacmi:

$$Hacim = 5,7³ = 185,19\ santimetre³$$

30 küpün toplam hacmi

$$185,19 × 30 = 5.555,7\ santimetre³$$

Kutunun hacmi:

$$Hacim = 20³ = 8.000\ santimetre³$$

30 küpün hacmini kutunun hacmiyle karşılaştırdık.

$$5.555,7 < 8.000$$

Ve küplerin kutuya tam sığacağını gördük.

Silindir

Bir silindir, üst üste konulmuş çok sayıda daire gibi, üniform dairesel bir tabana sahip geometrik bir prizmadır. Koni gibi, silindir özellikleri dairenin yarıçapı (r) ve silindirin alt yüzeyinden üst yüzeyine kadar olan yükseklik (h) ile tanımlanır. Bir silindirin hacmi şöyle ifade edilebilir:

$$V_{silindir}=π r^2h$$

Dekoratif silindirik bir mumun hacmini hesaplayalım ki, zanaatkar mumu yapmak için ne kadar parafin gerektiğini anlasın. Yani, mumumuzun yüksekliği 15 santimetre ve çapı 8 santimetre olacak. Çaptan yarıçapı hesaplayabiliriz ki, bu da 4 santimetre olacak. Böylece şu sonuca ulaşıyoruz:

$$Hacim = πr^2h = π × 4^2 × 15 = 240π = 753,98223686155\ santimetre^3$$

Dikdörtgen Tank

Bir dikdörtgen tank, tüm kenarları dik açı oluşturan ancak mutlaka eşit olmayan bir küp varyasyonudur. Bu geometrik nesne, iki boyutlu bir dikdörtgeni temsil eden bir uzunluk (l) ve genişlik (w) ile birlikte, dikdörtgenin üç boyutlu uzantısını oluşturan bir yükseklik (h) ile tanımlanır. Dolayısıyla, dikdörtgen tankın hacmi şu şekilde yazılabilir:

$$V_{dikdörtgen\ tank}=l × w × h$$

Bir dikdörtgen tankın evrensel bir örneği nakliye konteyneridir. Standart nakliye konteyneri ISO ölçüleri şöyledir:

• Genişlik = 2,43 m
• Yükseklik = 2,59 m
• Uzunluk = 6,06 m veya 12,2 m

Ölçümler ISO'ya göre standart olduğundan, hacimler de standarttır. Ölçümleri dikdörtgen tank hacim hesaplayıcısına girin ve hacmi hesaplayın. Hem 6,06 m hem de 12,2 m uzunluk değerleri için hesaplamaları yapın.

$$Hacim = 6,06 × 2,43 × 2,59 = 38,139822\ metre³$$

ve

$$Hacim = 12,2 × 2,43 × 2,59 = 76,78314\ metre³$$

Daha Karmaşık Üç Boyutlu Geometrik Şekiller

Diğer geometrik şekilleri temel geometrik şekillerle birleştirebiliriz. Bu şeklin hacmi nedir?

Nesnenin üst kısmında bir koni bulunan bir silindirden oluştuğunu görebiliriz. Dolayısıyla, nesnenin hacminin silindirin hacmi ve koninin hacmi toplamı olduğunu söyleyebiliriz:

$$V_{nesne}=V_{silindir}+V_{koni}$$

Hem silindirin hem de koninin çapı 4 cm'dir. Buna göre,

$$r_{silindir}=r_{koni}=\frac{4}{2}=2\ cm$$

Ayrıca,

$$h_{nesne}=h_{silindir}+h_{koni}$$

$$h_{nesne}=10\ cm$$

ve

$$h_{koni}=3\ cm$$

olduğu göz önüne alındığında,

$$h_{silindir}=7\ cm$$

olduğunu anlayabiliriz.

Değerleri hacim hesaplayıcısına şu şekilde girebiliriz:

$$V_{nesne}=V_{silindir}+V_{koni}=87,96\ cm^3+12,56\ cm^3$$

$$V_{nesne}=100,52\ cm^3$$

Bu örnek, hacim hesaplayıcının desteklediği gelecek geometrik şekilleri daha iyi anlamamıza yardımcı olacaktır.

Kapsül

Kapsül, tıbbi hapların en yaygın formlarından biridir. Kullanıcı, önceki örneği kullanarak bir kapsülün iki zıt yüzeyde iki yarım küreden oluşan bir silindir olduğunu anlayabilir.

İki yarım küre, tek bir küreye eşdeğerdir ve bir kapsülün hacminin bir silindirin hacmi ile bir kürenin hacmi toplamı olduğunu söyleyebiliriz.

$$V_{kapsül} = πr^2h + \frac{4}{3}πr^3 = πr^2(\frac{4}{3}r + h)$$

Burada r yarıçap ve h silindirik kısmın yüksekliğidir.

Kapsül hacim hesaplayıcısı sayesinde, kapsülün hacmini hesaplamak için silindirin hacmini kürenin hacmiyle toplamak zorunda değilsiniz. Kullanıcı doğrudan yükseklik ve yarıçapı girebilir ve hesaplayıcı kapsülün hacmini çıkaracaktır.

İlaçları analiz eden, geliştiren ve üreten farmasötik bilim insanları her zaman iyi kapsül hacimleri bulmaya çalışırlar. Kapsül, kapsül başına gereken ilaç miktarını depolamalıdır, bu nedenle bilim insanları hacmi buna göre ayarlamak için kapsülün boyutlarını (yükseklik ve yarıçap) değiştirirler.

Küresel Kapak

Önceki örnek, yarım küreyi bir kürenin yarısı olarak tanımlamıştı. Öte yandan, küresel kapak, bir düzlemle kesildiğinde kürenin bir kısmıdır. Yarım küre, kürenin iki eşit parçaya bölündüğü küresel kapağın özel bir durumudur. Dolayısıyla, bir yarım kürenin hacmi bir kürenin hacminin yarısıdır.

Aşağıdaki şekil, (r) tabanın yarıçapı, (R) kürenin yarıçapı ve (h) küresel kapağın yüksekliği olan bir küresel kapağın bir örneğini göstermektedir. Bu değişkenler arasında bir ilişki vardır. Bu nedenle, bu değerlerden ikisini bilmek, üçüncüsünü hesaplamak için yeterlidir.

• r ve R verildiğinde; $h=R±\sqrt{R^2+r^2}$
• r ve h verildiğinde; $R=\frac{h^2+r^2}{2h}$
• R ve h verildiğinde; $r=\sqrt{2Rh\ -h^2}$

Burada:

• r, tabanın yarıçapı,
• R, kürenin yarıçapı,
• h, küresel kapağın yüksekliğidir.

Bir küresel kapağın hacmi şöyle yazılabilir:

$$V_{küresel\ kapak}=\frac{1}{3}π h^2(3R-h)$$

Küresel kapağın üç değişkeninden ikisini girmek yeterlidir. Örneğin, R = 1m ve r = 0,25m olduğunu düşünün, hesap makinesi iki olası hacim bulur; 0,00313 m³ ve 4,1856 m³. Bunun nedeni nedir?

Aşağıdaki formülü hatırlayarak

$$h=R±\sqrt{R^2+r^2}$$

r ve r değerleri verildiğinde, h'nin iki değeri olabileceğini görebiliriz:

$$h_1=R+\sqrt{R^2+r^2}$$

ve

$$h_2=R-\sqrt{R^2+r^2}$$

Bu, $h_1$ ve $h_2$ kullanırken farklı bir hacim değeri elde edilmesini açıklar.

Ayrıca, R ≥ r eşitsizliği her zaman geçerli olmalıdır, aksi takdirde hesap makinesi "taban yarıçapı top yarıçapından büyük olamaz" şeklinde bir hata mesajı döndürecektir. Bu hata, kullanıcı R ve r değerlerini karıştırırsa yararlıdır.

Koni Kesiti

Bu şekil, bir koninin yatay bir kesitle ve dairesel yüzeyine paralel olarak kesilmesiyle elde edilir. Bu, iki dairesel ve iki paralel yüzeye sahip bir şekil oluşturur.

Bir koni kesiti hacmi şöyle tanımlanabilir:

$$V_{koni\ kesiti}=\frac{1}{3}π h(r^2+rR+R^2)$$

Burada h, alt ve üst yüzeylerin merkezi arasındaki yükseklik, r üst yüzeyin yarıçapı ve R alt yüzeyin yarıçapıdır ve R ≥ r olmalıdır.

Bir pastaneye gittiğinizi ve içinde %35 erimiş çikolata bulunan bir lav keki gördüğünüzü hayal edin.

Eğer gerçekten matematiğe meraklı biriyseniz ve bunu matematiksel bir problem olarak çevirmek isterseniz, kekinizdeki çikolatanın hacmini merak edebilirsiniz. İyi bir fikir, kekin üst ve alt yarıçapını ve yüksekliğini ölçmek ve bütün kekin hacmini hesaplamaktır.

Ölçümler r = 16 cm, R = 20 cm ve h = 10 cm olduğunu varsayalım.

O zaman, değerleri koni kesiti hacim hesaplayıcısına girerek kekin hacmini kolayca bulabiliriz.

$$Hacim=\frac{1}{3}π h(r^2+rR+R^2)=\frac{1}{3}π 10(16^2+16×20+20^2)= 10220,648099679 \ santimetre^3$$

Ayrıca, 10.220,65 cm³'ün %35'i yaklaşık 3.577,23 cm³ çikolatadır.

Elipsoid

Bir küre, yönlü ölçeklendirmeyle deforme edildiğinde, bir elipsoid adı verilen bir yüzey oluşturur. Bir elipsoidi, kürenin merkezi ile yüzeydeki farklı noktalar arasındaki mesafelerin eşit olmadığı bir şekilde uzatılmış bir küre olarak düşünebiliriz.

Bu nedenle, elipsoidin üç eksenı vardır ve elipsoidin hacmi, merkezden bu eksenlerin her birine olan yarıçaplarına göre tanımlanır. Üç yarıçap değeri a, b ve c olarak belirtilir.

Toplar hakkında konuştuğumuzda her zaman yuvarlak küreler düşünürüz, ancak elipsoidal toplar da var! Rugby topuna bakın. Ölçümlerin a = 9,3 cm, b = 9,3 cm ve c = 14,3 cm olduğunu varsayalım.

Bir elipsoidin hacmi şu şekilde verilir:

$$V_{elipsoid}=\frac{4}{3}π abc$$

a, b ve c'nin sıralaması önemli değildir; onları karıştırmak sorun değildir.

Elipsoid hacim hesaplayıcısını kullanarak rugby topumuzun hacmini bulabiliriz.

$$Hacim=\frac{4}{3}π abc=\frac{4}{3}× π × 9,3 × 9,3 × 14,3 = 5180,7250468112 \ santimetre^3$$

Kare Piramit

Piramitlerden bahsetmek sizi Mısır'ın antik piramitlerini düşündürebilir. Bir kare piramit, kare tabanlı ve taban karenin çevresindeki noktaların bu tepe noktasına bağlandığı bir yapıdır. Hacmi şu şekilde hesaplanabilir:

$$V_{kare\ piramit}=\frac{1}{3}a^2h$$

Burada a, kare tabanın kenarı ve h, kare tabanın merkezinden tepe noktasına olan yüksekliktir.

Orjinal olarak inşa edildiği şekliyle Hufu Piramidi'nin boyutlarını alalım; h = 146,6 m ve a = 230,33 m. Hufu Piramidi'nin hacmi şu şekilde hesaplanabilir:

$$Hacim=\frac{1}{3}a^2h = \frac{1}{3}230,33^2 × 146,6 = 2.592.469,9482467\ metre^3$$

Tüp

Bir silindirden farklı olarak, bir tüpün dış ve iç çapları vardır. Bu nedenle, tüp hacmi çaplar arasındaki farkı hesaba katmalıdır.

$$V_{tüp}=π\frac{d_1^2-d_2^2}{4}l$$

Tahmin ettiğiniz gibi, d₁ ve d₂ sırasıyla tüpün dış ve iç çaplarıdır. l, tüpün uzunluğudur.

Formülü, yazlık evimizde kazacağımız kuyu için beton halkanın hacmini hesaplamak için kullanalım. Halkamızın yüksekliği 0,89 metre, dış çapı 1,16 metre ve iç çapı 1 metredir.

Bu durumda aşağıdaki hesaplamayı yaparız:

$$Hacim=π\frac{1,16^2-1^2}{4} × 0,89 = 0,076896 π = 0,24\ metre^3$$