Küp Kök Hesaplayıcı

Bu hesaplayıcı, verilen bir sayının tüm küp köklerini bulmak için kullanılabilir. Hem gerçek hem de hayali kökleri bulur.

Kullanım Talimatları

Bir sayının küp kökünü bulmak için, o sayıyı giriş alanına girin ve "Hesapla" düğmesine basın. Hesaplayıcı, cevabı iki bölümde gösterecektir: "ana (gerçek) kök" ve "tüm kökler", burada "tüm kökler" ana kökü ve hayali kökleri içerir.

Hesaplayıcı, giriş olarak pozitif ve negatif tam sayıları kabul eder. Kesirler ve hayali sayılar kabul edilmez. Bir kesir veya hayali sayıyı giriş olarak kullandığınızda, bu küp kök hesaplayıcı ilk olmayan-sayı sembolünden sonrasını otomatik olarak göz ardı edecektir. Örneğin, 8/15 girdiğinizde, hesaplayıcı 8'in küp kökünü hesaplayacaktır; 5 + 3i girdiğinizde, 5'in küp kökü hesaplanacaktır.

Küp Kök Tanımı

Bir sayının küp kökü, orijinal sayıyı elde etmek için üç kez çarpılması gereken sayı olarak tanımlanır. x'in küp kökü genellikle ∛x olarak gösterilir. Tanıma göre, y, x'in küp köküdür:

$$y=\sqrt[3]{x}$$

eğer

$$y \times y \times y = x$$

Bir sayının küp kökünü almak, ∛x, o sayıyı 1/3 üssüne yükseltmekle eşdeğerdir:

$$\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$$

Küp kök işlemi, küp bulma işleminin tersidir. Bir sayının küpünü bulmak için, o sayı 3 kez çarpılmalıdır:

$$y^3 = y \times y \times y = x$$

Ve tersi olarak,

$$\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{y×y×y}=y$$

Mükemmel Küpler

Mükemmel bir küp, küp kökü tam sayı olan bir sayıdır. Örneğin, 8 mükemmel bir küptür çünkü:

$$\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2×2×2}=2$$

Tam sayılar pozitif ve negatif olabilen tam sayılar olduğundan, mükemmel küpler hem pozitif hem de negatif olabilir. Örneğin, -8 mükemmel bir küptür çünkü:

$$\sqrt[3]{-8}=\sqrt[3]{-2×-2×-2}=-2$$

0 da bir tam sayıdır ve

$$\sqrt[3]{0}=\sqrt[3]{0×0×0}=0$$

Bu nedenle, 0 da mükemmel bir küptür.

Öte yandan, 4 mükemmel bir küp değildir çünkü 4'ün gerçek küp kökü:

∛4 ≈ 1,58740105

bir tam sayı değildir.

Küp Kök Özellikleri

Negatif bir sayının küp kökü, pozitif bir sayının küp kökünün negatifi olarak tanımlanır, yani,

$$\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}$$

Örneğin,

$$\sqrt[3]{-27}=-\sqrt[3]{27}=-3$$

Küp köklerin çarpım özelliği:

$$\sqrt[3]{x}×\sqrt[3]{y} =\sqrt[3]{x×y}$$

Küp Kök Nasıl Hesaplanır

Mükemmel bir küpün gerçek küp kökünü hesaplama

Bir sayının küp kökünü bulmak için asal çarpanlara ayırma yöntemini kullanın:

1. Sayının asal çarpanlarını bulun.
2. Asal çarpanları, aynı olan üç çarpan içeren gruplara ayırın.
3. Her gruptan bir çarpan alın ve bunları çarparak son cevabı elde edin.

Örneğin, 3375'in tüm gerçek küp köklerini bulalım, ∛3375:

1. 3375'in asal çarpanlarını bulduğumuzda, 3375 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5 elde ederiz.
2. Bunları aynı olan üç çarpan içeren gruplara ayırarak, 3375 = (3 × 3 × 3) × (5 × 5 × 5) elde ederiz.
3. Son olarak, her gruptan bir çarpan alıp bunları çarptığımızda, 3 × 5 = 15 elde ederiz.

Bu nedenle, ∛3375 = 15.

Bir sayının asal çarpanları üçlü gruplar oluşturmuyorsa, sayı mükemmel bir küp değildir ve bu yöntemi kullanarak küp kökünü bulamayız.

-1 ile 1 Arasında (0 Hariç) Olan Bir Sayının Gerçek Küp Kökünü Hesaplama

Verilen sayı -1'den büyük ve 1'den küçükse, tanım gereği bir tam sayı olan küp köküne sahip bir sayı olmadığı için mükemmel bir küp olamaz. -1 < y < 1 aralığından ve 0 olmayan herhangi bir sayı mükemmel bir küp olamaz. Ancak, bazen böyle bir sayının gerçek küp kökünü bulmak nispeten kolay olabilir.

Örneğin, -0,000125'in tüm gerçek küp köklerini bulalım. Bu sayı bir tam sayı değildir. Dolayısıyla, yukarıda açıklanan asal çarpanlara ayırma yöntemini kullanamayız.

Ancak kolayca fark edebiliriz ki -0,000125 = -125 × 10⁻⁶. Bu durumda,

$$\sqrt[3]{-0,000125}=\sqrt[3]{(-125)×10⁻⁶}$$

Küp köklerin çarpım özelliğini uygulayarak elde ederiz:

$$\sqrt[3]{-0,000125}=\sqrt[3]{(-125)×10⁻⁶}=\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}$$

Negatif sayının küp kökünü, pozitif sayının küp kökünün negatifi olarak yeniden yazarsak:

$$\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}=-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}$$

125 = 5 × 5 × 5 ve 10⁻⁶ = 10⁻² × 10⁻² × 10⁻² olduğunu kolayca görebiliriz. Bu nedenle,

$$\sqrt[3]{(125)}=\sqrt[3]{(5×5×5)}=5$$

ve

$$\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=\sqrt[3]{(10⁻²)×(10⁻²)×(10⁻²)=10⁻²}$$

Son olarak, elde ederiz:

$$\sqrt[3]{(-0,000125)}=\sqrt[3]{((-125) × 10⁻⁶)}=\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}$$

$$\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}$$

$$-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=-\sqrt[3]{(5×5×5)}×\sqrt[3]{(10⁻²)×(10⁻²)×(10⁻²)}=(-5)×10⁻²=-0,05$$

Gerçek Hayat Örnekleri

Küp kökleri, gerçek hayatta herhangi bir kübik nesnenin kenar uzunluğunu bulmak için kullanılır. Örneğin, bir kutunun hacmini bildiğinizde ve ne kadar yüksek olduğunu öğrenmek istediğinizde, kutunun bir yere sığacak mı diye kontrol etmek için. Ya da, bilinen hacme sahip kübik bir odanın duvarlarını boyamak için gereken boya miktarını tahmin etmek gerektiğinde. Ya da, bilinen hacme sahip kübik bir odanın zeminini kaplamak için gereken karo sayısını hesaplamak gerektiğinde kullanılır.

Ahşabın kübik hacmi

Bir ev inşa ettiğinizi ve satılık 64 metreküp odun ilanı bulduğunuzu düşünün. Bu ahşap hacminin boyutları uzunluk, genişlik ve yükseklik olarak ne olurdu?

Bu problemi çözmek için 64'ün küp kökünü bulmalısınız. Bu hacmi tanımlamanıza yardımcı olacak hayali küpün kenar uzunluğu ∛64 = 4 olacaktır. Böylece, ahşabın kübik hacmine ilişkin orijinal verilerden, böyle bir hacmin boyutu hakkında farklı bir fikre sahip oluruz.