Mesafe Formülü Hesaplama Makinesi

Bu hesaplama makinesi, noktaların koordinatları bilindiğinde bir düzlemdeki iki nokta arasındaki mesafeyi bulur. Hesaplama makinesi iki boyutlu bir uzayda çalışır.

Düz bir çizgi, iki nokta arasındaki en kısa mesafeyi temsil ettiğinden, bu hesaplama makinesi aynı zamanda bir çizgi uzunluğu hesaplama makinesi olarak kullanılabilir.

Kullanım Talimatları

Hesaplama makinesi, koordinatları (X₁, Y₁) olan 1. nokta ve koordinatları (X₂, Y₂) olan 2. nokta arasındaki mesafeyi bulur.

İki nokta arasındaki mesafeyi bulmak için, koordinatlarını ilgili alanlara girin. Giriş koordinatları aşağıdaki gibi girilmelidir:

• Her noktanın iki koordinatı arasında virgül kullanılmalıdır; örneğin, (X₁, Y₁) alanına "4,5" girerek 1. noktanın x koordinatı 4 ve y koordinatı 5 olur. Koordinatlardan herhangi biri ondalık olarak ifade ediliyorsa, tam sayı kısmı ile ondalık kısmı ayırmak için ondalık noktasını kullanın; örneğin, x koordinatı 4,5 ve y koordinatı 7 olan bir nokta için "4,5, 7" girin.
• Nokta koordinatları olarak sadece tam sayılar ve ondalıklar kullanılabilir. Kesirler kabul edilmez.
• Koordinatlar arasında boşluk kullanmanız gerekmez, ancak kendi rahatınız için kullanabilirsiniz.

Koordinatları girdikten sonra "Hesapla" düğmesine basın. Hesaplama makinesi, son cevabı ve ayrıntılı çözüm algoritmasını döndürecektir.

Mesafe Formülü

İki boyutlu bir düzlemde, koordinatları (X₁, Y₁) olan 1. nokta ile koordinatları (X₂, Y₂) olan 2. nokta arasındaki mesafe d, aşağıdaki formülle bulunabilir:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

Diğer bir deyişle: İki boyutlu bir uzayda iki nokta arasındaki mesafe, ilgili koordinatların karelerinin toplamının karekökü olarak bulunabilir. Bu formül Öklid mesafe formülü olarak bilinir. Bu nedenle, bu hesaplama makinesi aynı zamanda bir Öklid mesafe hesaplama makinesi olarak da adlandırılabilir.

Öklid Mesafe Formülü Türetimi

Formülü türetmek için, (X, Y) koordinat düzlemindeki iki verilen noktaya bakalım:

1. nokta ile 2. nokta arasındaki mesafeyi bulmak için, 2. noktadan aşağıya doğru dikey bir çizgi çizelim ve 1. noktadan sağa doğru yatay bir çizgi çizelim. Çizilen iki çizgi ve gerekli mesafe, bir dik üçgen oluşturur. Bu üçgenin dikey ayağı, 1. nokta ile 2. nokta arasındaki dikey mesafe tarafından oluşturulur: Y₂ – Y₁. Üçgenin yatay ayağı, iki nokta arasındaki yatay mesafe tarafından oluşturulur: X₂ – X₁. Bu üçgenin hipotenüsü, noktalar arasındaki gerekli mesafeyi temsil eder. Dik üçgenin ayak uzunlukları bilindiğinde, hipotenüs uzunlu

ğu Pisagor teoremi yardımıyla bulunabilir:

$$d^2=(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2$$

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

Hesaplama Örnekleri

Örnek 1

(X₁, Y₁) = (3, 1) olan 1. nokta ile (X₂, Y₂) = (5, 7) olan 2. nokta arasındaki mesafeyi bulalım. X₁, Y₁, X₂, Y₂ değerlerini Öklid mesafe formülüne yerine koyduğumuzda, şunu elde ederiz:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(5-3)^2+(7-1)^2}=\sqrt{2^2+6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6.32$$

Koordinatlar arasındaki farkların kareye alındığını unutmayın. Yukarıdaki hesaplamayı (X₁, Y₁) = (5, 7) ve (X₂, Y₂) = (3, 1) varsayarak tekrarlayalım:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-5)^2+(1-7)^2}=\sqrt{-2^2+-6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6,32$$

Örnek 2

Negatif koordinatları olan bir örnek üzerinden gidelim ve (X₁, Y₁) = (-4, 2) koordinatlarına sahip 1. nokta ile (X₂, Y₂) = (6, -6) koordinatlarına sahip 2. nokta arasındaki mesafeyi bulalım. X₁, Y₁, X₂, Y₂ değerlerini Öklid mesafe formülüne yerine koyduğumuzda şunu elde ederiz:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(6-(-4))^2+(-6-2)^2}=\sqrt{10^2+(-8)^2}$$

$$\sqrt{10^2+(-8)^2}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\approx 12,8$$

Gerçek Hayat Örnekleri

Yukarıda gösterildiği gibi, Öklid mesafe formülü Pisagor teoremine dayanır, ancak teoremi sadece noktaların koordinatlarının bilindiği (Pisagor teoreminin kullandığı üçgenin kenar uzunlukları değil) durumlara uyarlar. Formül, koordinatlar üzerinden mesafelerin hesaplanması gerektiği harita veya grafiklerde kullanışlıdır. Karmaşık sayıların ve vektörlerin büyüklüklerinin hesaplanmasında da kullanılır.

Örnek 3

Bir duvara dayanan bir merdiveni hayal edin. Bu durumda, zemin 2B düzlemin x eksenini ve duvar y eksenini temsil eder, aşağıdaki resimde gösterildiği gibi. Merdiven, duvara (0, 2) noktasında ve zemine (3, 0) noktasında temas ediyorsa, merdivenin uzunluğunu bulun.

Çözüm

Duvar ve zemin tarafından oluşturulan 2 boyutlu düzlemde merdivenin uzunluğunu bulmak için, önce merdivenin uç noktalarının koordinatlarını belirleyelim: X₁, Y₁, X₂, Y₂. Merdivenin duvara dokunduğu noktayı 1. nokta (X₁, Y₁), zemine dokunduğu noktayı ise 2. nokta (X₂, Y₂) olarak adlandıralım. Merdivenin duvara (0, 2) koordinatlarında dokunduğunu biliyoruz. Dolayısıyla, (X₁, Y₁) = (0, 2):

X₁ = 0, Y₁ = 2

X₁ = 0 olduğuna dikkat edin, bu yukarıdaki resimde açıkça gösterilmiştir, burada nokta (0, 0) duvarın zeminle buluştuğu fiziksel noktaya karşılık gelir, X ve Y'nin negatif değerleri mümkün değildir.

Ayrıca, merdivenin zemine (3, 0) koordinatlarında dokunduğunu biliyoruz. Dolayısıyla, (X₂, Y₂) = (3, 0):

X₂ = 3, Y₂ = 0

Y₂ = 0, çünkü bu koordinatlar doğrudan zemin üzerindeki noktaya karşılık gelir. Şimdi, mesafe formülünü kullanarak merdivenin uzunluğunu hesaplayalım:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2}$$

$$\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\approx 3,6$$

Cevap

Merdivenin uzunluğu 3,6'dır.

3B Uzaydaki Mesafe

Öklid mesafesi, çoğu insanın "mesafe" olarak adlandırdığı şeydir. Bir nesnenin bizden 5 metre uzakta olduğunu söylediğimizde, aklımızda olan Öklid mesafesidir. Yukarıda açıklanan mesafe formülü, 3 (hatta daha fazla!) boyutlara kolayca genişletilebilir.

3 boyutlu bir uzayda, koordinatları (X₁, Y₁, Z₁) olan 1. nokta ile koordinatları (X₂, Y₂, Z₂) olan 2. nokta arasındaki mesafe, karşılık gelen koordinatların karelerinin toplamının karekökü olarak hesaplanabilir:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2+(Z₂-Z₁)^2}$$