Mesafe Hesaplayıcı

Aşağıdaki hesaplayıcılar, iki boyutlu bir uzayda (2D düzlem) veya üç boyutlu bir uzayda (3D uzay) iki nokta arasındaki mesafeyi bulmak için kullanılabilir, ayrıca enlem ve boylam ile tanımlanan iki yer arasındaki mesafeyi hesaplamak veya dünya haritasındaki noktalar olarak belirtilen iki yer arasındaki mesafeyi hesaplamak için de kullanılabilir. Bu sayfada 3 hesaplayıcı bulunmaktadır:

• 2D Mesafe Hesaplayıcı
• 3D Mesafe Hesaplayıcı
• Koordinatlar Arası Mesafe Hesaplayıcı

2D Mesafe Hesaplayıcı, ayrıca verilen iki noktayı birleştiren çizginin eğimini ve açısını bulmak ve ilgili çizgi denklemini belirlemek için kullanılabilir.

Kullanım Talimatları

2D Mesafe Hesaplayıcı

Bu hesaplayıcı, bir 2D düzlemde iki nokta arasındaki mesafeyi bulur: (X₁, Y₁) koordinatlarına sahip 1. nokta ve (X₂, Y₂) koordinatlarına sahip 2. nokta. Bir düzlemde iki nokta arasındaki mesafeyi bulmak için, her iki noktanın koordinatlarını (X₁, Y₁, X₂, Y₂) ilgili alanlara girin ve “Hesapla”ya basın.

Hesaplayıcı, sonucu, detaylı çözüm algoritmasını ve koordinat düzlemindeki noktaların grafiksel temsilini döndürecektir. Ek olarak, hesaplayıcı, verilen iki noktayı birleştiren çizginin eğimini ve açısını bulacak ve ilgili çizgi denklemini belirleyecektir.

3D Mesafe Hesaplayıcı

Bu hesaplayıcı, 3D uzayda iki nokta arasındaki mesafeyi bulur: (X₁, Y₁, Z₁) koordinatlarına sahip 1. nokta ve (X₂, Y₂, Z₂) koordinatlarına sahip 2. nokta. 3D uzayda iki nokta arasındaki mesafeyi hesaplamak için, her iki noktanın koordinatlarını (X₁, Y₁, Z₁, X₂, Y₂, Z₂) ilgili alanlara girin ve “Hesapla”ya basın. Hesaplayıcı, sonucu ve detaylı çözüm algoritmasını döndürecektir. Tüm alanları boşaltmak için “Temizle”ye basın.

Koordinatlar Arası Mesafe Hesaplayıcı - Enlem ve Boylama Dayalı Mesafe

Bu hesaplayıcıyı, koordinatları (enlem ve boylam) bilinen iki nokta arasındaki mesafeyi bulmak için kullanın. Hesaplayıcı, Dünya'nın şeklinin bir elipsoit olarak yaklaştırılabileceği varsayımına dayanarak, Enlem 1 ve Boylam 1'e sahip 1. nokta ile Enlem 2 ve Boylam 2'ye sahip 2. nokta arasındaki mesafeyi bulur. Hesaplamalar için Lambert formülleri kullanılır.

Bu hesaplayıcıyı kullanmak için, verilen Enlem 1, Boylam 1, Enlem 2 ve Boylam 2 değerlerini ilgili alanlara girin ve “Hesapla”ya basın. Hesaplayıcı, noktalar arasındaki mesafeyi kilometre ve mil cinsinden döndürecektir.

Giriş Değerleri

Koordinatlar şu şekilde girilebilir:

• Derece-dakika-saniye formatı, ardından açılır menüden bir pusula yönü - Enlem için N(orth) [Kuzey] veya S(outh) [Güney], Boylam için E(ast) [Doğu] veya W(est) [Batı]. Burada, Enlemler -90 ile 90 arasındaki değerlerle, Boylamlar ise -180 ile 180 arasındaki değerlerle temsil edilmelidir.
• Pusula yönü olmadan ondalık olarak. Bu durumda, değerlerin işareti yönü temsil eder: Ekvatör'ün kuzeyinde Enlem pozitif, güneyinde negatif, Başlangıç Meridyeni'nin doğusunda Boylam pozitif, batısında negatif. Ayrıca, burada da Enlemler -90 ile 90 arasındaki değerlerle, Boylamlar ise -180 ile 180 arasındaki değerlerle temsil edilmelidir. Tüm alanları boşaltmak için “Temizle”ye basın.

Harita Üzerindeki İki Nokta Arasındaki Mesafe Hesaplayıcı

Bu hesaplayıcı, Dünya'nın şeklinin bir elipsoit olarak yaklaştırılabileceği varsayımına dayanarak ve Lambert formülleri kullanarak, Dünya yüzeyindeki iki nokta arasındaki mesafeyi de bulur.

Bu hesaplayıcıyı kullanmak için, sağlanan haritada iki nokta seçin. Hesaplayıcı, seçilen noktaların (ondalık) koordinatlarını otomatik olarak belirleyecek ve mesafeyi kilometre ve mil cinsinden hesaplayacaktır.

Tüm hesaplayıcılar, tam sayıları, ondalıkları ve e-gösterimindeki sayıları giriş olarak kabul eder.

Formüller

Aşağıda sunulan tüm formüllerde, mesafe d olarak gösterilir.

2D mesafe formülü

İki boyutlu bir düzlemde (X₁, Y₁) ve (X₂, Y₂) koordinatlarına sahip iki nokta arasındaki mesafe, aşağıdaki formülle Pitagor teoremi yardımıyla hesaplanır:

$$d=\sqrt{(X₂ - X₁)²+(Y₂ - Y₁)²}$$

3D mesafe formülü

Yukarıdaki formül, (X₁, Y₁, Z₁) koordinatlarına sahip 1. nokta ile (X₂, Y₂, Z₂) koordinatlarına sahip 2. nokta arasındaki mesafeyi bulmak için 3 boyuta genişletilebilir:

$$d=\sqrt{(X₂ - X₁)²+(Y₂ - Y₁)²+(Z₂ - Z₁)²}$$

Enlem ve Boylama Dayalı Mesafe Hesaplama

Bu bölümde, enlem için ϕ ve boylam için λ sembolleri kullanılacaktır. Enlem 1 ve Boylam 1'e sahip bir nokta (ϕ1, λ1) olarak tanımlanacaktır.

Dünya'nın yüzeyinde iki nokta arasındaki mesafeyi hesaplamak için, Dünya'nın yüzeyi boyunca olan mesafeyi hesaplamamız gerekiyor. Bu nedenle, Dünya'nın yüzeyinin şekli için bir yaklaşım seçmemiz gerekiyor. En yaygın üç yaklaşım şunlardır:

1. Düz yüzey. Bu yaklaşım, kısa mesafeler için oldukça iyi çalışır. Bu durumda 2D mesafe formülü kullanılabilir. Dünya'nın yüzeyini bir düzleme yansıtırken meridyenler arasındaki mesafe varyasyonunu hesaba katmak için çeşitli yaklaşımlar mevcuttur.
2. Küresel yüzey. Bu yaklaşımın formülü, Dünya'nın yüzeyinin bir küre olarak yaklaştırılabileceği varsayımına dayanır. Küresel trigonometri daha sonra yaklaşık %5 doğrulukla önemli mesafeler için kullanılabilecek daha hassas bir formül türetmek için kullanılır. Bu formül, büyük daire mesafe formülü veya haversine formülü olarak adlandırılır, çünkü bir haversine - özel bir trigonometrik fonksiyon - yardımıyla türetilmiştir. θ açısı için bir haversine şu şekilde tanımlanır: \$hav\ θ=\frac{(1-cos⁡θ)}{2}\$. Koordinatları (ϕ₁, λ₁) ve (ϕ₂, λ₂) olan iki nokta arasındaki mesafe için haversine formülü şöyle görünür:

$$d=2r\ arcsin\sqrt{hav(φ₂-φ₁ )+(1-hav(φ₁-φ₂ )-hav(φ₁+φ₂ ))× hav(λ₂-λ₁)}$$

$$d=2r\ arcsin\left( \sqrt{(sin²\left( \frac{φ₂-φ₁}{2} \right)⁡+cos⁡\ φ₁×cos⁡\ φ₂ × sin²\left( \frac{λ₂-λ₁}{2} \right)⁡}\right)$$

Burada r - incelenen kürenin yarıçapıdır (bu durumda, Dünya'nın ortalama yarıçapı).

3. Elipsoidal yüzey. Bu yaklaşım en kesin olanıdır çünkü Dünya'nın gerçek şekli bir küreden ziyade bir elipsoide daha yakındır. Bir elipsoitin yüzeyindeki iki noktayı birleştiren en kısa çizgi (yol) jeodezik olarak adlandırılır ve bu yolun uzunluğu Lambert formülleri ile hesaplanır. Bu formüller, ϕ₁ ve ϕ₂ yerine indirgenmiş enlemler β₁ ve β₂ kullanır: tan β = (1 - f) × tan ϕ, burada f - basıklıktır. Mesafe şu şekilde bulunur:

d = a (σ – f/2(X + Y))

Burada a - elipsoitin ekvator yarıçapıdır (bu durumda, Dünya), σ - nokta 1 (β₁, λ₁) ve nokta 2 (β₂, λ₂) arasındaki merkezi açıdır ve radian cinsindendir. Bu açı, yukarıda açıklanan haversine formülü kullanılarak hesaplanır, burada küre ve karşılık gelen elipsoit üzerinde boylamların aynı olduğu varsayılır. X ve Y aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:

$$X=(σ-sin⁡σ)\frac{sin²⁡P\ cos²⁡Q}{cos²\frac{σ}{2}⁡}$$

$$Y=(σ-sin⁡σ)\frac{cos²⁡P\ sin²⁡Q}{sin²\frac{σ}{2}⁡}$$

burada, P = (β₁ + β₂)/2 ve Q = (β₂ – β₁)/2

Gerçek Hayat Uygulamaları

Genellikle mesafe dediğimizde 2D veya 3D mesafeyi kastediyoruz. Bu, çeşitli örnekleri içerir:

• Kuyruğun sonu ile sıranın önü arasındaki mesafe (düz bir sıra için).
• Kayak yaptığınız tepenin eğimi uzunluğu.
• Hatta Güneş ile güneş sisteminin gezegenleri arasındaki mesafe.

Enlem ve boylam mesafesi veya harita üzerindeki noktalar arasındaki mesafe, özellikle bir uçak A noktasından B noktasına seyahat ederken uçuş yolunu hesaplamak için sıkça kullanılır. Çünkü bir yerden başka bir yere uçan bir uçak, Dünya'nın elipsoidal yüzeyi boyunca gidiyor - tam olarak Lambert formüllerinin tarif ettiği durum!