Olasılık Hesaplama Aracı

İki Olayın Olasılık Hesaplama Aracı

İki bağımsız olayın olasılığını bildiğinizde, İki Olayın Olasılık Hesaplama Aracını kullanarak bu olayların birlikte gerçekleşme olasılığını belirleyebilirsiniz. Hesap makinesine iki bağımsız olayın olasılıklarını a ve b'nin olasılığı olarak girmelisiniz. Daha sonra hesap makinesi, iki bağımsız olayın birleşimi, kesişimi ve diğer ilgili olasılıklarını Venn diyagramları ile birlikte gösterecektir.

İki Olay İçin Olasılık Çözücü

İki Bağımsız Olay İçin Olasılık Çözücü Hesaplama Aracının iki giriş değerinden herhangi birini veya her ikisini bildiğinizde iki bağımsız olayın çeşitli olaylarının olasılığını hesaplayabilirsiniz. Bu, iki olayın bir veya her iki olasılığınız olmadığında önemlidir. Sonuçlar, hesaplama adımları ile birlikte cevabı gösterecektir.

Bağımsız Olaylar Serisinin Olasılığı

Birbirini izleyen iki bağımsız olay içeren her deneyin olasılığını belirlemek için Bağımsız Olaylar Serisinin Olasılık Hesaplama Aracını kullanabilirsiniz. Bu hesap makinesinde, olayın kaç kez meydana geldiğini belirlemeniz gerekir.

Normal Dağılımın Olasılığı

Normal dağılım olasılık hesaplama aracı, normal bir eğrinin olasılığını belirlemek için kullanışlıdır. Ortalama μ, standart sapma σ ve sınırları girmeniz gerekir. Normal olasılık hesaplama aracı, belirlenen sınırların olasılığını ve güven seviyeleri aralığı için güven aralıklarını üretecektir.

Olasılığa Giriş

Olasılık, bir olayın gerçekleşme şansıdır. Bir olay kesinlikle gerçekleşecekse, olasılığı 1'dir. Bir olayın gerçekleşmeyeceği durumda, olasılığı 0'dır. Sonuç olarak, belirli bir olayın olasılığı her zaman 0 ile 1 arasındadır. Olasılık hesaplama aracı, çeşitli olaylar için olasılıkları hesaplamayı inanılmaz derecede basit hale getirir.

Olay işlemlerinin kuralları

Bir deneyin sonuçlarının herhangi bir gruplaması bir olay olarak adlandırılır. Bir olay, örneklem uzayının herhangi bir alt kümesi olabilir. Tamamlayıcı, kesişim ve birleşim olay işlemlerinin kuralları olarak tanımlanabilir. Bu kuralları aşağıdaki örneği kullanarak öğrenelim.

Örnek

Üniversitenizde işletme fakültesi dahil çeşitli fakülteler bulunmaktadır. Uluslararası öğrenciler de bu üniversiteye kayıtlıdır. Projeniz kapsamında üniversitenizdeki öğrencilerle röportaj yapmanız gerekmektedir. İlk olarak kapıdan içeri giren ilk öğrenci ile başlamaya karar verirsiniz. Aşağıdaki olasılıkları biliyorsunuz. Diyelim ki,

A = İlk öğrenci İşletme Fakültesinden.

B = İlk öğrenci uluslararası bir öğrenci.

P(A) = 0,6

P(B) = 0,3

Bir Olayın Tümleyeni

Bir olayın tümleyeni, örneklem uzayında o olaya dahil olmayan tüm sonuçların kümesidir.

Örneğin, A olayının tümleyeni, ilk öğrencinin işletme fakültesi dışından bir yerden gelmesi anlamına gelir. Bu, \$A\prime\$ veya Aᶜ olarak gösterilebilir.

A olayının tümleyenini bir Venn diyagramında gösterelim.

Yukarıdaki Venn diyagramında, renkli alan A olayının tümleyenini temsil eder.

Dikdörtgenin toplam alanı, örneklem uzayının genel olasılığını temsil eder. Bu tam olarak birdir. A çemberinin dışındaki alan, A olayının tümleyeninin olasılığını gösterir. Venn diyagramı, aşağıdaki ilişkiyi kurmamıza izin verir:

$$P\left(A\right)+P\left(A^\prime\right)=1$$

Bu nedenle,

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)$$

Aşağıdaki olasılıkları bulalım.

Röportaj için seçtiğiniz ilk öğrencinin işletme fakültesinden olmama olasılığı:

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)=1-0,6=0,4$$

Röportaj için seçtiğiniz ilk öğrencinin uluslararası bir öğrenci olmama olasılığı:

$$P\left(B^\prime\right)=1-P\left(B\right)=1-0,3=0,7$$

Olayların Kesişimi

İki olay A ve B'nin kesişimi, hem A hem de B olaylarında bulunan tüm ortak elemanların listesidir. "VE" kelimesi sıklıkla iki kümenin kesişimini belirtmek için kullanılır.

Örnek 1'deki olay A ve olay B'nin kesişimi, bir uluslararası öğrenci seçilmesi ve bu öğrencinin işletme fakültesinden olması anlamına gelir. Bu, şu şekilde gösterilebilir:

$$A\cap B$$

Olaylar A ve B'nin kesişimini bir Venn diyagramında gösterelim.

Yukarıdaki Venn diyagramında, renkli alan olaylar A ve B'nin kesişimini temsil eder.

Röportaj için yerel bir öğrenci seçme olayını C olarak adlandıralım. Şimdi, olaylar A ve C'yi bir Venn diyagramında gösterelim.

Bir uluslararası öğrenci ve bir yerel öğrenciyi aynı anda seçmek mümkün değildir. Diyelim ki ilk seçtiğiniz öğrenci uluslararası bir öğrencidir. Bu durumda, ilk öğrencinin yerel bir öğrenci olma olayını dışlar. Bu nedenle, olaylar A ve C karşılıklı dışlayıcı olaylardır.

Karşılıklı dışlayıcı olaylar arasında ortak hiçbir eleman yoktur. Bu nedenle, iki karşılıklı dışlayıcı olayın kesişimi boştur.

$$A\cap C=φ$$

Olayların kesişiminin olasılığı farklı yöntemlerle hesaplanabilir. Olaylar A ve B şu şekilde yazılabilir.

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cup B\right)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B/A)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A/B)$$

Bağımsız Olaylar

Bağımsız olaylar, birbirlerini etkilemeyen olaylardır. Örneğimizde, işletme fakültesinden bir öğrenci seçmek, uluslararası bir öğrenci seçip seçmemeyi etkilemez. Bu nedenle, olay A ve olay B'nin iki bağımsız olay olduğunu söyleyebiliriz.

Olaylar bağımsız olduğunda, bunlardan herhangi birinin gerçekleşme olasılığı diğerine bağlı değildir. Bu nedenle,

$$P(B/A)=B\ ve\ P(A/B)=A$$

Bu formülleri, iki kesişim olayının olasılığını belirlemek için daha önce öğrendiğimiz formülü değiştirmek için kullanabilirsiniz.

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(\mathrm{B/A}\right)P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(B\right)× P\left(\mathrm{A/B}\right)P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A)$$

Bu nedenle, iki bağımsız olayın kesişimini, bu iki olayın olasılıklarını çarparak bulabilirsiniz.

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=P(B)× P(A)$$

Olaylar A ve B'nin bağımsız olduğu göz önüne alındığında, ilk seçtiğiniz öğrencinin işletme fakültesinden ve uluslararası bir öğrenci olma olasılığını belirleyelim.

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=0,6× 0,3=0,18$$

Olayların Birleşimi

İki olayın birleşimi, her iki olaydan veya herhangi birinden tüm elemanları içeren başka bir olay üretir. "VEYA" kelimesi genellikle iki olayın birleşimini tanımlamak için kullanılır.

Örnek 1'de, olay A ve B'nin birleşimi, bir işletme fakültesi öğrencisi veya bir uluslararası öğrenci seçmek anlamına gelir. Bu, aşağıdaki gibi gösterilebilir.

$$A\cup B$$

Olay A ve B'nin birleşimini bir Venn diyagramında gösterelim.

Yukarıdaki Venn diyagramındaki renkli alan, olay A ve B'nin birleşimini temsil eder.

Olay A veya olay B'nin olasılığını hesaplamak için, her iki olayın olasılıklarını toplamamız ve kesişimin olasılığını çıkarmamız gerekir.

Olay A ve B'nin birleşiminin olasılığı şu şekilde yazılabilir.

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$$

Yukarıdaki formülü değiştirerek ve iki olayın kesişiminin olasılığını bilmediğimiz ve iki olayın bağımsız olduğu durumlarda iki bağımsız olayın birleşiminin olasılığını bulmak için yeni bir formül oluşturabiliriz.

Eğer olaylar bağımsız ise,

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$

Bu nedenle,

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A)× P(B)$$

Olaylar A ve B'nin birleşiminin olasılığını hesaplayalım, yani bir öğrencinin işletme bölümünde okuyan, uluslararası bir öğrenci veya her ikisi birden olma olasılığı nedir?

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0,6+0,3-0,18=0,72$$

İki Olayın Olasılığını Hesaplama Hesap Makinesi veya İki Olayın Olasılığını Çözme Hesap Makinesi sayesinde yukarıdaki tüm hesaplamaları hızlıca tamamlayabilirsiniz. Hesaplama adımlarınızı kontrol etmek istiyorsanız da İki Olayın Olasılığını Çözme Hesap Makinesini kullanabilirsiniz, çünkü hesaplama adımlarını da gösterir.

Normal Dağılım

Normal dağılım simetrik ve çan şeklindedir. Normal bir dağılım, aynı ortalama, medyan ve moda değerine sahiptir ve verilerin %50'si ortalamanın üzerinde, %50'si ise ortalamanın altındadır. Normal dağılım eğrisi her iki yönde de ortalama noktasından uzaklaşır, ancak X-eksenine asla dokunmaz. Eğri altındaki toplam alan 1'dir.

Eğer rastgele değişken X, μ ve σ² parametrelerine sahip normal bir dağılımla dağıtılmışsa, X ~ N(μ, σ²) şeklinde yazarız.

Normal Dağılımın Olasılığı

Aşağıda gösterilen bir normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonudur:

$$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}}× e^\frac{-{(x-\mu)}^2}{2\sigma^2}$$

Bu fonksiyonda:

• μ, dağılımın ortalamasıdır;
• σ², dağılımın varyansıdır;
• π, 3,14'tür;
• e, 2,7182'dir.

Her bir ortalama ve standart sapma kombinasyonu için bir olasılık tablosu sağlamak mümkün değildir çünkü sonsuz sayıda farklı normal eğri vardır. Sonuç olarak, standart normal dağılım kullanılır. Ortalaması 0 ve standart sapması 1 olan normal dağılıma standart normal dağılım denir.

Normal dağılımın olasılığını hesaplamak için, öncelikle gerçek dağılımı z-puanı kullanarak standart normal dağılıma dönüştürmemiz ve ardından z-tablosunu kullanarak olasılığı hesaplamamız gerekir. Normal olasılık hesaplayıcı, çeşitli güven seviyeleri için olasılıklar sunarak standart normal olasılık hesaplayıcı olarak işlev görür.

$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$$

Standart normal dağılım eğrisi, çeşitli gerçek dünya problemlerini çözmek için kullanılabilir. Sürekli değişkenlerin olasılığını belirlemek için normal dağılım kullanılır. Sürekli bir değişken, sayısız değer, hatta ondalık alabilen bir değişkendir. Sürekli değişkenlerin bazı örnekleri boy, ağırlık ve sıcaklıktır.

Aşağıdaki örneği kullanarak normal dağılımın olasılığını nasıl bulacağımızı öğrenelim.

Örnek

Grubunuzun istatistik dersi sonuçları, ortalama 65 ve standart sapma 10 olarak normal dağılım göstermektedir. Rastgele seçilen bir öğrenci için aşağıdaki senaryoların olasılığını belirleyin:

• Öğrencinin puanı 70 veya üzeri,
• Öğrencinin puanı 70'ten az,
• Öğrencinin puanı 50 ile 70 arasında.

Çözüm

$$P\left(X≥70\right)=P\left(Z≥\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z≥0,5\right)=1-0,6915=0,3085$$

$$P\left(X<70\right)=P\left(Z<\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z<0,5\right)=0,6915$$

$$P\left(50>X>70\right)=P\left(\frac{50-65}{10}>Z>\frac{70-65}{10}\right)=P\left(-1,5>Z>0,5\right)=0,4332+0,1915=0,6247$$

Normal bir eğrinin olasılığını hesaplarken sayısız adım gereklidir ve z-tablolarını kullanmayı gerektirir. Öte yandan, normal dağılım olasılık hesaplayıcısı, hesap makinesine dört sayı girmenizle olasılığı basitçe hesaplamanıza yardımcı olur. Normal dağılım hesaplayıcısını kullanmak için sadece ortalama, standart sapma ve sol ve sağ sınırları girmeniz yeterlidir.