Ortalama, Medyan, Mod Hesaplayıcı

Merkezi eğilim ölçüleri

İstatistiksel verilerin tablolarına ve grafiklerine bakmak, verileri yorumlamamızı zorlaştırabilir. Genellikle veri kümelerini özetlememiz ve istatistiklerden daha yararlı bilgiler elde etmek için önemli özellikleri belirlememiz gerekir.

İstatistikte, verileri özetlemek için farklı ölçüler kullanılır. Bazıları veri merkezini tanımlar; bunlara merkezi eğilim ölçüleri denir. Diğerleri veri değerlerinin ne kadar yayıldığını söyler; bunlara dağılım ölçüleri denir. Verinin belirli bir değerden daha az olan kısmını ortaya çıkaranlara ise konum ölçüleri denir.

Bu hesaplayıcının birincil amacı, veri kümesinde tipik veya merkezi değeri temsil edebilen merkezi eğilim ölçüleri olan ortalamayı (mean) ve medyanı hesaplamaktır. Bu hesaplayıcının ikincil amacı, aralık, çeyrekler ve çeyrekler arası aralık hesaplayarak bir veri kümesindeki varyasyon derecesini belirlemektir.

Ortalama Hesaplayıcı

Ortalama, değerler toplamının toplam değer sayısına bölünmesiyle elde edilir. Aşağıdaki örnek formül kullanılarak bir örnek için ortalama hesaplamayı anlamak ve hesaplamak en kolayıdır:

$$\bar{x}=\frac{x₁+x₂+x₃+\ldots+x_n}{n}=\frac{\sum_{}^{}x}{n}$$

Popülasyon için ortalama formülü ise:

$$\mu=\frac{x₁+x₂+x₃+\ldots+x_n}{N}=\frac{\sum_{}^{}x}{N}$$

Burada, pay sayı veri kümesindeki değerlerin toplamını temsil eder. Ve payda veri kümesindeki değer sayısını temsil eder.

Aritmetik ortalamayı kullanmanın ana özelliği, veri kümesinde mevcut olan tüm veri noktalarını içermesidir.

Ortalamanın ana sınırlılığı, çok büyük veya çok küçük olan aşırı değerlere hassas olmasıdır. Bu tür değerlere aykırı değerler denir ve ortalama üzerinde önemli bir etkisi vardır.

Ayrıca, ortalama değerin veri için tipik değer olması gerekmediğine de dikkat edin. Ortalama değer, veri kümesinde hiç bulunmayan bir değer olabilir.

Örnek ve popülasyon için ortalama

Popülasyon, hakkında bilgi edinilen tüm değerler setidir. Örnek ise popülasyondan alınan daha küçük bir gruptur.

Ortalama değerini hesaplama yöntemi hem örnekler hem de popülasyonlar için aynıdır. Yalnızca belirteçler farklılık gösterir.

Eğer x₁, x₂,..., xₙ bir örnekse, ortalama örnek ortalaması olarak adlandırılır ve x̄ sembolü ile gösterilir. Popülasyonun ortalaması Yunan harfi 𝜇 ile gösterilir.

İstatistikte, örnek büyüklüğünü belirtmek için küçük harf n kullanırız ve popülasyon büyüklüğünü belirtmek için büyük harf N kullanırız.

Ortalama hesaplama örneği

Şu örneğe bakalım: Luigi birinci sınıf bir şef ve pizza severdir. Bali'de kendi pizzacısını açmaya karar verdi. Bir yatırımcı bulmak için Luigi bir iş planı yazıyor. Gelecekteki finansal performansını değerlendirmek için adadaki farklı restoranlardaki pizza fiyatlarının ortalamasını belirlemek istiyor.

Bali'deki restoranlarda Margherita pizza fiyatları hakkında biraz araştırma yaptı ve pizza fiyatlarından oluşan bir veri kümesi elde etti. Hesaplama kolaylığı için son üç sıfırı atalım ve fiyatın binlerce sayısını kullanalım. Yani, hesaplamalarımızda 60 dediğimizde, 60.000 Endonezya rupiahsını kastediyoruz.

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

Luigi adadaki her pizzacıyı dolaşmadı. Rastgele 20 tanesini seçti. Böylece, bir örnek ile uğraşıyoruz.

Şu formülü kullanarak bu veri kümesi için ortalama değeri hesaplayalım:

$$\bar{x}=\frac{x₁+x₂+x₃+\ldots+x_n}{n}=\frac{\sum_{}^{}x}{n}$$

Sonuçta, ortalama x̄ = 71,9 elde ederiz.

Luigi'nin araştırması, Bali'deki bir Margherita pizzasının ortalama fiyatının 71.900 Endonezya rupiahsı olduğunu gösteriyor. Şimdi bu fiyat üzerinden hesaplamalarını yapabilir.

Medyan Hesaplayıcı

Medyan, artan veya azalan sırada düzenlenmiş bir veri setinin ortalama değerini temsil eden bir konum ölçüsüdür.

Medyanı hesaplarken, veri kümesini yarıya bölen bir sayı bulmaya çalışırız. Veri değerlerinin yarısı medyandan az, yarısı medyandan fazladır. Bu yüzden, medyanı bir medyan hesaplayıcı olmadan manuel olarak belirlemeye çalıştığımızda, değerleri artan veya azalan sırada sıralamamız gerekir.

Veri kümesindeki değer sayısı çift veya tek olmasına bağlı olarak medyan hesaplama farklılık gösterir.

Toplam eleman sayısı tek ise, yani n veya N tek sayı ise, aşağıdaki formül uygulanır:

$$Medyan=(\frac{n+1}{2})-inci \ eleman$$

Ancak, eleman sayısı çift ise, yani n çift bir sayıysa, aşağıdaki formül kullanılır:

$$Medyan=\frac{\left[(\frac{n}{2})-inci \ eleman+(\frac{n}{2}+1)-inci \ eleman\right]}{2}$$

Medyanı kullanmanın ana avantajı, son derece yüksek veya son derece düşük değerlerden en az etkilenmesidir.

Medyan Hesaplama Örneği

Yirmi değer içeren bir veri kümesi için,

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

Medyanı şu şekilde hesaplayabiliriz:

1. Veri kümesini artan veya azalan sıraya göre sıralayın. İşte sıralama:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 95, 120, 160

2. Veri kümesindeki değerlerin sayısını belirleyelim. n = 20'dir.

3. Eğer n tek sayı ise, veri kümesinin merkezi değerini medyan olarak seçeriz. Eğer n çift sayı ise, iki medyan değerin aritmetik ortalamasını buluruz. Onları toplayıp toplamı 2'ye bölün.

20 çift bir sayıdır.

Örneğimizdeki merkezi değerler 69 ve 70'dir. Medyanı bu şekilde buluruz:

$$Medyan = \frac{69 + 70}{2} = 69,5$$

Eğer Luigi'nin 21 değerlik bir kümesi olsaydı, örneğin,

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 90, 55, 72, 70

Değerleri sıralayabilirdi:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 90, 95, 120, 160

ve 11. pozisyonda, yani ortada yer alan 70 değerini seçebilirdi.

Ortalama ve Medyan Arasındaki Fark

Hem ortalama hem de medyan, merkezi eğilim ölçüsü olarak kullanılır. Ancak, aralarındaki farkları bilmek önemlidir.

Ortalama ve medyan arasındaki en önemli farklardan biri, ortalama formülünün veri kümesindeki tüm değerleri kullanmasıdır. Buna karşılık, medyan formülü yalnızca merkezi sayıya veya iki merkezi sayıya bağlıdır.

Bu, özellikle bir veya daha fazla sayının olağandışı derecede büyük veya küçük olduğu veri kümeleri için önemlidir. Bu tür sayılara aykırı değerler denir. Çoğu durumda, bu aykırı değerler ortalamayı önemli ölçüde etkileyecektir, ancak medyan üzerinde az veya hiç etkisi olmayacaktır.

İstatistikte, bir ölçü, veri kümesindeki aşırı değerlerden değeri büyük ölçüde etkilenmeyen bir ölçü ise, dirençli olduğu söylenir. Bu nedenle medyanın dirençli olduğunu, ortalamasının dirençli olmadığını söyleyebiliriz.

Ortalama ve medyan, veri kümesinin merkezini farklı şekillerde ölçer. Ortalama, veri kümesinin dengelendiği noktadır. Medyan, verilerin %50'sini bir taraftan %50'sini diğer taraftan ayıran ortalamadır. Veri kümesi simetrik olduğunda, ortalama ve medyan eşittir.

Ancak, ortalama ve medyan her zaman eşit olmayabilir.

Bazı veri kümelerinde ortalama medyandan küçük olabilir veya medyan ortalama değerinden küçük olabilir. Bu durumda, veri kümesinin çarpık olduğunu söyleriz.

Eğer ortalama değer medyandan sola veya daha az ise, veri kümesinin sola çarpık olduğunu söyleriz. Eğer ortalama sağa veya medyandan daha fazla ise, veri kümesinin sağa çarpık olduğunu söyleriz.

Ne ortalama ne de medyan merkezi eğilim ölçüsü olarak daha iyidir. Her ikisi de merkezi farklı yollarla ölçer. Bazı uzmanlar, verilerin aşırı çarpık olduğu veya aşırı değerler içerdiği durumlarda medyanı kullanmayı tercih ederler çünkü medyan tipik bir değeri temsil etme konusunda daha temsili olabilir.

Mod Hesaplayıcı

Bir veri kümesinde en fazla sayıda tekrar eden değer moda değeridir. Bir veri kümesinin modu, en sık görünen değerdir.

Bir veri kümesi eğer en sık tekrar eden tek bir değere sahipse, unimodal olarak adlandırılır.

Eğer bir veri kümesinde aynı en yüksek frekansa sahip iki değer varsa, her iki değer de modal kabul edilir ve veri kümesi bimodal olarak değerlendirilir.

Bir veri kümesi aynı en yüksek frekansa sahip iki değerden fazlaysa, her değer mod olarak kullanılır ve veri kümesi multimodal olarak kabul edilir.

Eğer tek bir veri değeri bir kereden fazla oluşmuyorsa, o zaman veri kümesinin modu olmadığı söylenir. Bu durumda, modun sıfır olduğunu söylemek yanlış olurdu. Aslında sıfır, bazı veri kümelerinde, örneğin sıcaklık ölçümlerinde gerçek bir değer olabilir.

Mod hesaplamanın ana avantajı, bulunmasının en kolay olması ve aşırı değerlerden etkilenmemesidir. Mod hesaplamanın dezavantajı ise, bazı durumlarda, bazı veri kümeleri için mod değeri olmayabilir.

Mod Hesaplama Örneği

Yirmi değer içeren bir veri kümesi için,

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

Modu şu şekilde bulabiliriz:

Veri kümesini artan veya azalan sıraya göre düzenleyin. İşte sıralama:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 95, 120, 160

Daha sonra en fazla tekrar eden değeri buluruz. Burada en sık tekrar eden değer 70'dir. Bu nedenle, verilen veri kümesi için modal değer 70'tir.

Mod merkezi eğilim ölçüsü olsa da, özellikle çarpık dağılımlarda dağılımın merkezi değerini her zaman yansıtmayabilir. Mod veri kümesindeki en büyük değer, en küçük değer veya başka bir değer olabilir. Örneğin, veri kümesinde aşağıdaki sayılar olsaydı:

42, 45, 50, 53, 55, 57, 59, 60, 63, 69, 70, 72, 79, 82, 83, 95, 96, 120, 120, 120

Mod 120 olurdu. Bu durumda, merkezi eğilimi yansıtmazdı.

İlginç bir şekilde, ortalamayı ve medyanı yalnızca nicel veriler için hesaplayabiliriz. Ve modu hem nicel hem de nitel veriler için hesaplayabiliriz.

Ortalama olarak, Anna ayda 12 kez pizza yer.

• 3 kez Napoletana pizzası,
• 3 kez Margherita pizzası,
• 2 kez Calzone pizzası,
• 1 Pepperoni,
• 1 Marinara,
• 1 Dört Peynir,
• 1 Caprese.

Bu durumda, iki moda sahibiz oluruz: Napoletana pizzası ve Margherita pizzası.

Dağılım Ölçüleri

Dağılım ölçüleri, aynı zamanda değişkenlik ölçüleri olarak da bilinir, bir veri kümesi içindeki yayılımı veya değişkenliği belirlemek için kullanılır. Genellikle verilerin merkezi değerden olan varyasyon derecesini yansıtır. Bir veri kümesindeki varyansı, aralık, çeyrekler ve çeyrekler arası aralık kullanarak inceleyebiliriz.

Aralık Hesaplayıcı

Bir veri kümesi için aralık, veri kümesindeki en yüksek ve en düşük değer arasındaki farktır. Veri kümesinin maksimum ve minimum değerlerini belirleyerek hesaplayabiliriz. Aralığı hesaplama formülü şöyledir:

$$Aralık = En\ büyük\ değer - En\ küçük\ değer$$

Aralık Hesaplama Örneği

Yirmi değer içeren bir veri kümesi için,

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

aralığı şu şekilde hesaplayabiliriz:

Veri kümesini artan veya azalan sıraya göre düzenleyin. İşte sıralama:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 95, 120, 160

Daha sonra en yüksek değer 160 ve en düşük değer 42'dir. Böylece aralık:

$$Aralık = en\ büyük\ değer - en\ küçük\ değer = 160 - 42 = 118$$

Bu nedenle, bu veri kümesi için aralık 118'dir.

Çeyrekler Hesaplayıcı

Çeyrekler, veri kümesini üç nokta ile dört çeyreğe bölen değerlerdir; yani birinci, ikinci ve üçüncü çeyrekler.

Birinci çeyrek, Q₁ olarak etiketlenir, verilerin %25'inin altında kaldığı değerdir, geriye kalan %75'i üzerindedir.

İkinci çeyrek, Q₂ olarak da bilinir ve medyan olarak da tanınır. Veri kümesini iki eşit parçaya böler, değerlerin %50'si altında ve %50'si üstünde yer alır.

Üçüncü çeyrek, Q₃ olarak gösterilir, verilerin %75'inin altında kaldığı değerdir, geriye kalan %25'i üzerindedir.

Çeyreklerin Hesaplanması

Bir veri kümesinin çeyreklerinin hesaplanması için bir prosedür:

1. Verileri artan sıraya dizin.

2. İkinci çeyreği hesaplamak için medyanı hesaplayın. İlk ve üçüncü çeyrekler için aşağıdaki adımları izleyin. Veri setindeki değerlerin sayısı olan n'yi belirleyin.

3. İlk çeyrek için, L = 0,25n hesaplayın. Üçüncü çeyrek için, L = 0,75n hesaplayın.

4. Eğer L tam sayı ise, çeyrek değeri, L pozisyonundaki sayı ile L + 1 pozisyonundaki sayının ortalamasıdır.

5. Eğer L tam sayı değilse, bir üst tam sayıya yuvarlayın. Çeyrek değeri, yuvarlanmış değere karşılık gelen pozisyondaki sayıdır.

Çeyrek Hesaplama Örneği

Yirmi değer içeren veri kümesi için,

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

Çeyrekleri şu şekilde hesaplayabiliriz:

1. Veri setini artan veya azalan sırada düzenleyin. İşte sıralama:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 95, 120, 160

2. Önceki hesaplamalardan, medyanın

Medyan = 70

olduğunu zaten biliyoruz.

3. İlk çeyrek için L: 0,25 × 20 = 5. Üçüncü çeyrek için L: 0,75 × 20 = 15.

4. 5 tam sayı olduğu için, bizim durumumuzda Q₁:

$$Q₁=\frac{55+59}{2}=57$$

5. 15 de tam sayı olduğu için, bizim durumumuzda Q₃:

$$Q₃=\frac{72+75}{2}=73,5$$

Bu nedenle, bu veri kümesi için ilk çeyrek 57, ikinci çeyrek 70 ve üçüncü çeyrek 73,5'tur.

Çeyrekler Arası Aralık Hesaplayıcı

Çeyrekler arası aralık (IQR), bir veri kümesinin üçüncü Q₃ ve ilk Q₁ çeyreklerinin farkıdır. Ortalama yayılımı ölçen bir değer olup, şu şekilde hesaplanabilir:

IQR = Q₃ - Q₁

IQR Hesaplama Örneği

Önceki bölümde ilk ve üçüncü çeyrekleri zaten hesapladık. Bunlar 57 ve 73,5. Yapmamız gereken sadece formülü uygulamaktır.

IQR = Q₃ - Q₁ = 73,5 - 57 = 16,5

Buna göre, bu veri kümesi için çeyrekler arası aralık 16,5'tir.

Sonuçlar

Bizim durumumuzda, Luigi'nin Margherita pizza fiyatları hakkında yaptığı mini anketten şu sonuçları çıkarabiliriz: Ortalama ve medyan eşleşmedi; verilerde hafif bir eğrilik oluştu. Ancak bu çok belirgin değil. Dolayısıyla hem ortalama hem de medyan merkezi eğilimi ölçmek için kullanılabilir.

Eğer Luigi Margherita pizza için bir ortalama fiyat belirlemek isteseydi, ortalama veya medyanı dikkate alabilir. Ancak, 71.900 IDR veya 69.500 IDR gibi fiyatlar çok akılda kalıcı olmayabilir. Neyse ki, Margherita pizzanın mod fiyatı bu aralıkta, 70.000 IDR'de yer alıyor, bu da Luigi'nin fiyatlandırma stratejisinde kullanması için uygun bir rakam haline getiriyor.

Eğer daha hesaplı bir hedef kitle için bir pizzacı açmak istese, ilk çeyrek civarındaki rakamlara odaklanabilir. Bu, yaklaşık 57.000 Endonezya rupiahı bir fiyattır. Daha talepkar müşteriler için fiyat belirlemek üzere üçüncü çeyreğe odaklanmak pek uygun değildir çünkü üçüncü çeyrek çok temsil edici değildir.