Permütasyon Hesaplayıcı

Permütasyon hesaplayıcı, bir seferde r elemanlık bir örnekle n farklı nesneyi düzenleme yollarının sayısını hesaplar. Nesnelerin gruplar halindeki düzenlenmesinin önemli olduğu durumlarda mümkün düzenlemelerin sayısını bize söyler. Düzenlenecek toplam nesne sayısı n ile gösterilirken, her gruptaki eleman sayısı r ile gösterilir.

Örneğin, XYZ harflerini her biri iki harften oluşan gruplar halinde düzenlemek istiyorsak, XY, XZ, YZ, YX, ZX ve ZY olmak üzere 6 farklı yol elde ederiz.

Bu hesaplayıcıyı kullanmak için, düzenlenmesi gereken nesnelerin toplam sayısı olan n'yi ve her gruptaki eleman sayısı olan r'yi girin ve ardından "Hesapla" butonuna tıklayın.

Permütasyonlar

Bir kümenin permütasyonu, üyelerinin bir sıra veya belirli bir düzende düzenlenmesidir. Bir küme zaten sıralıysa, bu sıralama o kümenin elemanlarının bir permütasyonudur. Permütasyonda elemanların sırası önemlidir. Örneğin, AB ve BA permütasyonları farklı iki permütasyondur. r nesne örneğinde n nesnelerinin permütasyon sayısı nPr olarak gösterilir.

Permütasyonların sayısının hesaplanması düzenlenen nesnelere bağlıdır. Ayrıca, tekrarların izin verilip verilmediğine de bağlıdır. Aksi belirtilmedikçe, permütasyonları hesaplarken tekrarlara izin verilmediğini varsayarız.

Bu makalede, tekrarsız permütasyon örneklerine bakacağız.

Permütasyonlar, temel sayma ilkesine dayanır. Bu ilke, bir deneyin n₁ kez gerçekleşen birinci olay, n₂ kez gerçekleşen ikinci olay vb. şeklinde k olaydan oluştuğunu belirtir. Deneyin ardışık olarak gerçekleşebileceği yolların sayısı, bireysel olayların gerçekleşme sayılarının çarpımı ile verilir, n₁ × n₂ × ... × nₖ.

Örneğin, ABC harflerinin tekrarsız permütasyonlarda olası düzenlemelerinin sayısını bilmek isteyelim. Herhangi bir harf ilk sırada gelebilir, bu nedenle ilk harfi belirlemek için 3 yol vardır.

İlk harf belirlendikten sonra iki harf kalır ve bu iki harften herhangi biri ikinci harf olarak belirlenebilir, dolayısıyla ikinci harfi belirlemek için iki yol vardır. İkinci harf belirlendikten sonra sadece bir harf kalır. Böylece, üçüncü harfi belirlemek için sadece bir yol vardır.

Bu nedenle, temel sayma ilkesine göre, ABC harflerini düzenlemenin 3 × 2 × 1 = 6 yolu vardır. Bunlar ABC, ACB, BCA, BAC, CAB ve CBA'dır.

Faktöriyel

Yukarıda, 3 farklı nesnenin permütasyon sayısının 3 × 2 × 1 = 6 olduğunu belirledik. Genellikle, n nesnenin (toplamda) permütasyon sayısı n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 şeklinde verilir.

Bu, n'den 1'e kadar olan tüm tam sayıların çarpımıdır. Bir tam sayı olan n'den 1'e kadar olan tüm tam sayıların çarpımına faktöriyel denir ve ! (ünlem işareti) ile gösterilir.

Böylece, n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 olarak adlandırılır ve n faktöriyel olarak adlandırılır.

Unutmayın ki 0!=1 ve 1!=1'dir.

Permütasyonların Örneği

Olimpiyatlarda standart yarış pistlerinde genellikle 9 kulvar bulunur. Ancak, 100 metre yarışı için genellikle 1. kulvar kullanılmaz. 8 koşucu 2'den 9'a kadar sıralı kulvarlara yerleştirilir. 8 koşucunun 2'den 9'a kadar olan kulvarlarda kaç farklı şekilde düzenlenebileceği?

Temel sayma ilkesine göre:

• 8 koşucudan herhangi biri 2. kulvara yerleşir,
• kalan 7 koşucudan herhangi biri 3. kulvara yerleşir,
• kalan 6 koşucudan herhangi biri 4. kulvara yerleşir,
• kalan 5 koşucudan herhangi biri 5. kulvara yerleşir,
• kalan 4 koşucudan herhangi biri 6. kulvara yerleşir,
• kalan 3 koşucudan herhangi biri 7. kulvara yerleşir,
• kalan 2 koşucudan herhangi biri 8. kulvara yerleşir,
• kalan son koşucu 9. kulvara yerleşir.

Bu nedenle, 8 koşucunun 8 kulvarda düzenlenebileceği toplam olası permütasyon sayısı 8! = 8 × 7 × 6 × ... × 2 × 1 = 40.320 şekildedir.

Permütasyon hesaplayıcısında hem n (nesneler) hem de r (örnek) kutularına 8 girin ve 40.320 elde etmek için "Hesapla"ya tıklayın.

Alt Küme Permütasyonları

Önceki örneklerde, tüm nesnelerin düzenlemelerinde göz önünde bulundurulduğu permütasyonlara baktık. Ancak, nesnelerin daha küçük gruplara düzenlendiği durumlar da vardır.

Bu durumlarda, toplam nesne sayısı n ile bağışlanır, gruplardaki (örnek) nesne sayısı r ile gösterilir ve formül permütasyon sayısını verir:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Bu formül, tekrarsız permütasyonları hesaplamak için kullanılır. Ve belirli bir sırayla n kümesinden alınan r örnek düzenlenmesi gerekiyorsa.

Setin tüm elemanlarını belirli bir sırayla ve tekrarsız olarak düzenleme seçeneklerinin sayısını hesaplamamız gerekiyorsa, aşağıdaki formülü kullanabiliriz:

$$ₙPᵣ=n!$$

Örnek

Yukarıdaki örnekte, 100 metre yarışındaki sekiz koşucunun düzenlenebileceği olası yolların sayısına baktık. Şimdi, aynı yarışta üç madalya verilecek. Yarışta birinci olan altın madalya kazanırken, ikinci ve üçüncü olanlar sırasıyla gümüş ve bronz madalya kazanıyor. Yarıştaki 8 koşucudan, altın, gümüş ve bronz madalyalı koşucuları elde etmenin kaç farklı yolu olabilir?

Temel sayma ilkesine göre, 8 koşucudan herhangi biri ilk pozisyonu alabilir. İlk pozisyon doldurulduktan sonra, ikinci pozisyon için yarışacak yedi koşucu kalır. Ve ikinci pozisyonun ardından, üçüncü pozisyon için altı koşucu yarışır. Bu nedenle, 8 koşucudan ilk üç pozisyon için olası permütasyonların toplam sayısı: 8 × 7 × 6 = 336'dır.

Bu formülü kullanırız:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Ve sonuç olarak elde ederiz:

$$₈P₃=\frac{8!}{\left(8-3\right)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{8×7×6×5×4×\ldots×1}{5×4×\ldots×1}=8×7×6=336$$

Permütasyon hesaplayıcısında, n (nesneler) kutusuna 8 ve r (örnek) kutusuna 3 girin ve "Hesapla"ya tıklayarak 336 sonucunu elde edin.

Permütasyonlar ve Kombinasyonlar: Farkları

Başka bir temel sayma tekniği de kombinasyonlardır. Kombinasyonlar, daha küçük sayıda nesne (örnek), r, daha büyük sayıda nesne, n, içinden seçilebilecek çeşitli yollardır. n nesne içinden r nesnenin kombinasyon sayısı basitçe ₙCᵣ olarak gösterilir.

Permütasyon tanımında, sıranın veya düzenin önemli olduğunu belirtmiştik. İşte permütasyonlar ile kombinasyonlar arasındaki fark da burada yatıyor; çünkü kombinasyonlarda sıra önemli değildir.

Örneğin, XYZ harflerinin her biri iki harfli gruplar halinde permütasyonları şöyle olacaktır: XY, XZ, YZ, YX, ZX ve ZY. Böylece altı permütasyon elde ederiz.

Ancak, XYZ harflerinin ikişerli gruplar halinde kombinasyonları XY, XZ ve YZ'dir; üç kombinasyon. Bunun nedeni kombinasyonlarda, XY ve YX aynı kombinasyonlar olarak kabul edilir; XZ ve ZX ile YZ ve ZY için de aynı durum geçerlidir. Dolayısıyla, kombinasyonları hesaplarken sıralamanın önemi yoktur.

Formül, n nesne içinden r nesnenin kombinasyon sayısını verir:

$$ₙСᵣ=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$$

Kombinasyonların Hesaplanması Örneği

Yukarıdaki koşucularla ilgili örnekte, 8 koşuculu bir gruptan birinci, ikinci ve üçüncü pozisyonları seçebileceğimiz yolların sayısını belirledik. Şimdi, 8 koşuculu gruptan pozisyonlarını göz önünde bulundurmadan 3 madalyalı koşucuyu seçebileceğimiz yolların sayısını bilmek istediğimizi varsayalım. Koşucunun birinci, ikinci veya üçüncü olması önemli değil, yeter ki madalya kazansın.

Bu durumda, madalyaların sırasının önemli olmaması nedeniyle kombinasyonlar kullanılır. Böylece, kombinasyonlar formülünü kullanarak bu sorunu çözeriz.

$$ₙСᵣ = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

8 koşucudan 3 madalyalı koşucunun seçilebileceği yolların sayısı şöyle verilir:

$$₈C₃=\frac{8!}{3! × \left(8-3\right)!}=\frac{8!}{3! × 5!}=\frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1}=8×7=56$$

Permütasyonların Hesaplanması Örnekleri

1. Haber yapımcısı, analitik programı için 5 konuk konuşmacının 3'ünü seçebilir. Konukların sırası önemlidir. Yapımcı konukların sunumlarını kaç farklı şekilde düzenleyebilir? Sıra önemlidir ve tekrar kullanılmayacaktır çünkü aynı konuk aynı haber programında iki kez yer alamaz. Bu nedenle, permütasyonlar için formülü kullanabiliriz.

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₅P₃ = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60$$

Bu durumda, yapımcının konuşmacıları düzenlemek için 60 farklı yolu olduğunu görebiliriz.

2. Bir restoran eleştirmeni, şehirdeki en iyi 10 sushi restoranını sıralamak için seçti. Restoranlar, sıralamadaki yerlerini gösterecek şekilde bir sırayla sunulmalıdır. Ayrıca, aynı yer sıralamada birkaç kez yer alamaz. Bu durumda, permütasyonlar formülünün gereklilikleri karşılanmıştır - sıra önemlidir ve tekrarlamalar olmamalıdır. Permütasyonlar için formülü kullanırız:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₁₀P₃ = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 × 9 × 8 = 720$$

3. Permütasyonlar için sıranın önemli olduğunu söylediğimizde, bu sıranın mutlaka 1'den, diyelim ki, 10'a veya başka bir sayıya kadar sayısal olması gerektiği anlamına gelmez. Sıra, setimizin elemanlarını tahsis ettiğimiz belirli nesneler arasında oluşturulabilir.

Örneğin, bir ev tamir şirketinin müdürünü alalım. Bugün odaların boyanması için dört siparişi var. Bunlar, bir vize ajansının ofisi, bir fabrikadaki bir depo, bir giyim mağazası ve özel bir evde bir oda. Şirketin altı boyacısı var. Her biri bir gün boyunca bir tesise gidebilir. Kalan iki boyacı günü izinli geçirecek.

Bu nesneler, bir vize ajansının ofisi, fabrikadaki bir depo, bir giyim mağazası ve özel bir evde bir oda olup, 1, 2, 3 ve 4 pozisyonlarının analoğudur.

Müdürün:

• Ofise atanabilecek 6 adayı,
• Depoya atanabilecek kalan 5 adayı,
• Mağazaya gönderilecek kalan 4 adayı,
• Özel bir evdeki odaya atanabilecek kalan 3 adayı vardır.

Bu nedenle, sezgisel olarak seçim sayısını 6 × 5 × 4 × 3 = 360 olarak tanımlayabiliriz.

Bize verilen koşul, boyacıların nesneler üzerine dağıtılma sırasının bizim için önemli olmasıdır. Tekrarlama izin verilmez, yani bir boyacı aynı gün içinde birden fazla nesnede çalışamaz. Bu yüzden daha önce kullandığımız permütasyon formülünü uygulayabiliriz.

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$\frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 × 5 × 4 × 3 = 360$$

Bu durumda, ev tamir şirketi müdürünün, verilen koşullarda mevcut boyacılar arasında siparişleri dağıtabileceği 360 farklı yol olduğu ortaya çıkmaktadır.