Standart Sapma Hesaplayıcı

Standart sapma hesaplayıcı, bir sayılar kümesinin standart sapmasını hesaplar. Ek olarak, sayılar hakkında ortalamayı ve varyansı da dahil olmak üzere ek bilgiler sağlar. Hesaplayıcı ayrıca farklı güven seviyeleri için veri setinin güven aralığını hesaplar ve frekans dağılımı tablosunu sağlar.

Bu hesaplayıcıyı kullanmak için, sayıları virgülle ayrılmış olarak hesaplayıcıya girin. Sayıların bir popülasyonu mu yoksa bir örneklemi mi temsil ettiğini seçin ve "Hesapla"ya tıklayın.

Standart Sapma

Standart sapma, verilen bir veri setinin yayılımını veya değişkenliğini tanımlayan istatistiksel bir ölçüdür. Veri noktalarının veri setinin ortalamasından olan toplu ortalama mesafesini sağlar. Standart sapma ne kadar küçükse, veri noktaları ortalamaya o kadar yakındır. Aksine, standart sapma ne kadar yüksekse, veri noktaları ortalamadan o kadar uzaktır. Standart sapma, varyans adı verilen başka bir yayılım ölçüsünün kareköküdür.

Standart sapma, veri seti hakkındaki bilgilere dayanarak hesaplanır. Eğer veri seti ilgi alanındaki tüm veri noktalarını temsil ediyorsa (popülasyon), standart sapma popülasyon standart sapması olarak adlandırılır. Ancak, eğer veri seti bir popülasyondan bir örneklemi temsil ediyorsa, standart sapma örneklem standart sapması olarak adlandırılır.

Popülasyon Standart Sapması

Veri seti ilgi popülasyonunu temsil ettiğinde popülasyon standart sapması hesaplanır. Yani, veri seti göz önünde bulundurulan tüm gözlemleri temsil eder. Popülasyon standart sapması σ ile gösterilir.

σ, Sigma adı verilen bir Yunan harfinin küçük harfidir. Popülasyon standart sapması aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

$$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}{(x_i-\mu)^2}}{N}}$$

Burada:

• Σ, matematikte toplamayı belirtmek için kullanılan Yunan büyük harfi Sigmayı temsil eder;
• xᵢ, veri setinin her bir veri noktasını (veri setinin her gözlemi) temsil eder, ilk veri noktasından N'inci (son) veri noktasına kadar;
• μ, popülasyon ortalamasını temsil eder;
• n, popülasyon büyüklüğünü ifade eder.

Genel popülasyonun standart sapmasını hesaplama örneği

Aşağıdaki örnek, popülasyon verilerinin standart sapmasını nasıl bulacağınızı gösterir.

Yatırımcılar, diğer varlık sınıflarıyla karşılaştırıldığında yüksek volatiliteleri nedeniyle hisse senetlerini riskli bir varlık olarak kabul ederler. Bir yatırım yöneticisi, geçen ayki bazı hisse senetlerinin volatilitesini analiz etmek ve standart sapması ortalamasına eşit veya büyük olan hiçbir hisseyi müşterilerine "çok riskli" olarak kabul ettiği için önermeyecektir.

Aşağıda, geçen ayın tüm günlük kapanış fiyatları (USD cinsinden) sıralanmıştır. Standart sapmayı hesaplayın ve yöneticinin hisseyi "çok riskli" olarak kabul edip etmediğine karar verin:

1,31, 1,30, 1,36, 1,40, 1,40, 1,41, 1,27, 1,19, 1,15, 1,12, 0,99, 1,00, 0,97, 0,94, 0,88, 0,90, 0,86, 0,88, 0,80, 0,81

Yöneticinin sadece geçen ayın hisse senedi fiyatlarıyla ilgilendiğini ve yukarıda listelenen fiyatların hepsinin geçen ayın fiyatları olduğunu unutmayın. Sonuç olarak, elimizde popülasyon var. Bu nedenle popülasyonun standart sapmasını hesaplamak için formülü kullanacağız.

Standart sapmayı bulmak için, önce ortalamayı hesaplayın. Ortalama μ'nun sayıların toplamının sayıların sayısına bölünmesiyle elde edildiğini hatırlayın.

$$\mu=\frac{1,31+1,30+1,36+1,40+1,40+1,41+1,27+1,19+1,15+1,12+0,99+1,00+0,97+0,94+0,88+0,90+0,86+0,88+0,80+0,81}{20}=1,097$$

Daha sonra, her sayıdan ortalamayı çıkarın ve farkın karesini alın. Sonra sonuçları toplayın ve sonucu sayıya bölün. Sonuç varyans σ² olarak adlandırılır.

$$\sigma^2=\frac{\left(1,31-1,097\right)^2+\left(1,30-1,097\right)^2+\left(1,36-1,097\right)^2+\left(1,40-1,097\right)^2+\ldots+\left(0,81-1,097\right)^2}{20}=0,045031$$

Son olarak, varyansın karekökünü alarak standart sapmayı elde edin.

$$\sigma=\sqrt{0,045031}\approx0,21$$

Gördüğünüz gibi, bu hissenin geçen ayki fiyatlarının standart sapması ortalamadan daha düşük. Dolayısıyla, yönetici bu hisseyi "çok riskli" olarak düşünmeyecektir.

Örneklem Standart Sapması

Örneklem standart sapması, göz önünde bulundurulan veri seti, ilgi popülasyondan bir örneklemi temsil ettiğinde hesaplanır. Veri seti, göz önünde bulundurulan tüm gözlemlerden daha küçük bir gözlem setini temsil eder. Örneklem standart sapması s ile gösterilir. Örneklem standart sapması aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{n-1}}$$

Burada:

• Σ toplamı ifade eder;
• xᵢ veri noktalarını temsil eder;
• x̄ örneklem ortalamasını ifade eder;
• n örneklem büyüklüğünü belirtir.

Örneklem verilerinin standart sapmasını bulmak için popülasyonun standart sapması için verilen örneği kullanacağız. Ancak bu durumda, yatırım yöneticisinin geçen ayın tüm işlem günlerinin kapanış fiyatlarına erişimi yoktur. Ancak, geçen ayın rastgele seçilmiş 5 gününün kapanış fiyatlarına sahiptir. Sonuç olarak, mevcut örneklemden gelen verileri kullanarak hisse senedi kapanış fiyatlarının standart sapmasını tahmin edecektir.

Diyelim ki 5 gün için kapanış fiyatlarına sahip:

1,31, 1,40, 0,86, 0,88, 1,40

Yöneticinin geçen ayın hisse senedi fiyatlarına ilgi duyduğunu unutmayın. Ancak, geçen ayın tüm fiyatlarına değil, yalnızca 5 günün kapanış fiyatlarının küçük bir alt kümesine sahip. Dolayısıyla bu durumda bir örneklemle ilgileniyoruz. Örneklem standart sapması formülünü kullanarak standart sapmayı hesaplayacağız.

Öncelikle örneklemin ortalamasını hesaplayın.

$$\bar{x}=\frac{1,31+1,40+0,86+0,88+1,40}{5}=1,17$$

Daha sonra varyans s² hesaplanır.

$$s^2=\frac{\left(1,31-1,17\right)^2+\left(1,40-1,17\right)^2+\left(0,86-1,17\right)^2+\left(0,88-1,17\right)^2+\left(1,40-1,17\right)^2}{5-1}=0,0764$$

Son olarak, varyansın karekökünü alarak standart sapmayı elde edin.

$$s=\sqrt{0,0764}\approx 0,28$$

Hata Marjı

Standart sapmanın kullanımlarından biri, "kabul edilebilir" değerler aralığını hesaplamaktır. Bu, endüstri istatistiksel kalite güvencesi ve tahminsel analizde önemli bir rol oynar. Ele alınan temel veriler normal bir dağılım izlediğinde, bu aralığa güven aralığı denir (bir sonraki bölüme bakınız). Bu güven aralıkları çeşitli güven seviyelerinde (veya yüzdelerde) verilir.

Hata marjı, güven aralığının genişliğini veren güven aralığının bir bileşenidir. Yani, hata marjı, ele alınan niceliğin maksimum ve minimum kabul edilen değerlerini verir.

Hata marjı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

$$Hata\ marjı = z_{\alpha/2}\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

Bu formülü, popülasyon standart sapması σ bilindiğinde ve örneklem yeterince büyük olduğunda (genellikle n>30) uygularız.

Popülasyon standart sapması bilinmediğinde ve örneklem küçük olduğunda (genellikle n≤30) aşağıdaki formülü kullanırız:

$$Hata\ marjı = t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

Bu formülde, popülasyon standart sapması σ bilinmediği için örneklem standart sapması s kullanılır.

\$z_{\alpha/2}\$ ve \$t_{n-1, \alpha/2}\$ z-istatistikleri ve t-istatistikleri kullanılarak belirlenir ve kritik değer olarak adlandırılır. Bunlar güven seviyeleriyle ilişkili sabitlerdir.

İstatistiklerde en yaygın kullanılan güven aralıkları %90, %95 ve %99'dur. Ve bunların \$z_{\alpha/2}\$ değerleri sırasıyla 1,645 (%90 için), 1,96 (%95 için) ve 2,575 (%99 için) 'dir.

\$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ veya \$\frac{s}{\sqrt n}\$ standart hatası olarak adlandırılır.

• \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ popülasyonun standart sapması σ bilindiğinde ve büyük bir örnekleme sahip olduğumuzda (genellikle n>30) kullanılır.
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ popülasyonun standart sapmasını bilmediğimiz ve küçük bir örnekleme sahip olduğumuz durumlar için kullanılır (genellikle n≤30). Yani, genel popülasyonun standart sapması σ yerine bize mevcut olan örneklemin standart sapması s kullanılmalıdır.

Güven Aralığı

Yukarıda bahsedildiği gibi, güven aralığı, belirli bir güven seviyesinde, verilen bir niceliğin beklenen aralığıdır (değerler aralığı).

Örneğin, 13 yaşındaki kız çocuklarının boyunun 59 inç ile 66 inç arasında %90 güven seviyesinde olduğunu söyleyebiliriz. Yani, eğer bir grup 13 yaşındaki kız çocuğu seçecek olursak, yaklaşık olarak %90 zaman, boyları verilen değerler arasında olacaktır.

Güven aralığı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

$$\bar{x}± z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ örneklem ortalamasıdır,
• \$z_{\alpha/2}\$ kritik değerdir,
• σ popülasyon standart sapmasıdır,
• n gözlem sayısıdır.

Popülasyon standart sapması σ bilinmediğinde ve örneklem standart sapması s kullanmak zorunda olduğumuzda başka bir formül kullanılır:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ örneklem ortalamasıdır,
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ kritik değerdir,
• s örneklem standart sapmasıdır,
• n gözlem sayısıdır.

Önceki bölümden hatırlayabileceğimiz gibi \$z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\$ ve \$t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)\$ hata marjlarıdır.

Güven aralığının hesaplanması örneği

Dikkate aldığımız günlük hisse senedi fiyatlarının normal bir dağılım gösterdiğini biliyoruz. Elimizde bir hisse senedi fiyatları örneği var:

1,31, 1,36, 1,40, 1,27, 1,15, 0,99, 0,97, 0,88, 0,86, 0,80

Hisse senedi fiyatlarının %95 güven ile hangi aralıkta dalgalanacağını hesaplamamız gerekiyor.

Bu küçük bir örneklem ve popülasyon standart sapmasını bilmiyoruz, bu yüzden örneklem standart sapmasını kullanacağız ve formülü hesaplamak için:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ örneklem ortalaması, 1,10
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ kritik değer, \$t_{9, 0,025}\$ = 2,26 (belirli bir örneklem büyüklüğü ve güven seviyesi için genellikle bir z-tablosundan veya t-tablosundan hesaplanan kritik değer)
• s örneklem standart sapması, 0,23
• n gözlem sayısı, 10,
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ standart hatası \$\frac{0.23}{\sqrt{10}}=0,07\$

Bu sayıları formüle yerleştiririz

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

ve şunu elde ederiz:

$$1,10 - 2,26 (\frac{0,23}{\sqrt{10}}) = 1,10 - 2,26 (\frac{0,23}{3,16}) = 1,10 - 2,26 × 0,07 = 1,10 - 0,16 = 0,94$$

$$1,10 + 2,26 (\frac{0,23}{\sqrt{10}}) = 1,10 + 2,26 (\frac{0,23}{3,16}) = 1,10 + 2,26 × 0,07 = 1,10 + 0,16 = 1,26$$

Bu, ortalama hisse senedi fiyatının güven aralığının (0,94, 1,26) içinde olduğundan %95 emin olduğumuz anlamına gelir.