Z-Skor Hesaplayıcı

Z-Skor Hesaplayıcısı, her türlü Z-Skor ile ilgili hesaplamalar için kullanılabilir. İlk hesaplayıcıya ham puan (X), Nüfus ortalaması (μ) ve Standart Sapma (σ) girebilir ve bu ham puanla ilgili Z-Skorunu ve adımlarını ve ilgili olasılıkları bulabilirsiniz.

Z-Skor ve Olasılık Dönüştürücü, Z-Skorları ve olasılıklar arasında, Z-tablosuna başvurmadan dönüşüm yapmanıza yardımcı olur. Sonuçlar, o tek Z skoru ile tüm olası olasılık hesaplamalarını içerecektir. İki Z-Skoru arasındaki olasılığı bulmak için son hesaplayıcıyı kullanın.

Z-skoru nedir?

Z-skoru, bir veri noktasının bir veri setinin ortalamasından kaç standart sapma uzaklıkta olduğunu tanımlayan istatistiksel bir ölçümdür. Z-skoru, tek bir veri noktasını tüm veri setiyle karşılaştırmak için kullanılır ve verileri standartlaştırmak, yani karşılaştırmayı ve analizi daha kolay hale getirmek için yardımcı olur.

Z-skoru, tek bir veri noktasının tüm veri setine göre ne kadar "tipik" ya da tersine ne kadar "atipik" olduğunu belirlememize olanak tanır.

• Anormallikleri tespit etme: Z-skorları, diğer verilerden önemli ölçüde farklı olan veri noktalarını tespit etmemize yardımcı olabilir. Bu, özellikle finans ve tıbbi araştırma gibi alanlarda faydalıdır, çünkü anormallikler önemli desenleri veya anomaları gösterebilir.
• Farklı setlerden verileri karşılaştırma: Z-skoru, farklı birimleri veya aralıkları olsa bile farklı setlerden verileri karşılaştırmamıza olanak tanır. Bu, farklı kaynaklardan verileri karşılaştırarak modeller oluşturmanız gereken makine öğrenmesi gibi alanlarda faydalıdır.
• Verileri normalize etme: Verileri Z-skorlarına dönüştürerek, verileri standartlaştırabilir ve karşılaştırmayı ve analizi daha kolay hale getirebiliriz. Bu, verileri anlaşılır bir şekilde sunmamız gereken veri görselleştirme gibi alanlarda faydalıdır.

Z-Skor Formülü

Bir nüfus için Z Skoru

Z = Ham skor - Nüfus Ortalaması / Nüfus Standart Sapması

Z = (X - μ) / σ

Bir örneklem için Z Skoru

Z = Ham skor - Örneklem Ortalaması / Örneklem Standart Sapması

Z = (X - x̄) / s

Elde Edilen Z-Skorunun Sonuçlarının Yorumlanması

Pozitif Z-Skor: Pozitif bir Z-Skor, veri noktanızın veri setinin ortalama değerinin üzerinde olduğu anlamına gelir. Diğer bir deyişle, gözlemlenen veri noktanız, veri setindeki tipik değerden yüksektir.

Negatif Z-Skor: Negatif bir Z-Skor, veri noktanızın veri setinin ortalama değerinin altında olduğu anlamına gelir. Diğer bir deyişle, gözlemlenen veri noktanız, veri setindeki tipik değerden düşüktür.

Z-Skor: Z-Skor, veri noktanızın veri seti ortalamasından ne kadar uzakta olduğunu size söyler. Z-Skor ne kadar büyükse, gözlemlenen veri noktanız ortalama değerden o kadar uzağa düşer.

Z-Skor ve Standart Sapma

Z-Skor ve standart sapma, standart sapmanın Z-Skor hesaplamak için kullanılmasından dolayı birbiriyle ilişkilidir. Aslında, standart sapma Z-Skor formülünün temel bir bileşenidir.

Standart sapma, veri setinin yayılımını ölçer. Her bir veri noktasının veri setinin ortalama değerinden ne kadar uzakta olduğunu gösterir. Standart sapma ne kadar büyükse, verilerin dağılımı o kadar büyüktür.

Diğer taraftan, Z-Skor, bir veri noktasının veri setinin ortalamasına göre standart sapmaya göre ne kadar uzakta olduğunu size söyler. Standart sapmayı kullanarak Z-Skor hesaplayarak, bir veri noktasını tüm veri setiyle karşılaştırabilir ve ne kadar sıradışı veya tipik olduğunu görebilirsiniz.

Z-Skor ve Normal Dağılım

Normal dağılım, birçok gerçek dünya olgusunda bulunan bir dağılım türüdür. Veri setinin ortalaması etrafındaki veri dağılımını temsil eden çan şeklinde bir eğridir. Normal dağılım aynı zamanda Gauss dağılımı olarak da bilinir, matematikçi Carl Friedrich Gauss'un adına ithafen.

Z-Skor, bir veri noktasının veri setinin ortalamasından ne kadar uzakta olduğunu standart sapmaya göre ölçen bir yöntemdir. Her bir veri noktasını Z-Skora dönüştürerek, bireysel bir veri noktasını tüm veri setiyle karşılaştırabilir ve ne kadar sıradışı veya tipik olduğunu görebilirsiniz.

Z-Skor ile normal dağılım arasındaki bağlantı, Z-Skorun verileri standartlaştırarak normal dağılıma uygun hale getirilmesi için kullanılabilir olmasıdır. Bu, herhangi bir veri setini normal dağılıma dönüştürebileceğiniz anlamına gelir; her bir veri noktasını Z-Skora dönüştürerek. Bu, birçok istatistiksel yöntemin verilerin normal dağılım gösterdiğini varsayması nedeniyle faydalıdır, bu nedenle verileri normal dağılıma dönüştürmek bu yöntemleri daha doğru bir şekilde kullanmanıza yardımcı olabilir.

Veri Noktalarının Karşılaştırılması

Z-Skor, bir veri noktasının veri setinin ortalamasından ne kadar uzakta olduğunu anlamanıza yardımcı olabilir.

Z-Skor kullanarak veri noktalarını karşılaştırmaya dair örneğimiz finansa uygulanabilir. Örneğin, iki farklı hisse senedi portföyüne yatırım yapmışsınız ve perform anslarını karşılaştırmak istiyorsunuz. Portföy A'nın ortalama getirisi %10 ile standart sapması %2, Portföy B'nin ortalama getirisi %8 ile standart sapması %3'tür. Getirileri Z-Skora dönüştürerek, her bir portföyün getirilerini karşılaştırabilir ve hangisinin daha iyi performans gösterdiğini belirleyebilirsiniz.

Z-Skor kullanarak veri noktalarını karşılaştırmanın başka bir pratik örneği spordur. Örneğin, iki basketbol oyuncusunun performansını karşılaştırmak istiyorsunuz, oyuncu A ve oyuncu B. Oyuncu A, maç başına ortalama 20 puan atıyor ve standart sapması 5 puan, oyuncu B ise maç başına ortalama 18 puan atıyor ve standart sapması 3 puan. Skorları Z-Skora dönüştürerek, her oyuncunun performansını karşılaştırabilir ve hangi oyuncunun daha iyi performans gösterdiğini belirleyebilirsiniz.

Veri Normalizasyonu

Veri normalizasyonu, verileri kolayca karşılaştırılabilir ve analiz edilebilir hale getirmek için verileri standart bir ölçeğe dönüştürme sürecidir. Bu önemlidir çünkü veriler farklı şekil ve ölçeklere sahip olabilir ve verileri normalleştirmek, bunları aynı ölçekte tutarak karşılaştırmayı ve analizi kolaylaştırır.

Her bir veri noktasını Z-Skora dönüştürerek, verileri standartlaştırabilir ve aynı ölçekte tutabilirsiniz. Bu, Z-Skorun her zaman standart bir ölçekte olması ve ortalamasının 0, standart sapmasının 1 olması nedeniyledir.

Z-Skor kullanarak veri normalleştirmenin pratik bir örneği psikoloji alanıyla ilgilidir. Örneğin, iki IQ testinin sonuçlarını karşılaştırmak istiyorsunuz. Test A'nın ortalama puanı 100 ve standart sapması 15, Test B'nin ortalama puanı 110 ve standart sapması 10. Puanları Z-Skora dönüştürerek, puanları standartlaştırabilir ve tek bir ölçekte indirgeyebilirsiniz, bu da karşılaştırma ve analizi kolaylaştırır.

Z-Skor kullanarak veri normalleştirmenin başka bir pratik örneği eğitim alanındadır. Örneğin, iki öğrencinin notlarını, öğrenci A ve öğrenci B'yi karşılaştırmak istiyorsunuz. Öğrenci A'nın ortalama notu 80 ve standart sapması 5, öğrenci B'nin ortalama notu 90 ve standart sapması 3. Notları Z-katsayılarına dönüştürerek, notları standartlaştırabilir ve hepsini aynı ölçekte tutabilirsiniz, bu da karşılaştırma ve analizi daha kolay hale getirir.

Hipotez Testi

Hipotez testi, iki değişken arasında ilişki olmadığı standart varsayımı olan boş hipotezi reddetmek için yeterli kanıt olup olmadığını belirlemek için kullanılan istatistiksel bir tekniktir. Tıbbi araştırma, sosyal bilim ve iş dünyası dahil olmak üzere birçok alanda önemlidir, çünkü verilere dayalı bilinçli kararlar almak kritiktir.

Hipotez test ederken, Z-katsayıları, belirli bir sonucun oluşma olasılığını belirlemek için kullanılabilir. Örneğin, bir grup insanın ortalama ağırlığının tüm nüfusun ortalama ağırlığından farklı olup olmadığını test edebilirsiniz. Z-Skorunu kullanarak farkın istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığını belirleyebilirsiniz.

Z-Skorunu kullanarak hipotez test etmenin pratik bir örneği tıp alanındadır. Örneğin, yeni bir ilacın belirli bir hastalığın belirtilerini azaltmada etkili olup olmadığını test etmek istiyorsunuz. Z-Skorunu kullanarak, ilacı alan grup ile kontrol grubu arasındaki belirtilerdeki farkın istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığını belirleyebilirsiniz.

Z-Skorunu kullanarak hipotez test etmenin finans alanında başka bir pratik örneği şudur: Örneğin, belirli bir hisse senedinin piyasadaki ortalama hisse senedinden daha yüksek getiriye sahip olup olmadığını test etmek istiyorsunuz. Z-Skorunu kullanarak getirilerdeki farkın istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığını belirleyebilirsiniz.

Özellik Ölçeklendirme

Özellik ölçeklendirme, makine öğrenimi ve diğer veri analizi uygulamalarında kullanılan bir tekniktir ve bir veri setindeki tüm özelliklerin aynı ölçekte olmasını sağlar. Bu önemlidir çünkü bazı makine öğrenimi algoritmaları verilerin ölçeğine duyarlıdır ve ölçek eşleşmediğinde yanlış sonuçlar üretebilir.

Özellikleri ölçeklendirmenin yaygın bir yöntemi Z-Skor normalizasyonu, aynı zamanda standartlaştırma olarak da bilinir. Bu süreçte, her özellik 0 olan ortalama değer ve 1 olan standart sapma ile dönüştürülür. Bir özelliğin Z-Skorunu hesaplamak için kullanılan formül şu şekildedir:

Z = (X - Ortalama) / Standart Sapma

burada X, özelliğin değeri, Ortalama, özelliğin ortalaması ve Standart Sapma, özelliğin standart sapmasıdır.

Z-Skorunu kullanarak özellikleri ölçeklendirmenin bilgisayar görüşü alanındaki pratik bir örneği şudur: Görüntü verileriyle çalışırken, genellikle piksel değerlerini 0 ile 1 aralığında ölçeklendirmek gereklidir. Bu, Z-Skor normalizasyonu ile başarılabilir, çünkü her piksel değeri 0 olan ortalama değer ve 1 olan standart sapma ile dönüştürülebilir.

Z-Skorunu kullanarak özellikleri ölçeklendirmenin doğal dil işleme alanındaki başka bir pratik örneği, metin verileriyle çalışırken, terim frekansı ve ters belge frekansı (TF-IDF) değerlerini 0 ile 1 aralığında ölçeklendirmek yaygın bir uygulamadır. Bu da Z-Skor normalizasyonu kullanılarak başarılabilir.

Tahmin Modellemesi

Tahmin modellemesi, tarihsel verilere dayanarak tahminler yapmak için makine öğrenimi ve diğer veri analizi uygulamalarında kullanılan bir tekniktir. Bu, bir veri seti üzerinde bir modelin eğitilmesini ve bu modelin yeni, görülmemiş veriler üzerinde tahminler yapılmasını içerir.

Tahmin modellemesinin önemli bir yönü, modelde kullanılmak üzere veri setinden en alakalı özelliklerin seçilmesidir. Genellikle, hedef değişkenle yüksek korelasyon gösteren özellikler tercih edilir çünkü bu özellikler hedef değişkeni tahmin etme olasılığı daha yüksektir.

Z-Skor, hedef değişkenle yüksek korelasyon gösteren özellikleri belirlemek için kullanılabilir çünkü yüksek Z-Skoru olan özellikler, hedef değişkeni tahmin etme olasılığı daha yüksektir. Bir özelliğin Z-Skorunu hesaplamak için kullanılan formül şu şekildedir:

Z = (X - Ortalama) / Standart Sapma

burada X, özelliğin değeri, Ortalama, özelliğin ortalaması ve Standart Sapma, özelliğin standart sapmasıdır.

Z-Skorunun tahmin modellemesinde kullanılmasının pratik bir örneği finans alanına aittir. Hisse senedi fiyatlarını tahmin ederken, hisse senedinin geçmiş performansının Z-Skoru, gelecekteki getiri potansiyelini belirlemek için kullanılabilir. Yüksek bir Z-Skor, bir hisse senedinin geçmiş getirisinin ortalamanın çok üzerinde olduğunu ve gelecekte daha yüksek getiriler öngörülebileceğini gösterir.

Z-Skorunun tahmin modellemesinde kullanılmasının başka bir pratik örneği sağlık alanındadır. Hasta sonuçlarını tahmin ederken, Z-Skor, bir hastanın gelecekteki sonuçlar için potansiyelini belirlemek için kullanılabilir. Yüksek bir Z-Skor, bir hastanın sağlık sonuçlarının ortalamanın önemli ölçüde altında olduğunu ve kötü gelecek sonuçlar gösterebileceğini belirtebilir.

Z Skoru Tablosunun Kullanımı

Z-tablosu, aynı zamanda standart normal tablo veya birim normal tablo olarak da bilinen, verilen bir istatistiğin standart normal dağılımın altında, üstünde veya arasında kalma olasılığını hesaplamak için kullanılan standartlaştırılmış değerleri içeren bir tablodur.

Z Tablosunu Kullanmak

Z tablosunu kullanmak için, hesapladığınız z-skoruna karşılık gelen satırı bulmanız ve sonra standart normal eğri altındaki alanı (olasılığı) veren ilgili sütunu bulmanız gerekmektedir. Elde edilen değer, standart normal bir dağılımdan rastgele bir değişkenin hesaplanan z-skorunuza eşit veya daha az olma yaklaşık olasılığıdır.

Örneğin, eğer 1,96'lık bir z-skorunuz varsa, z tablosunda 1,9'a karşılık gelen satırı ve 0,06'ya karşılık gelen sütunu arayacaksınız. Elde edilen değer, 1,96'nın sağında standart normal eğri altındaki alanı size verecektir. Bu değer yaklaşık olarak 0,975'tir, yani standart normal bir dağılımdaki verilerin yaklaşık olarak %97,5'i 1,96'ya eşit veya daha azdır.

Z tablosunun sadece 0 ortalamalı ve 1 standart sapmalı standart normal bir dağılım için çalıştığını unutmamak önemlidir. Eğer verileriniz bu dağılıma uymuyorsa, önce verileri z-skorlarına dönüştürerek standartlaştırmanız gerekecektir.

Z-Skordan Olasılık Bulma

Normal dağıtılmış bir değişkeni z-skoruna dönüştürdüğümüzde, Z-skor tablosunu kullanarak normal eğri altındaki alanın oranını bulabiliriz. Standart normal eğri altındaki toplam alan 1'e eşittir. Dolayısıyla, normal eğri altındaki bir alanın oranı, o Z-skorun olasılığına eşittir.

Örnek 1

Boksörlerin ağırlıkları ortalama 75 Kg ve standart sapma 3 Kg ile normal dağıtılmıştır. Rasgele seçilen bir boksörün ağırlığının;

• a) 78 Kg'dan fazla olma olasılığı nedir?
• b) 69 Kg'dan az olma olasılığı nedir?
• c) 72 Kg'dan fazla olma olasılığı nedir?
• d) 79,5 Kg'dan az olma olasılığı nedir?
• e) 72 Kg ile 76,5 Kg arasında olma olasılığı nedir?
• f) 72 Kg ile 73,5 Kg arasında olma olasılığı nedir?

a) Rasgele seçilen bir boksörün 78 kg'dan fazla ağırlığa sahip olma olasılığı nedir?

• X > 78
• μ = 75
• σ = 3

$$P(X>78)=P\left(Z>\frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(Z>\frac{78-75}{3}\right)=P(Z>1)$$

İlk olarak, bunu bir Z eğrisinde çizeceğiz.

Şimdi Z-Tablosunu kullanarak hesaplanan Z-Skor için ilgili olasılığı bulacağız.

Unutmayın ki, Z-Skor her zaman Z-skoru ile ortalaması arasındaki olasılığı verir. Grafiğin vurgulanan alanındaki olasılığı almak için, bu olasılığı 0,5'ten düşürmemiz gerekmektedir. (Eğri altındaki toplam olasılık 1'dir ve standart dağılımın ortalaması iki parçaya eşit olarak bölünür. Dolayısıyla, orta noktadan her iki uca kadar olan olasılık 0,5'tir.)

• P (X > 78) = P (Z > 1)
• P (X > 78) = 0,5 - P(0 < Z < 1)
• P (X > 78) = 0,5 - 0,3413
• P (X > 78) = 0,1587

Bu nedenle, rasgele seçilen bir boksörün ağırlığının 78 Kg'dan fazla olma olasılığı 0,1587'dir.

b) Rasgele seçilen bir boksörün 69 kg'dan az ağırlığa sahip olma olasılığı nedir?

• X < 69
• μ = 75
• σ = 3

$$P(X<69)=P\left(Z>\frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(Z>\frac{69-75}{3}\right)=P(Z<-2)$$

İlk olarak, bunu bir Z eğrisinde çizeceğiz.

Şimdi Z-Tablosunu kullanarak hesaplanan Z-Skor için ilgili olasılığı bulacağız.

Unutmayın ki, Z-Skor her zaman Z-skoru ile ortalaması arasındaki olasılığı verir. Grafiğin vurgulanan alanındaki olasılığı almak için, bu olasılığı 0,5'ten düşürmemiz gerekmektedir.

• P (X < 69) = P (Z < 69)
• P (X < 69) = 0,5 - P (0 > Z > -2)
• P (X < 69) = 0,5 - 0,4772
• P (X < 69) = 0,0228

Bu nedenle, rasgele seçilen bir boksörün ağırlığının 69 Kg'dan az olma olasılığı 0,0228'dir.

c) Rasgele seçilen bir boksörün ağırlığının 72 kg ile 76,5 kg arasında olma olasılığı nedir?

• 72 < X < 76,5
• μ = 75
• σ = 3

$$P(72 \lt X \lt 76,5)=P\left(\frac{X-μ}{σ} \lt Z \lt \frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(\frac{72-75}{3} \lt Z \lt \frac{76,5-75}{3}\right)=P(-1 \lt Z \lt 0,5)$$

İlk olarak, bunu bir Z eğrisinde çizeceğiz.

Şimdi Z-Tablosunu kullanarak hesaplanan Z-Skor için ilgili olasılığı bulacağız.

Unutmayın ki, Z-Skor her zaman Z-skoru ile ortalaması arasındaki olasılığı verir. Grafiğin vurgulanan alanındaki olasılığı almak için, iki Z-skorunun olasılıklarını toplayabilirsiniz.

• P (72 < X < 76,5) = P (-1 < Z < 0,5)
• P (72 < X < 76,5) = 0,3413 + 0,1915
• P (72 < X < 76,5) = 0,5328

Bu nedenle, rasgele seçilen bir boksörün ağırlığının 72 Kg ile 76,5 Kg arasında olma olasılığı 0,5328'dir.

Bu durumda, cevabı hızlı bir şekilde bulmak için İki Z-Skoru Arasındaki Olasılık hesaplayıcısını kullanmanız gerekir.

Belirli Bir Olasılığa Karşılık Gelen Değerleri Bulma

Dağılımın normal olduğunu bildiğimizde, Z-Skoruna dayanarak belirli olasılıklar için karşılık gelen değerleri bulabiliriz.

Örnek 2

Rekabetçi bir sınavda adayların notları yaklaşık olarak normal dağılım göstermekte, ortalama 55 ve standart sapma 10 olarak belirlenmiştir. Adayların en üstteki %30'unun sınavı geçtiği varsayılırsa, minimum geçme notunu bulun.

Çözüm

Bu durumda, ilk olarak verilen olasılık veya yüzde için karşılık gelen Z-skorunu bulmamız gerekiyor.

Z-Skorunu bulmak için aslında vurgulanan alandaki olasılığı bulmamız gerekmekte.

Bu, 0,50'den 0,30 çıkarılarak elde edilir. Dolayısıyla, vurgulanan alanın olasılığı 0,20'dir.

Şimdi Z-tablosunda 0,20'ye en yakın olasılığı bulmamız gerekiyor. Karşılık gelen Z-Skoru 0,524'tür.

Sonra, Z-Skoru formülünü kullanarak X değerini bulmamız gerekiyor.

• Z = (X - μ)/σ
• 0,524 = (X - 55)/10
• X = (0,524 × 10) + 55
• X = 60,24

Bu nedenle, sınav için minimum geçme notu 60,24'tür.