Công cụ giải tam giác vuông

Máy tính giải tam giác vuông

Công cụ giải tam giác vuông là một công cụ giải tam giác trực tuyến chỉ tập trung vào các tam giác vuông. Công cụ này lấy hai giá trị bất kỳ của tam giác vuông làm đầu vào và tính toán biến số tam giác còn thiếu. Các giá trị bao gồm – độ dài các cạnh của tam giác (a, b và c), các giá trị góc ngoại trừ góc vuông (α và β), chu vi (P), diện tích (A) và đường cao đến cạnh huyền (h).

Để sử dụng công cụ này, bạn hãy nhập hai hai giá trị bất kỳ được liệt kê ở trên và nhấn "Tính toán" (Calculate).

Các giá trị góc có thể được nhập theo cả đơn vị độ hoặc radian. Để nhập giá trị tính với radian bằng π, hãy sử dụng ký hiệu sau: "pi". Ví dụ: nếu giá trị góc đã cho là π/3, hãy điền "pi/3."

Công cụ máy tính sẽ hiển thị tất cả các giá trị còn thiếu và các bước tính toán. Máy tính cũng sẽ hiển thị chế độ xem tỷ lệ của tam giác có liên quan và các giá trị của bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác.

Lưu ý khi nhập các giá trị vào máy tính giải tam giác này

1. Bạn chỉ có thể nhập hai giá trị.
2. Giá trị góc của α và β phải nhỏ hơn 90° hoặc (π/2)rad.
3. Chiều dài của đường cao đến cạnh huyền (h) không được vượt quá chiều dài của bất kỳ cạnh bên nào (a hoặc b).
4. Độ dài mỗi cạnh của tam giác (a, b hoặc c) phải nhỏ hơn tổng hai cạnh còn lại.
5. Với mỗi cạnh huyền cho trước, tam giác có chu vi lớn nhất. Công cụ máy tính này sẽ không chấp nhận bất kỳ chu vi nào vượt quá giá trị này. Chu vi lớn nhất của tam giác vuông với độ dài cạnh huyền cho trước tương ứng với trường hợp tam giác cân (a=b). Trong trường hợp này \$a=b=\frac{c}{\sqrt2}\$ và chu vi tối đa \$P=a+b+c=c+\frac{2c}{\sqrt2}\$.

Tam giác vuông: định nghĩa và kiến thức hữu ích

Tam giác vuông là tam giác có một góc bằng 90° hoặc \$\frac{π}{2}\ rad\$. Cạnh đối diện với góc vuông được gọi là cạnh huyền. Hai cạnh còn lại được gọi là các bạnh bên, hay cạnh góc vuông của tam giác.

Cạnh b đôi khi được gọi là đáy của tam giác vuông và cạnh a là chiều cao của tam giác vuông.

Các cạnh bên của tam giác vuông luôn ngắn hơn cạnh huyền. Vì một góc của tam giác bằng 90° và tổng tất cả các góc của bất kỳ tam giác nào cũng đều là 180° nên tổng hai góc còn lại của tam giác vuông cũng là 90°: α+β=90°. Độ dài các cạnh của tam giác vuông có liên hệ với nhau như được mô tả trong định lý Pytago.

Định lý Pytago

Định lý Pytago cho biết mối liên hệ độ dài tất cả các cạnh của một tam giác vuông. Định lý phát biểu rằng bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh bên:

$$c^2=a^2+b²$$

Do đó, nếu chỉ biết chiều dài của hai cạnh bên thì chiều dài của cạnh huyền có thể được tính như sau:

$$c=\sqrt{a^2+b²}$$

Giả sử chúng ta biết chiều dài của một cạnh bên và chiều dài của cạnh huyền. Trong trường hợp đó, chúng ta có thể tính chiều dài của cạnh bên còn lại như sau:

$$a=\sqrt{c^2-b²}$$

$$b=\sqrt{c^2-a^2}$$

Định lý Pytago là một định lý quan trọng nhất về tam giác vuông và là một trong những định lý quan trọng nhất trong hình học Euclide.

Các công thức quan trọng khác

Ngoài định lý Pytago, các công thức sau đây cũng được dùng để tính giá trị còn thiếu của một tam giác vuông:

Chu vi của một tam giác là tổng độ dài tất cả các cạnh của nó và được tính bằng

$$P = a + b + c$$

Diện tích của một tam giác vuông được tính là

$$A=\left( \frac{1}{2} \right)ab$$

Để tìm các góc của một tam giác vuông, chúng ta có thể tính sin, cosin và tang của các góc. Để tìm sin, cosin hoặc tang của một góc, chúng ta cần xác định các cạnh kề và cạnh đối diện của góc đó. Cạnh huyền và một cạnh bên tạo thành hai góc nhọn của tam giác vuông. Cạnh kề là cạnh kề với góc tương ứng. Do đó cạnh còn lại là cạnh đối diện của góc này. Ví dụ, trong hình bên dưới, a là cạnh đối diện và b là cạnh kề của góc α.

Sin của bất kỳ góc nhọn nào trong tam giác vuông có thể được tính bằng chiều dài cạnh đối diện chia cho chiều dài cạnh huyền:

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{c}, \sin{\beta}=\frac{b}{c}$$

Cosin của bất kỳ góc nhọn nào trong tam giác vuông có thể được tính bằng chiều dài cạnh kề chia cho chiều dài cạnh huyền:

$$\cos{\alpha}=\frac{b}{c}, \cos{\beta}=\frac{a}{c}$$

Tang của bất kỳ góc nhọn nào trong tam giác vuông có thể được tính bằng cách chia chiều dài cạnh đối diện với chiều dài cạnh kề:

$$\tan{\alpha}=\frac{a}{b}, \tan{\beta}=\frac{b}{a}$$

Độ dài từ đường cao đến cạnh huyền được tính như sau

$$h=\frac{ab}{c}$$

Máy tính này cũng tìm bán kính đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp và chu vi của một tam giác bằng các công thức sau:

$$Bán\ kính\ trong=\frac{ab}{a+b+c}$$

$$Bán\ kính\ tròn=\frac{c}{2}$$

Ví dụ tính toán

Giả sử chúng ta có một hình tam giác vuông trong đó biết độ dài của hai cạnh bên: a = 3 và b = 4. Hãy tìm tất cả các giá trị còn thiếu của tam giác đó.

Đầu tiên, hãy tìm độ dài cạnh huyền c bằng định lý Pytago:

$$c=\sqrt{a^2+b²}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}+\sqrt{25}=5$$

$$c=5$$

Bây giờ chúng ta hãy tìm các góc của tam giác đó. Như đã nêu ở trên,

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{c}$$

do đó,

$$\alpha=arcsin\left(\frac{a}{c}\right)$$

$$\alpha=arcsin\left(\frac{3}{5}\right)=arcsin(0,6)=0,6435\ rad\ =\ 36,87° = 36°52'12"$$

Tương tự

$$\sin{\beta}=\frac{b}{c}$$

vì vậy

$$\beta=arcsin\left(\frac{b}{c}\right)$$

$$\beta=arcsin\left(\frac{4}{5}\right)=arcsin(0,8)=0,9273\ rad\ =\ 53,13° = 53°7'48"$$

Hãy tìm đường cao đến cạnh huyền, h:

$$h=\frac{ab}{c}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}=2,4$$

Tính diện tích tam giác, ta có:

$$A=\frac{1}{2}ab=\frac{a× b}{2}=\frac{3×4}{2}=6$$

Tinh chu vi của tam giác đã cho, ta có:

$$P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12$$

Bán kính đường tròn nội tiếp có thể được tính như sau:

$$Bán\ kính\ trong=\frac{ab}{a+b+c}=\frac{3×4}{3+4+5}=\frac{12}{12}=1$$

Và cuối cùng là bán kính đường tròn ngoại tiếp:

$$Bán\ kính\ tròn=\frac{c}{2}=\frac{5}{2}=2,5$$

Tam giác vuông đặc biệt

Có hai loại tam giác vuông đặc biệt – tam giác 45-45-90 và tam giác 30-60-90. Độ dài các cạnh của các tam giác này có tỉ lệ đặc biệt.

Tam giác vuông cân

Tam giác vuông có các góc nhọn là 45° và 45° thì có hai góc bằng nhau. Do đó, chiều dài hai cạnh bên của nó cũng bằng nhau, khiến tam giác này cân và vuông. Độ dài các cạnh của nó liên hệ như sau:

$$a : b : c = 1 : 1 : \sqrt{2}$$

Tam giác vuông 30-60-90

Các góc nhọn của tam giác này là 30° và 60°. Độ dài các cạnh của nó liên hệ như sau:

$$a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2$$

trong đó 'a' là cạnh đối diện với góc 30°, 'b' là cạnh đối diện với góc 60° và 'c' là cạnh huyền.