Công cụ giải phương trình bậc hai

Công Cụ Giải Phương Trình Bậc Hai

Phương trình bậc hai là một phần quan trọng trong chương trình toán học ở cấp trung học và đại học. Ví dụ, các nghiệm của phương trình bậc hai cung cấp nhiều thông tin như tốc độ thay đổi, điểm đỉnh và điểm chạm của hàm. Việc tìm ra các nghiệm cho một phương trình bậc hai đòi cần hỏi thực hiện một loạt các phép toán đại số và số học. Mặc dù các nghiệm có một công thức tiêu chuẩn, nhưng việc thực hiện tính toán thủ công vẫn mất một khoảng thời gian.

Công cụ giải phương trình bậc hai trực tuyến là một công cụ dễ sử dụng, cung cấp ngay cho người dùng lời giải của phương trình bậc hai. Công cụ miễn phí này cung cấp đáp án và đưa ra các bước áp dụng khi giải phương trình. Do đó, người dùng sẽ hiểu cách giải bài toàn, kết quả bằng số và hướng dẫn giải từng bước.

Phương Trình Bậc Hai

Phương trình bậc hai, hay là hàm bậc hai hoặc đa thức bậc hai, là một phương trình đại số có dạng tổng quát là ax²+bx+c=0 trong đó x là một biến chưa xác định chúng ta cần tim giá trị của nó. Các số a và b lần lượt là hệ số của x² và x, trong khi c là một hằng số. Từ "quad" hoặc "bậc hai" xuất phát từ thực tế là số mũ cao nhất của biến x là 2, như trong x². Dưới đây là một số ví dụ về phương trình bậc hai.

$$2x²-4x+0,5=0$$

$$-3x²+\frac{1}{3}x+6=0$$

Phương trình 2x²=0 cũng là một phương trình bậc hai, với b=0 và c=0. Tuy nhiên, 2x+3=0 không phải là phương trình bậc hai vì số hạng bậc hai ax² không được tìm thấy trong phương trình. Như được hiển thị trong các ví dụ trước, các giá trị của A, B và C có thể là số nguyên dương/âm hoặc số thập phân (phân số) và thoả mãn a≠0.

Giải Phương Trình Bậc Hai

Số nghiệm có thể có của một phương trình bằng giá trị số mũ cao nhất trong phương trình. Trong trường hợp này, một phương trình bậc hai có thể có tối đa hai nghiệm. Một cách để giải phương trình bậc hai là sử dụng công thức bậc hai được nêu trong phương trình (1).

$$x₁=\frac{-b+\sqrt{b²-4ac}}{2a}\ \ \ \ \ \ \ ;\ \ \ x₂=\frac{-b-\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$ (1)

Bạn có thể viết dạng rút gọn của công thức bậc hai như sau:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

Đây là một lời giải đơn giản trong đó người dùng có thể gán các giá trịa, b và c để tính được giá trị của x₁ và x₂. Tuỳ theo giá trị biệt thức được biểu thị bằng giá trị dưới dấu căn bậc hai b²-4ac, hệ số và tính chất của nghiệm sẽ thay đổi. Chúng ta có thể ba trường hợp:

• Nếu biệt thức là dương; b²-4ac>0, khi đó phương trình có hai nghiệm thực (x₁≠x₂)
• Nếu biệt thức bằng 0; b²-4ac=0, khi đó phương trình có một nghiệm thực (x₁=x₂)
• Nếu biệt thức là âm; b²-4ac<0, khi đó phương trình có hai nghiệm phức (x₁≠x₂)

Chúng tôi sẽ đưa ra một ví dụ cho từng trường hợp trong phần Ví dụ.

Về mặt đồ thị, trên mặt phẳng tọa độ x-y, trong đó y là hàm của x, bạn có thể nhìn thấy một cách trực quan rằng (các) nghiệm của hàm bậc hai dưới dạng x-tọa độ của các điểm mà hàm y đi qua trục x.

Sử dụng Máy tính Công thức Bậc hai

Máy tính giải phương trình bậc hai có thể giải tất cả các phương trình bậc hai, bất kể bản chất của nghiệm (là nghiệm thực hay nghiệm phức). Công cụ máy tính có ba giá trị đầu vào: giá trị của a, b và c. Trong một số trường hợp, người dùng có thể phải thực hiện một số thao tác đối với phương trình đã cho trước khi sử dụng công cụ này.

Trong 2x² = x + 3, người dùng chỉ cần di chuyển các biến số từ vế phải sang vế trái. Kết quả là chúng ta nhận được 2x²-x-3=0, trong đó a = 2, b = -1 và c = - 3.

Ngoài ra, đối với trường hợp như 4(x²-0,2x)=1, người dùng phải mở dấu ngoặc đơn bằng cách viết 4x²-0,8x=1, sau đó di chuyển các biến số ở bên trái sang bên phải để đặt phương trình ở dạng tổng quát là 4x²-0,8x-1=0 trong đó a = 4, b=-0,8 và c=-1.

Ví dụ

Trong phần này, ba ví dụ có thể giải thích ba trường hợp có thể xảy ra khi giải phương trình bậc hai bằng cách sử dụng công cụ giải hàm bậc hai này.

Ví dụ 1: Hai nghiệm thực

Cần phải tìm (các) nghiệm của hàm bậc hai y₁ cho dưới dạng y₁=x²-8x+12 và được hiển thị trong Hình 1.

Có thể quan sát, mục đích là tìm (các) tọa độ x của (các) điểm trong đó hàm y₁ cắt trục x – nếu có tồn tại.

Hình 1: Đồ thị y₁=x²-8x+12

Đầu tiên, hàm này bằng với 0 ( y₁ được thay thế bằng 0), chúng ta có x²-8x+12=0. Ta thấy rằng phương trình cuối cùng ở dạng phương trình bậc hai tiêu chuẩn trong đó a=1, b=-8 và c=12. Chúng ta có thể trực tiếp sử dụng công cụ máy tính giải phương trình bậc hai này.

Kiểm tra giá trị của biệt thức b²-4ac=(-8)²-4(1)(12)=16>0, hàm bậc hai này sẽ có hai nghiệm thực. Sau khi nhấp vào nút tính toán (Calculate), máy tính sẽ đưa ra đáp án và các bước giải bằng cách sử dụng công thức phương trình bậc hai (1).

Điều cần lưu ý là sau khi nhập các giá trị a, b và c, máy tính sẽ hiển thị phương trình đã cho. Người dùng có thể so sánh để đảm bảo phương trình được hiển thị giống với phương trình mà bạn mong muốn.

• Phương trình: x²-8x+12=0

• Nghiệm: x₁=2 and x₂=6

• Các bước:

$$x = \frac {-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a}=\frac{-(-8) ±\sqrt{(-8)^2-4×1×12}}{2×1}=\frac{8 ±\sqrt{16}}{2}=4 ±2=6 \ hoặc \ 2$$

Do đó, các nghiệm là x₁=2 và x₂=6. Chúng ta có thể xác thực kết quả bằng đồ thị, bằng cách kiểm tra giao điểm của hàm y với trục x. Hình 2 cho thấy hàm này đi qua trục x tại các điểm được nêu trước đó.

Hình 2: Đồ thị y₁=x²-8x+12

Ví dụ 2: Một nghiệm thực

Xét một hàm khác, y₂-3x²+25=-4x²+10x. Trước khi sử dụng máy tính này, bước đầu tiên sẽ là tách y₂ ở một bên và gộp tất cả các số hạng khác ở bên kia dưới dạng y₂=-4x²+10x+3x²-25. Cho rằng y₂ = 0 và thực hiện các phép tính, dạng tổng quát thu được là -x²+10x-25=0 với a=-1, b=10 và c=-25.

Giá trị biệt thức bằng 0, b²-4ac=(10)²-4(-1)(-25)=0, do đó, phương trình sẽ có nghiệm duy nhất. Sau đó, chúng ta có thể sử dụng công cụ máy tính phương trình bậc hai để tìm x₁=x₂=5.

• Phương trình: -x²+10x–25=0

• Nghiệm: x = 5

• Các bước:

$$x = \frac{-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a} = \frac{-10±{\sqrt{10^2 – 4 × (-1) × (-25)}}}{2×-1}=\frac{-10± \sqrt{0}}{-2} = 5$$

Hình 3 cho thấy đồ thị của y₂ trong đó hàm này đi qua trục-x tại một điểm.

Hình 3: y₂=-x²+10x-25

Ví dụ 3: Hai nghiệm phức

Cuối cùng, y₃=x²-4x+8 được đưa ra ở đây để ví dụ một hàm bậc hai có hai nghiệm phức. Hình 4 cho thấy y₃ không cắt trục-x.

Hình 4: y₃=x²-4x+8

Chúng ta có thể thấy b²-4ac=(-4)²-4(1)(8)=-16<0 cho biết sự tồn tại của hai nghiệm phức, vậy số phức là gì?

Số phức là một số được biểu diễn dưới dạng kết hợp giữa số thực và số ảo và có dạng a+ib.

Trong trường hợp này, 'i' trong số phức đại diện cho đơn vị ảo, đại diện cho căn bậc hai của -1.

Số hạng A biểu thị phần thực của số phức (Re). Mặt khác, ib là số ảo (Im) trong đó i=√-1.

Căn bậc hai sẽ chứa số âm khi số hạng b²-4ac nhỏ hơn 0. Vì vậy, việc lấy căn bậc hai của một số âm đòi hỏi phải sử dụng dạng số phức.

Quay lại việc tìm nghiệm của x²-4x+8=0; máy tính giải phương trình và tìm được x₁=2+2i và x₂=2-2i.

• Phương trình: x²–4x+8=0

• Đây là hai nghiệm: x=2±2i

• Các bước:

$$x = \frac{-b ± \sqrt{b² – 4ac}}{2a} = \frac{-(-4) ± \sqrt{(-4)^2 – 4 × 1 × 8}}{2 × 1} = \frac{4 ± \sqrt{-16}}{2} = 2 ± 2i$$

Phạm vi sử dụng và lời khuyên

Công cụ giải phương trình bậc hai được thiết kế dành cho học sinh, sinh viên trong các trường trung học và trường đại học hoặc bất kỳ ai đang tìm kiếm lời giải nhanh chóng cho hàm bậc hai. Hàm bậc hai có thể được tìm thấy trong các lĩnh vực kỹ thuật, kinh tế, nông nghiệp,...

Mặc dù việc sử dụng công cụ này rất đơn giản nhưng người dùng sẽ có thể thực hiện các phép tính toán học cơ bản để đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai tiêu chuẩn ax²+bx+c=0 để sử dụng công cụ này. Hơn nữa, tốt hơn (không phải là điều kiện tiên quyết) để làm quen với các số phức vì nghiệm của phương trình bậc hai có thể là hai số phức.

Người dùng cũng có thể sử dụng một số công cụ vẽ đồ thị để dễ dàng hình dung hàm số và các nghiệm của nó.