Công cụ máy tính căn bậc ba

Công cụ máy tính này có thể được sử dụng để tìm tất cả các giá trị căn bậc ba của số đã cho. Nó có thể tìm thấy cả phần thực và phần ảo của số đó.

Cách sử dụng

Để tìm căn bậc ba của một số, bạn hãy nhập số đó vào ô nhập liệu và nhấn "Calculate" (Tính toán.) Máy tính sẽ hiển thị kết quả dưới dạng hai phần: "phần thực", và "số phức hoàn chỉnh," trong đó "số phức" bao gồm phần thực và phần ảo.

Công cụ máy tính này chấp nhận số nguyên dương và số nguyên âm làm đầu vào. Phân số và số phức không được chấp nhận. Lưu ý rằng nếu bạn sử dụng một phân số hoặc một số phức làm đầu vào, máy tính này sẽ tự động bỏ qua mọi thứ sau ký hiệu số đầu tiên. Ví dụ, nếu bạn nhập 8/15, máy tính sẽ tính căn bậc ba của 8; nếu bạn nhập 5 + 3i, máy tính sẽ tính căn bậc ba của 5.

Định nghĩa căn bậc ba

Căn bậc ba của một số được định nghĩa là số mà cần khi nhân với chính nó ba lần sẽ thu được số ban đầu. Căn bậc ba của x thường được biểu diễn là ∛x. Theo định nghĩa, y là căn bậc ba của x:

$$y=\sqrt[3]{x}$$

nếu

$$y \times y \times y = x$$

Lấy căn bậc ba của một số, ∛x, tương đương với việc nâng số đó lên lũy thừa 1/3:

$$\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$$

Phép toán căn bậc ba là phép toán ngược lại với phép toán lập phương. Muốn tìm lập phương của một số thì nhân số đó 3 lần:

$$y^3 = y \times y \times y = x$$

Và ngược lại,

$$\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{y×y×y}=y$$

Số lập phương hoàn hảo

Một số lập phương hoàn hảo là một số mà căn bậc ba của nó là một số nguyên. Ví dụ: 8 là một số lập phương hoàn hảo vì:

$$\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2×2×2}=2$$

Vì số nguyên là số có thể dương và âm nên số lập phương hoàn hảo có thể vừa dương vừa âm. Ví dụ: -8 cũng là một số lập phương hoàn hảo vì:

$$\sqrt[3]{-8}=\sqrt[3]{-2×-2×-2}=-2$$

0 cũng là số nguyên và

$$\sqrt[3]{0}=\sqrt[3]{0×0×0}=0$$

Do đó, 0 cũng là số lập phương hoàn hảo.

Mặt khác, 4 không phải là số lập phương hoàn hảo vì căn bậc ba của 4:

∛4 ≈ 1,58740105

đây không phải là số nguyên.

Các tính chất của căn bậc ba

Căn bậc ba của một số âm được xác định là âm (-) của căn bậc ba của một số dương, nghĩa là:

$$\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}$$

Ví dụ,

$$\sqrt[3]{-27}=-\sqrt[3]{27}=-3$$

Tính chất nhân của căn bậc ba:

$$\sqrt[3]{x}×\sqrt[3]{y} =\sqrt[3]{x×y}$$

Cách tính căn bậc ba

Tính căn bậc ba của một số lập phương hoàn hảo

Để tìm căn bậc ba của một số, hãy sử dụng phương pháp phân tích thừa số nguyên tố:

1. Tìm các thừa số nguyên tố của số đó.
2. Chia các thừa số nguyên tố thành các nhóm chứa ba thừa số giống nhau.
3. Lấy một thừa số của mỗi nhóm và nhân chúng để có đáp án cuối cùng.

Ví dụ: hãy tìm tất cả các căn bậc ba thực của 3375, ∛3375:

1. Tìm các thừa số nguyên tố của 3375, ta được 3375 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5.
2. Chia chúng thành các nhóm có ba thừa số giống nhau, ta được 3375 = (3 × 3 × 3) × ( 5 × 5 × 5).
3. Cuối cùng, lấy một thừa số của mỗi nhóm và nhân chúng, chúng ta được 3 × 5 = 15.

Do đó, ∛3375 = 15.

Nếu các thừa số nguyên tố của một số không tạo thành nhóm ba thì số đó không phải là số lập phương hoàn hảo và chúng ta không thể sử dụng phương pháp này để tìm căn bậc ba của nó.

Tính phần thực căn bậc ba của một số lớn hơn -1 và nhỏ hơn 1 (không bao gồm 0)

Nếu số đã cho lớn hơn -1 và nhỏ hơn 1 thì nó không thể là số lập phương hoàn hảo vì theo định nghĩa, số lập phương hoàn hảo là một số mà căn bậc ba của số đó là số nguyên. Bất kỳ số y nào trong khoảng -1 < y < 1 khác 0 đều không thể là số lập phương hoàn hảo. Tuy nhiên, đôi khi việc tìm phần thực căn bậc ba của một số như vậy có thể tương đối dễ dàng.

Ví dụ: hãy tìm tất cả phần thực các căn bậc ba của -0,000125. Số này không phải là số nguyên. Vì vậy, chúng ta không thể sử dụng phương pháp phân tích thừa số nguyên tố được mô tả ở trên.

Nhưng chúng ta có thể dễ dàng nhận thấy rằng -0,000125 = -125 × 10⁻⁶. Vì thế,

$$\sqrt[3]{-0,000125}=\sqrt[3]{(-125)×10⁻⁶}$$

Áp dụng tính chất nhân của căn bậc ba, ta có:

$$\sqrt[3]{-0,000125}=\sqrt[3]{(-125)×10⁻⁶}=\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}$$

Viết lại căn bậc ba của số âm thành âm của căn bậc ba số dương, ta được:

$$\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}=-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}$$

Dễ dàng nhận thấy rằng 125 = 5 × 5 × 5 và 10⁻⁶ = 10⁻² × 10⁻² × 10⁻². Vì thế,

$$\sqrt[3]{(125)}=\sqrt[3]{(5×5×5)}=5$$

và

$$\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=\sqrt[3]{(10⁻²)×(10⁻²)×(10⁻²)=10⁻²}$$

Cuối cùng, chúng tôi có được:

$$\sqrt[3]{(-0,000125)}=\sqrt[3]{((-125) × 10⁻⁶)}=\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}$$

$$\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}$$

$$-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=-\sqrt[3]{(5×5×5)}×\sqrt[3]{(10⁻²)×(10⁻²)×(10⁻²)}=(-5)×10⁻²=-0,05$$

Ứng dụng thực tế

Căn bậc ba được sử dụng trong đời thực để tìm chiều dài cạnh của bất kỳ vật thể lập phương nào. Ví dụ: nếu bạn biết thể tích của một chiếc hộp và muốn biết chiều cao của nó, hãy kiểm tra xem nó có vừa với chỗ nào đó không. Hoặc, nếu bạn cần ước tính lượng sơn mà bạn sẽ cần sơn các bức tường của một căn phòng hình khối. Hoặc, nếu bạn cần đếm số lượng gạch mà bạn cần để lát sàn của một căn phòng hình khối với thể tích đã biết.

Thể tích khối gỗ

Hãy tưởng tượng bạn đang xây một ngôi nhà và nhìn thấy một quảng cáo rao bán 64 mét khối gỗ. Hỏi khối gỗ đó có chiều dài, chiều rộng và chiều cao như thế nào?

Để giải bài toán này, bạn phải tìm căn bậc ba của 64. Độ dài cạnh của hình khối tưởng tượng giúp bạn mô tả thể tích này sẽ là ∛64 = 4. Do đó, từ dữ liệu ban đầu về thể tích khối gỗ, chúng ta có một ý tưởng khác về kích thước của một khối như vậy.