Công cụ máy tính giá trị bình quân (trung bình cộng)

Công cụ tính toán giá trị trung bình trực tuyến này giúp bạn dễ dàng tìm ra giá trị bình quân cho bất kỳ tập hợp dữ liệu nào. Bạn có thể nhập, sao chép & dán dữ liệu của mình vào ô dữ liệu. Hãy lưu ý phân tách các số dữ liệu bằng dấu phẩy. Sau đó, nhấp vào nút "Tính toán" (Calculate).

Công cụ tính toán giá trị bình quân này sẽ hiển thị cho bạn giá trị trung bình (trung bình cộng), các bước tính toán và các con số thống kê khác liên quan đến tập dữ liệu đã cho.

Giá trị bình quân (trung bình cộng)

Giá trị bình quân được xác định là giá trị trung bình của các giá trị trong một tập dữ liệu. Tất cả các giá trị trong tập dữ liệu được sử dụng để tính giá trị trung bình cộng. Do đó, nó đại diện cho toàn bộ tập dữ liệu. Trung bình cộng được coi là một trong những phép đo tập trung hoặc tổng quan quan trọng nhất.

Trung bình cộng là giá trị bình quân phổ biến nhất. Tuy nhiên, có nhiều loại giá trị trung bình khác nhau, bao gồm trung bình nhân, trung bình có trọng số, trung bình cộng kết hợp, trung bình điều hòa, và những loại khác.

Bình quân của một tổng thể được biểu diễn bằng μ (Mu) và trung bình của một mẫu được biểu diễn bằng X̄.

Giá trị bình quân giản đơn

Giá trị bình quân giản đơn được tính bằng cách chia tổng các giá trị phần tử của tập dữ liệu cho tổng số phần tử của dữ liệu. Giá trị bình quân giản đơn đôi khi được gọi là giá trị trung bình, giá trị trung bình cộng và giá trị bình quân.

Để tính giá trị trung bình của một tổng thể, chúng ta có thể sử dụng công thức dưới đây.

μ = Tổng giá trị các phần tử của tập dữ liệu / Tổng số phần tử trong tập dữ liệu = ΣX / N

Để tính giá trị trung bình của một mẫu, chúng ta có thể sử dụng công thức dưới đây:

X̄ = Tổng các giá trị của tập dữ liệu / Tổng số lượng các giá trị dữ liệu trong mẫu = ΣX/n

Hãy tính giá trị bình quân ở ví dụ sau.

Ví dụ

Điểm của Jasmine cho bảy môn học trong học kỳ trước được hiển thị trong bảng bên dưới. Vậy điểm trung bình các môn học ở học kỳ trước của Jasmine là bao nhiêu?

Lời giải

Điểm bình quân = Tổng điểm / Số môn = (84 + 90 + 75 + 60 + 85 + 92 + 81) / 7 = 567 / 7 = 81

Mức bình quân là một khái niệm mà mọi người đều quen thuộc. Thu nhập bình quân, chi phí sản xuất bình quân, giá cả bình quân, điểm bình quân, mức tiêu thụ nhiên liệu bình quân, v.v., là một vài ví dụ mà bạn có thể đã biết đến thường xuyên. Ngay cả trong cuộc sống hàng ngày, số bình quân giản đơn là một phép tính tiêu chuẩn. Giá trị bình quân giản đơn hoặc giá trị trung bình cộng đơn giản còn được gọi là giá trị trung bình lý tưởng.

Tuy nhiên, trong một số trường hợp nhất định, chúng ta sử dụng các thước đo khác với xu hướng tìm tâm điểm. Hãy cùng tìm hiểu về chúng.

Trung bình nhân

Trung bình nhân không phải là một phép đo thích hợp khi xác định tỷ lệ tăng trưởng trung bình của một giá trị theo thời gian. Trung bình nhân, thường được sử dụng trong kế toán và tài chính, như trong việc tính toán lãi kép, là một chỉ số tốt hơn cho những lĩnh vực như vậy. Điều này là do tỷ lệ tăng trưởng là một phép nhân chứ không phải là một phép cộng.

Trung bình nhân của tập dữ liệu được xác định là căn bậc n của tích n phân tử. Trung bình nhân được tính bằng cách nhân từng giá trị với nhau và sau đó tính căn bậc n của tích đó, trong đó n là số lượng phần tử trong tập dữ liệu. Trung bình nhân hữu ích khi tính trung bình các tỷ lệ, phần trăm và tỷ lệ tăng trưởng.

$$Trung\ bình\ hình\ học = \sqrt[n]{x_1 \times x_2 \times x_3 \times \ldots \times x_n} = (x_1 \times x_2 \times x_3 \times \ldots \times x_n)^{\frac{1}{n}}$$

Chúng ta sẽ tìm Giá trị trung bình nhân của ví dụ trước.

$$Trung\ bình\ hình\ học = \sqrt[7]{84 \times 90 \times 75 \times 60 \times 85 \times 92 \times 81} = 80,31$$

Giá trị trung bình nhân luôn thấp hơn hoặc bằng giá trị bình quân giản đơn (trung bình cộng).

Trong ví dụ của chúng ta,

Trung Bình Nhân ≤ Trung Bình Cộng

80,31 < 81

Bạn có thể sử dụng công cụ máy tính bình quân để xác định nhiều thông số thống kê hơn, chứ không chỉ là giá trị trung bình cộng. Bạn cũng có thể sử dụng nó để tính Trung bình nhân cho tập dữ liệu của mình.

Giá trị trung bình có trọng số

Trong trung bình cộng, tất cả các giá trị đều có cùng trọng số (mức độ quan trọng). Nhưng trong một số trường hợp, chúng ta không thể áp dụng mức độ quan trọng như nhau cho mọi giá trị trong tập dữ liệu của mình.

Trong ví dụ của chúng ta, chúng ta đã tính điểm trung bình bằng cách tính tổng tất cả các điểm số và chia cho tổng số môn học. Chúng tôi chưa xem xét đến mức độ quan trọng tương đối của từng môn học.

Giá trị trung bình có trọng số phải được sử dụng khi chúng ta cần xem xét tầm quan trọng tương đối của từng phần tử trong tập dữ liệu khi tính giá trị trung bình. Giá trị trung bình có trọng số được tính bằng cách chia các giá trị có trọng số cho tổng các trọng số. Giá trị dữ liệu nhân với trọng số liên quan gọi là giá trị có trọng số (weighted value).

Chúng ta có thể sử dụng công thức dưới đây để tính giá trị trung bình có trọng số của một tập dữ liệu.

Giá trị trung bình có trọng số = Tổng các giá trị có trọng số / Tổng các trọng số = ΣWX / ΣW

Ví dụ

Giả sử rằng mỗi môn học trong ví dụ trước có trọng số khác nhau. Vì vậy, bảng dữ liệu cập nhật về điểm số của Jasmine cho 7 môn học trong học kỳ trước như sau.

Điểm trung bình có trọng số của Jasmine ở học kỳ trước

Lời giải

Điểm trung bình có trọng số = ΣWX / ΣW = (84×3+90×2+75×4+60×3+85×3+92×2+81×3)/(3+2+4+3+3+2+3) = (252+180+300+180+255+184+243)/20 = 1594/20 = 79,7

Trung vị

Trung vị là giá trị nằm giữa của tập dữ liệu khi nó được sắp xếp tăng dần (giá trị thấp nhất đến giá trị cao nhất) hoặc giảm dần (giá trị cao nhất đến giá trị thấp nhất). Hay nói cách khác, trung vị là điểm tại đó mà mảng dữ liệu (Mảng là sự sắp xếp dữ liệu thô theo thứ tự giá trị tăng dần hoặc giảm dần) được chia thành 2 phần bằng nhau. Kết quả là, 50% giá trị nằm dưới mức trung bình và 50% nằm trên mức trung bình.

Phương pháp tìm trung vị

Khi tìm trung vị, trước tiên chúng ta phải tìm vị trí của số trung vị bằng công thức dưới đây:

$$Vị\ trí\ của\ trung\ vị = Phần\ tử\ thứ \left( \frac{n+1}{2} \right)$$

"n" biểu thị tổng số phần tử của tập dữ liệu.

Nếu tổng số phần tử trong tập dữ liệu là số lẻ thì giá trị của phần tử ở vị trí trung tâm chính là trung vị. Nhưng giả sử tổng số phần tử trong tập dữ liệu là số chẵn. Trong trường hợp đó, trung bình cộng của hai số ở giữa được tính là trung vị.

Sự khác biệt giữa giá trị trung bình và giá trị trung vị

1. Giá trị trung bình hoặc giá trị bình quân được tính bằng cách tính tổng tất cả các giá trị trong một tập dữ liệu rồi chia cho số lượng các giá trị trong tập dữ liệu đó. Nó cung cấp cho chúng ta một giá trị xem xét từng giá trị trong tập dữ liệu. Ngược lại, trung vị là giá trị ở giữa trong tập dữ liệu được sắp xếp từ thấp nhất đến cao nhất và đưa ra điểm trung tâm để chia tập dữ liệu làm 2 phần bằng nhau nhưng không tính đến độ lớn của tất cả các giá trị.

2. Cả giá trị trung bình và trung vị đều có thể được ước tính trực quan từ cách trình bày dữ liệu bằng đồ thị. Giá trị trung bình có thể được ước tính gần đúng trong trường hợp phân bố đối xứng vì nó sẽ nằm ở trung tâm, trong khi giá trị trung vị có thể được xác định là giá trị ở giữa trong biểu đồ hình cột chẳng hạn.

3. Cả giá trị trung bình và giá trị trung vị đều được sử dụng trong phân tích thống kê chuyên sâu. Giá trị trung bình đặc biệt hữu dụng đối với dữ liệu có phân phối bình thường và không chứa các giá trị outlier (quá lớn hoặc quá nhỏ) vì nó được đưa vào tính toán phương sai và độ lệch chuẩn. Trung vị có giá trị như thước đo xu hướng trung tâm khi dữ liệu bị sai lệch hoặc chứa các giá trị outlier và nó thường được sử dụng trong các thử nghiệm thống kê phi tham số không giả định phân bổ dữ liệu cụ thể.

Khi nào nên sử dụng giá trị trung bình

Giá trị trung bình là thước đo phù hợp nhất cho xu hướng trung tâm khi tập dữ liệu có phân bố đối xứng không có giá trị quá chênh lệch so với phần còn lại (Outlier). Nó là một chỉ báo đáng tin cậy về trung tâm của dữ liệu vì nó kết hợp mọi giá trị có trong dữ liệu. Nếu một tập dữ liệu có chứa các giá trị Outlier thì tốt nhất là nên loại bỏ chúng trước khi tính giá trị trung bình để đảm bảo thể hiện chính xác xu hướng trung tâm.

Khi nào nên sử dụng giá trị trung vị

Trung vị là thước đo thường xuyên trong xác định xu hướng trung tâm khi xử lý các tập dữ liệu phân bổ bị lệch hoặc khi có các giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ so với phần còn lại (Outlier). Điều này là do, trung vị là giá trị ở giữa của tập dữ liệu được sắp xếp từ thấp nhất đến cao nhất, không bị ảnh hưởng bởi các giá trị Outlier, không giống như giá trị trung bình. Trong những trường hợp như vậy, giá trị trung vị cung cấp giá trị trung tâm tốt hơn, đại diện cho phần lớn dữ liệu mà không bị các giá trị Outlier làm sai lệch.

Hãy sửa ví dụ ban đầu của chúng ta và tìm hiểu về các giá trị Outlier (quá lớn hoặc quá nhỏ so với phần còn lại của tập dữ liệu).

Ví dụ

Giả sử Jasmine đạt 15 điểm cho môn nghiên cứu quốc tế thay vì 92. Vậy điểm trung bình mới của Jasmine cho các môn học trong học kỳ trước là bao nhiêu?

Lời giải

Điểm trung bình = ΣX / N = (84+90+75+60+85+15+81)/7 = 490/7 = 70

Điểm trung bình mới là 70. Nó giảm 11 điểm từ 81 xuống 70. Bạn có thể thấy các điểm Outlier (quá nhỏ/quá lớn) ảnh hưởng đến điểm trung bình như thế nào.

Trong tình huống này, giá trị trung vị của dữ liệu là thước đo xu hướng trung tâm phù hợp hơn giá trị trung bình cộng. Để hiểu điều này, hãy tìm trung vị cho các ví dụ ban đầu và ví dụ đã được sửa đổi.

Ví dụ

Bảng dưới đây hiển thị điểm ban đầu của Jasmine cho bảy môn học từ học kỳ trước. Điểm trung vị các môn học trong học kỳ trước của Jasmine là bao nhiêu?

Lời giải

Bước đầu tiên, chúng ta sẽ sắp xếp tất cả các điểm số thành một mảng. Bạn có thể sắp xếp mảng này theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần

60, 75, 81, 84, 85, 90, 92

$$Vị\ trí\ của\ trung\ vị = Phần\ tử\ thứ \left( \frac{n+1}{2} \right) = Phần\ tử\ thứ \left( \frac{7+1}{2} \right) = Phần\ tử\ thứ\ 4$$

Tiếp theo, chúng ta sẽ kiểm tra giá trị phần tử thứ 4 trong tập dữ liệu là gì. Đó là 84. Do đó, trung vị của tập dữ liệu là 84. Bây giờ, chúng ta sẽ tìm giá trị trung vị của tập dữ liệu đã sửa đổi với các giá trị Outlier (quá lớn hoặc quá nhỏ).

Ví dụ

Giả sử Jasmine nhận được 15 thay vì 92 điểm cho môn nghiên cứu quốc tế. Điểm trung bình mới của các môn học trong học kỳ trước của Jasmine là bao nhiêu?

Lời giải

Bước đầu tiên, chúng ta sẽ sắp xếp tất cả các điểm số thành một mảng. Hãy sắp xếp dữ liệu của chúng ta theo thứ tự tăng dần.

60, 75, 81, 84, 85, 90, 92

$$Vị\ trí\ của\ trung\ vị = Phần\ tử\ thứ \left( \frac{n+1}{2} \right) = Phần\ tử\ thứ \left( \frac{7+1}{2} \right) = Phần\ tử\ thứ 4$$

Mặc dù có một outlier (điểm quá lớn hoặc quá nhỏ) trong trường hợp này, nhưng giá trị trung vị vẫn không bị ảnh hưởng.