Công cụ tính độ dốc

Công cụ tính độ dốc

Công cụ tính độ dốc là một công cụ trực tuyến đơn giản, cho phép bạn tìm độ dốc của một đường thẳng. Trong toán học, độ dốc của một đường được định nghĩa là sự thay đổi tọa độ dọc (tọa độ y) so với sự thay đổi của tọa độ ngang (tọa độ x).

ký hiệu được sử dụng

Độ dốc được ký hiệu bằng chữ cái m. Biểu đồ trên trình bày đồ họa tất cả các ký hiệu khác được sử dụng trong máy tính. Công cụ tìm độ dốc có thể thực hiện tính toán trong hai tình huống khác nhau:

1. Khi biết tọa độ của hai điểm trên đường thẳng. Trên biểu đồ, hai điểm có tọa độ (x₁,y₁) và (x₂,y₂). Trong trường hợp này, máy tính sẽ tìm độ dốc m của đường thẳng.

2. Nếu chúng ta biết tọa độ của một điểm (x₁,y₁), khoảng cách d và độ dốc của một đường thẳng, thì máy tính sẽ tìm tọa độ của điểm thứ hai trên đường thẳng, (x₂,y₂).

Trong cả hai trường hợp, máy tính cũng sẽ trả về các đặc điểm còn thiếu khác của đường thẳng: thay đổi theo chiều ngang ∆x, thay đổi theo chiều dọc ∆y, góc nghiêng θ, chiều dài đường thẳng hay khoảng cách d.

Cách sử dụng

Đầu tiên, xác định các giá trị đã biết và chọn phương thức tính toán thích hợp. Nếu biết tọa độ của 2 điểm thì chọn “Nếu biết 2 điểm”.

Nếu bạn chỉ có tọa độ của một trong các điểm, để thực hiện phép tính, bạn sẽ cần biết khoảng cách d và độ dốc m của đường thẳng. Trong trường hợp này, chọn “Nếu biết 1 Điểm và Độ dốc”.

Nếu biết 2 điểm

Điền tọa độ đã biết của các điểm vào các trường tương ứng, sau đó nhấn “ Calculate - Tính toán”. Công cụ máy tính sẽ trả về các thông tin sau:

• độ dốc m,
• góc nghiêng θ,
• chiều dài d của đường thẳng,
• sự thay đổi theo phương ngang ∆x,
• sự thay đổi theo phương dọc ∆y.

Máy tính cũng sẽ thể hiện các công thức được sử dụng để tìm độ dốc và tất cả các giá trị khác của đường thẳng. Công cụ máy tính sẽ hiển thị phương trình tương ứng của đường thẳng và nó sẽ vẽ sơ đồ đường thẳng để thể hiện một cách trực quan.

Nếu biết 1 điểm và độ dốc

Điền tọa độ của điểm đã biết, khoảng cách và độ dốc vào các trường tương ứng. Lưu ý rằng thay vì độ dốc, bạn có thể điền giá trị của “góc nghiêng (theta hoặc θ)”. Giá trị của θ phải được điền theo đơn vị độ. Chỉ phải điền một trong những giá trị này (m hoặc θ). Giả sử cả m và θ đều được điền vào. Trong trường hợp đó, máy tính sẽ bỏ qua giá trị của θ và chỉ sử dụng độ dốc m để tính toán.

Nhấn "Calculate" (Tính toán). Máy tính sẽ trả về các thông tin sau: tọa độ của điểm thứ hai (x₂,y₂), thay đổi theo phương ngang ∆x, thay đổi theo phương dọc ∆y và độ dài của đường thẳng d. Nếu độ dốc m được sử dụng để tính toán thì máy tính cũng sẽ trả về giá trị của θ. Nếu bạn sử dụng góc nghiêng θ để tính toán, máy tính sẽ trả về giá trị m trong phần kết quả. Ngoài ra, máy tính sẽ hiển thị phương trình tương ứng của đường thẳng và nó sẽ vẽ sơ đồ đường thẳng để thể hiện trực quan.

Công thức độ dốc

Như đã nêu ở trên, độ dốc của một đường thẳng được xác định là sự thay đổi của tọa độ dọc (tọa độ y) so với sự thay đổi của tọa độ ngang (tọa độ x) của đường thẳng.

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=\frac{∆y}{∆x}=tanθ$$

Phương trình trên được gọi là công thức tính độ dốc. Chúng ta có thể sử dụng nó để tìm độ dốc của bất kỳ đường thẳng nào nếu biết tọa độ của hai điểm trên đường thẳng đó. Độ dốc thường được ký hiệu là m. Nó được sử dụng để mô tả hướng của đường thẳng cũng như độ dốc của nó:

• Nếu đường đi lên từ trái sang phải thì y₂>y₁ và x₂>x₁. Độ dốc sẽ luôn dương, m>0. Trong trường hợp này, chúng ta nói rằng đường thẳng đang hướng lên.

• Nếu đường thẳng đi xuống từ trái sang phải thì y₂ < y₁ và x₂ > x₁. Độ dốc sẽ âm, m < 0. Trong trường hợp này, chúng ta nói rằng đường thẳng đang hướng xuống.

• Nếu đường nằm ngang thì y₂=y₁ hay y₂-y₁=0. Khi đó độ dốc cũng sẽ bằng 0: m=0.

• Nếu đường thẳng đứng thì x₂=x₁ hay x₂-x₁=0. Công thức độ dốc sẽ có mẫu số bằng 0 và độ dốc không xác định.

Phương trình tuyến tính

Chúng ta có thể viết phương trình tuyến tính dưới dạng sau:

$$y=mx+b$$

Dạng phương trình tuyến tính này được gọi là dạng giao điểm độ dốc. Đồ thị của phương trình này sẽ là một đường thẳng, trong đó m là độ dốc của đường thẳng. Và B là tọa độ tại đó đồ thị cắt trục tung y. B đôi khi cũng được gọi là giao điểm trục tung y của đường thẳng, vì y=b khi x=0. Khi biết tọa độ của một điểm trên đường thẳng và hệ số góc, chúng ta có thể viết phương trình đường thẳng dưới dạng gọi là điểm-độ dốc (point-slope):

$$y-y₁=m(x-x₁)$$

Dạng phương trình tuyến tính này có lợi cho việc tìm giao điểm y của một đường thẳng.

Ví dụ phép tính

Giả sử chúng ta biết tọa độ của hai điểm trên đường thẳng.

Giả sử:

$$x₁=1$$

$$y₁=1$$

$$x₂=9$$

$$y₂=25$$

Đầu tiên hãy tìm độ dốc của đường này:

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=\frac{∆y}{∆x}$$

$$m=\frac{25-1}{9-1}=\frac{24}{8}=3$$

$$m=3$$

Bây giờ, hãy tìm các giá trị đặc trưng khác của đường thẳng. Chúng ta biết rằng m=tanθ. Do đó, ta có thể tìm góc nghiêng θ như sau:

$$\theta=\arctan{\left(m\right)} = arctan\frac{∆x}{∆y} = 71,565051177078°$$

Ngoài ra,

$$∆x=9-1=8$$

$$∆y=25-1=24$$

Chúng ta có thể tìm khoảng cách d bằng định lý Pytago. Định lý phát biểu rằng bình phương chiều dài cạnh huyền bằng tổng bình phương chiều dài hai cạnh còn lại của tam giác vuông.

Áp dụng định lý này cho tam giác, ta có:

$$d^2=∆x2+∆y2$$

Vì vậy,

$$d=∆x2+∆y2$$

$$d=\sqrt{8^2+{24}^2}=\sqrt{640}$$

$$d=25,298221281347$$

Để tìm tạo độ y giao điểm của đường thẳng, hãy viết phương trình đường thẳng ở dạng độ dốc - điểm (point-slope), thay thế các giá trị đã cho của chúng ta là m, x₁ và y₁:

$$y-1=3\left(x-1\right)$$

$$y=3x-2$$

Do đó, y=-2 là giao điểm y của đường thẳng, hay nói cách khác, khi x=0, y=-2.

nếu y=0:

$$x=\frac{2}{3}=0,66666666666667$$

Hình vẽ thể hiện đường thẳng tương ứng. Trong trường hợp của chúng ta, độ dốc là dương, m>0 và chúng ta có thể thấy rằng đường này đang hướng lên – nó đi lên từ trái sang phải. Chúng ta cũng có thể thấy rằng đường này khá dốc vì góc nghiêng θ ≈ 72°.