Máy tính công thức tính khoảng cách

Công cụ máy tính này giúp tìm ra khoảng cách giữa hai điểm trên một mặt phẳng nếu biết tọa độ của các điểm đó. Máy tính này hoạt động trong không gian hai chiều.

Vì đường thẳng biểu thị khoảng cách ngắn nhất giữa 2 điểm, nên máy tính này có thể được sử dụng làm máy tính độ dài đường thẳng.

Cách sử dụng

Máy tính tìm khoảng cách giữa điểm 1 có tọa độ (X₁, Y₁) và điểm 2 có tọa độ (X₂, Y₂).

Để tìm khoảng cách giữa hai điểm, bạn hãy nhập tọa độ của chúng vào các trường tương ứng. Tọa độ đầu vào phải được nhập như sau:

• Dấu phẩy ngăn cách hai tọa độ của các điểm; ví dụ: nhập “4,5” vào trường (X₁, Y₁) để có điểm 1 với tọa độ x là 4 và tọa độ y là 5. Nếu bất kỳ tọa độ nào được biểu thị bằng số thập phân, hãy sử dụng dấu thập phân dấu để tách phần nguyên khỏi phần thập phân; ví dụ: nhập “4,5,7” để có một điểm có tọa độ x là 4,5 và tọa độ y là 7.
• Bạn chỉ có thể sử dụng số nguyên và số thập phân làm tọa độ các điểm. Phân số không được chấp nhận.
• Khoảng trắng giữa các tọa độ là không cần thiết nhưng bạn có thể sử dụng chúng để thuận tiện cho mình

Sau khi nhập các tọa độ, bạn hãy nhấn “Tính toán” (Calculate). Máy tính sẽ trả về đáp án cuối cùng và thuật toán giải chi tiết.

Công thức khoảng cách

Trên mặt phẳng hai chiều, có thể tìm thấy khoảng cách d giữa điểm 1 có tọa độ (X₁, Y₁) và điểm 2 có tọa độ (X₂, Y₂) bằng công thức sau:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

Hay nói cách khác: khoảng cách giữa 2 điểm trong không gian 2 chiều có thể được tính bằng căn bậc hai của tổng bình phương hiệu giữa các tọa độ tương ứng. Công thức này được gọi là công thức khoảng cách Euclide. Do đó, công cụ máy tính này còn có thể được gọi là máy tính khoảng cách Euclide.

Đạo hàm công thức khoảng cách Euclide

Để rút ra công thức, hãy xét hai điểm đã cho trên mặt phẳng tọa độ (X, Y):

Để tính khoảng cách giữa điểm 1 và điểm 2, chúng ta hãy vẽ một đường thẳng đứng từ điểm 2 xuống và một đường ngang sang phải từ điểm 1. Hai đường thẳng được vẽ và khoảng cách cần tính sẽ tạo thành một tam giác vuông. Chân thẳng đứng của tam giác này sẽ được hình thành bởi khoảng cách thẳng đứng giữa điểm 1 và điểm 2: Y₂ – Y₁. Chân ngang của tam giác sẽ được hình thành bởi khoảng cách theo chiều ngang giữa hai điểm: X₂ – X₁. Cạnh huyền của tam giác này biểu thị khoảng cách cần thiết giữa các điểm. Khi biết độ dài các cạnh của tam giác vuông, độ dài của cạnh huyền có thể được tính theo định lý Pythagore:

$$d^2=(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2$$

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

Ví dụ tính toán

Ví dụ 1

Hãy tính khoảng cách giữa điểm 1 (X₁, Y₁) = (3, 1) và điểm 2 (X₂, Y₂) = (5, 7). Thay các giá trị của X₁, Y₁, X₂, Y₂ vào công thức khoảng cách Euclide, chúng ta sẽ nhận được:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(5-3)^2+(7-1)^2}=\sqrt{2^2+6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6,32$$

Lưu ý rằng việc thay đổi thứ tự của các điểm không làm thay đổi kết quả cuối cùng vì sự khác biệt giữa các tọa độ là bình phương. Hãy lặp lại phép tính trên, giả sử rằng (X₁, Y₁) = (5, 7) và (X₂, Y₂) = (3, 1):

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-5)^2+(1-7)^2}=\sqrt{-2^2+-6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6,32$$

Ví dụ 2

Hãy xem một ví dụ có tọa độ âm và tính khoảng cách giữa điểm 1 (X₁, Y₁) = (-4, 2) và điểm 2 (X₂, Y₂) = (6, -6). Thay các giá trị của X₁, Y₁, X₂, Y₂ vào công thức khoảng cách Euclide, chúng ta sẽ nhận được:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(6-(-4))^2+(-6-2)^2}=\sqrt{10^2+(-8)^2}$$

$$\sqrt{10^2+(-8)^2}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\approx 12,8$$

Ví dụ thực tế

Như đã nêu ở trên, công thức khoảng cách Euclide dựa trên định lý Pythagore. Tuy nhiên, nó vẫn điều chỉnh định lý này cho phù hợp với những tình huống chỉ biết tọa độ của các điểm (chứ không phải độ dài các cạnh của tam giác được định lý Pythagore sử dụng). Công thức này rất hữu ích khi phải tính khoảng cách từ tọa độ trên bản đồ hoặc đồ thị. Nó cũng được sử dụng để tính độ lớn của số phức và vectơ.

Ví dụ 3

Hãy tưởng tượng một cái thang dựa vào tường. Trong tình huống này, sàn tượng trưng cho trục x của mặt phẳng 2D và bức tường tượng trưng cho trục y, như minh họa trong hình bên dưới. Nếu thang chạm tường tại điểm (0, 2) và chạm sàn tại điểm (3, 0), hãy tìm chiều dài của thang.

Lời giải

Để tìm chiều dài của thang trong mặt phẳng 2 chiều tạo bởi tường và sàn, trước tiên chúng ta xác định tọa độ các điểm đầu cuối của thang: X₁, Y₁, X₂, Y₂. Hãy gọi điểm mà thang chạm vào tường là điểm 1 (X₁, Y₁) và điểm mà thang chạm sàn là điểm 2 (X₂, Y₂). Ta biết thang chạm vào tường tại điểm có tọa độ (0, 2). Do đó, (X₁, Y₁) = (0, 2):

X₁ = 0, Y₁ = 2

Lưu ý cách X₁ = 0, được minh họa rõ ràng bằng hình ảnh trên, trong đó điểm (0, 0) tương ứng với điểm vật lý nơi bức tường tiếp xúc với sàn, khiến cho các giá trị âm của X và Y là không thể.

Hơn nữa, chúng ta biết rằng thang chạm sàn tại điểm có tọa độ (3, 0). Do đó, (X₂, Y₂) = (3, 0):

X₂ = 3, Y₂ = 0

Ngoài ra, Y₂ = 0 vì các tọa độ này tương ứng với điểm nằm ngay trên sàn. Bây giờ hãy sử dụng công thức ở trên khoảng cách để tính chiều dài của thang:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2}$$

$$\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\approx 3,6$$

Đáp án

Chiều dài của thang là 3,6.

Khoảng cách trong không gian 3D

Khoảng cách Euclide là điều mà hầu hết mọi người gọi là “khoảng cách”. Khi chúng ta nói một vật cách chúng ta 5 mét, đó là khoảng cách Euclide mà chúng ta nghĩ đến. Công thức khoảng cách được mô tả ở trên có thể dễ dàng ngoại suy thành 3 chiều (hoặc thậm chí nhiều hơn!).

Trong không gian 3 chiều, khoảng cách giữa điểm 1 có tọa độ (X₁, Y₁, Z₁) và điểm 2 có tọa độ (X₂, Y₂, Z₂) có thể được tính bằng căn bậc hai của tổng bình phương chênh lệch giữa các giá trị tọa độ tương ứng:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2+(Z₂-Z₁)^2}$$