Máy tính xác suất

Công cụ Tính Xác Suất Hai Sự Kiện

Khi bạn biết xác suất của hai sự kiện độc lập, bạn có thể sử dụng Công cụ Tính Xác Suất Hai Sự Kiện để xác định xác suất khi chúng xảy ra đồng thời. Bạn phải nhập xác suất của hai sự kiện độc lập như xác suất của a và b vào máy tính. Sau đó, máy tính sẽ hiển thị các xác suất của hai sự kiện đồng thời, xác suất giao nhau và các xác suất liên quan khác của hai sự kiện độc lập cùng với các biểu đồ Venn.

Công cụ Giải Xác Suất Hai Sự Kiện

Bạn có thể tính toán xác suất các sự kiện khác nhau của hai sự kiện độc lập nếu bạn biết bất kỳ bộ hai giá trị đầu vào nào của Máy tính Giải Xác Suất Hai Sự Kiện. Điều này là quan trọng khi bạn không có một hoặc cả hai xác suất của hai sự kiện. Kết quả sẽ hiển thị câu trả lời với các bước tính toán cụ thể.

Xác suất của một Chuỗi Các Sự Kiện Độc Lập

Bạn có thể sử dụng Công cụ Tính Xác Suất của Một Chuỗi Các Sự Kiện Độc Lập để xác định xác suất khi mỗi thí nghiệm chứa hai sự kiện độc lập xảy ra liên tiếp. Trong công cụ này, bạn phải thiết lập số lần sự kiện xảy ra.

Xác Suất của Phân Phối Chuẩn

Công cụ tính xác suất phân phối chuẩn này rất hữu ích khi xác định xác suất của một đường cong chuẩn. Bạn phải nhập giá trị trung bình μ, độ lệch chuẩn σ, và các giới hạn. Công cụ tính xác suất chuẩn sẽ tạo ra xác suất của các giới hạn đã thiết lập và các khoảng tin cậy cho một phạm vị các mức tin cậy.

Giới thiệu về Xác suất

Xác suất là khả năng một sự kiện sẽ xảy ra. Khi một sự kiện chắc chắn sẽ xảy ra, xác suất của nó là 1. Khi một sự kiện không thể xảy ra, xác suất của nó là 0. Do đó, xác suất của một sự kiện cụ thể luôn nằm trong khoảng từ 0 đến 1. Công cụ tính xác suất của chúng tôi giúp cho việc tính toán xác suất cho các sự kiện khác nhau trở nên hết sức đơn giản.

Các Quy tắc của Các Phép Tính Sự kiện

Bất kỳ tập hợp kết quả nào của một thí nghiệm được gọi là một sự kiện. Đó là một sự kiện, mà có thể là bất kỳ một tập con nào của không gian mẫu. Phần bù, phần giao và phần hợp có thể được xác định là các quy tắc của các phép tính sự kiện. Hãy tìm hiểu từng quy tắc này bằng ví dụ dưới đây.

Ví dụ

Trường của bạn có nhiều khoa khác nhau, bao gồm khoa kinh doanh. Sinh viên quốc tế cũng đăng ký học tại trường này. Bạn phải tiến hành phỏng vấn với sinh viên của trường trong dự án của mình. Bạn quyết định bắt đầu với sinh viên đầu tiên đi qua cửa. Bạn nhận thức được các xác suất sau đây. Giả sử,

A = Sinh viên đầu tiên đến từ Khoa Kinh doanh.

B = Sinh viên đầu tiên là sinh viên quốc tế.

P(A) = 0,6

P(B) = 0,3

Phần bù của một sự kiện

Phần bù của một sự kiện là tập hợp tất cả các kết quả trong không gian mẫu mà không được bao gồm sự kiện đó.

Ví dụ, phần bù của sự kiện A có nghĩa là sinh viên đầu tiên đến từ nơi nào đó ngoài khoa kinh doanh. Điều này có thể được ký hiệu bằng $A\prime$ hoặc Aᶜ.

Hãy hiển thị phần bù của sự kiện A trong một biểu đồ Venn.

Trong biểu đồ Venn trên, khu vực được tô màu đại diện cho phần bù của sự kiện A.

Diện tích tổng của hình chữ nhật đại diện cho xác suất tổng của không gian mẫu. Nó chính xác bằng một. Phần không gian bên ngoài vòng tròn A cho thấy xác suất của phần bù của sự kiện A. Biểu đồ Venn cho phép chúng ta thiết lập mối quan hệ sau:

$$P\left(A\right)+P\left(A^\prime\right)=1$$

Vì vậy,

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)$$

Hãy tìm các xác suất sau đây.

Xác suất sinh viên đầu tiên bạn chọn phỏng vấn không phải là sinh viên khoa kinh doanh:

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)=1-0,6=0,4$$

Xác suất sinh viên đầu tiên bạn chọn để phỏng vấn không phải là sinh viên quốc tế:

$$P\left(B^\prime\right)=1-P\left(B\right)=1-0,3=0,7$$

Phần giao của các sự kiện

Phần giao của hai sự kiện A và B là danh sách tất cả các phần tử chung trong cả hai sự kiện A và B. Từ "VÀ" (AND) thường được sử dụng để chỉ phần giao của hai tập hợp.

Phần giao của sự kiện A và sự kiện B trong ví dụ 1 có nghĩa là chọn một sinh viên quốc tế và sinh viên đó đến từ khoa kinh doanh. Điều này có thể được ký hiệu như sau:

$$A\cap B$$

Hãy chỉ ra phần giao của các sự kiện A và B trong sơ đồ Venn.

Trong sơ đồ Venn ở trên, vùng tô màu biểu thị phần giao của sự kiện A và B.

Giả sử sự kiện đó chọn một sinh viên trong nước cho cuộc phỏng vấn là C. Bây giờ, chúng ta sẽ hiển thị các sự kiện A và C trong biểu đồ Venn.

Việc lựa chọn một sinh viên quốc tế và một sinh viên trong nước không thể được thực hiện đồng thời. Giả sử sinh viên đầu tiên bạn chọn là sinh viên quốc tế. Trong trường hợp đó, nó loại trừ trường hợp học sinh đầu tiên là học sinh trong nước. Do đó, biến cố A và C là hai biến cố đối lập.

Các sự kiện đối lập không có bất kỳ phần tử chung nào giữa chúng. Do đó, phần giao của hai sự kiện đối lập là tập hợp rỗng.

$$A\cap C=φ$$

Xác suất giao nhau của các sự kiện có thể được tính toán bằng các phương pháp khác nhau. Sự kiện A và B có thể được viết như sau.

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cup B\right)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B/A)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A/B)$$

Các biến cố độc lập

Các biến cố độc lập là các biến cố không ảnh hưởng lẫn nhau. Trong ví dụ của chúng ta, việc chọn sinh viên khoa kinh doanh không ảnh hưởng đến việc chọn sinh viên quốc tế hay không. Do đó, có thể nói biến cố A và biến cố B là hai biến cố độc lập (hai sự kiện độc lập).

Khi các biến cố là độc lập, xác suất xảy ra của bất kỳ sự kiện nào trong số chúng không phụ thuộc vào xác suất của sự kiện kia. Vì thế,

$$P(B/A)=B\ Và\ P(A/B)=A$$

Bạn có thể sử dụng các công thức này để sửa đổi công thức chúng ta đã học trước đó để xác định xác suất của hai sự kiện giao nhau.

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(\mathrm{B/A}\right)P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(B\right)× P\left(\mathrm{A/B}\right)P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A)$$

Do đó, bạn có thể tìm phần giao của hai biến cố độc lập bằng cách nhân xác suất của hai sự kiện đó.

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=P(B)× P(A)$$

Như chúng ta đã biết, các sự kiện A và B độc lập với nhau, hãy xác định xác suất để sinh viên đầu tiên bạn chọn cho cuộc phỏng vấn sẽ đến từ khoa kinh doanh và là sinh viên quốc tế.

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=0,6× 0,3=0,18$$

Phần hợp của các sự kiện

Phần hợp của hai sự kiện tạo ra một sự kiện khác chứa tất cả các phần tử từ của cả hai sự kiện hoặc một trong hai sự kiện. Từ "HOẶC" (OR) thường được sử dụng để mô tả phần hợp của hai sự kiện.

Trong Ví dụ 1, phần hợp của các sự kiện A và B có nghĩa là chọn một sinh viên quốc tế hoặc một sinh viên từ khoa kinh doanh. Điều này có thể được biểu diễn như sau.

$$A\cup B$$

Hãy biểu diễn phần hợp của các sự kiện A và B trong biểu đồ Venn.

Khu vực được tô màu trong biểu đồ Venn ở trên đại diện cho phần hợp của các sự kiện A và B.

Để tính toán xác suất của sự kiện A hoặc sự kiện B, chúng ta phải cộng các xác suất của cả hai sự kiện và trừ đi xác suất của sự kiện giao nhau.

Xác suất của phần hợp của các sự kiện A và B có thể được viết như sau.

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$$

Nếu các sự kiện là độc lập, chúng có thể sửa đổi công thức trên và tạo ra một công thức mới để tìm xác suất phần hợp của hai sự kiện độc lập, khi xác suất của sự kiện giao nhau của hai sự kiện không được biết và hai sự kiện độc lập.

Nếu các sự kiện là độc lập,

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$

Do đó,

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A)× P(B)$$

Hãy tính xác suất phần hợp các sự kiện A và B, tức là với xác suất nào chúng ta sẽ chọn được một sinh viên chuyên ngành kinh doanh, một sinh viên quốc tế hoặc đồng thời cả hai?

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0,6+0,3-0,18=0,72$$

Nhờ vào Công cụ Máy Tính Xác Suất Hai Sự Kiện hay còn gọi là Công cụ Giải Xác Suất Hai Sự Kiện, bạn có thể hoàn thành tất cả các phép tính ở trên một cách nhanh chóng. Bạn có thể sử dụng Công cụ Giải Xác Suất Hai Sự Kiện này ngay cả khi bạn muốn kiểm tra các bước tính toán xác suất của mình vì nó cũng hiển thị các bước giải chi tiết cho phép tính.

Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn là phân phối đối xứng và có hình chuông. Một phân phối chuẩn có cùng một giá trị trung bình, trung vị và mode cũng như 50% dữ liệu trên giá trị trung bình và 50% dưới giá trị trung bình. Đường cong phân phối chuẩn đi ra xa khỏi giá trị trung bình ở cả hai hướng nhưng không bao giờ chạm vào trục X. Tổng diện tích dưới đường cong là 1.

Nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với tham số μ và σ2, chúng ta viết X ~ N(μ, σ²).

Xác suất phân phối chuẩn

Hàm mật độ xác suất của phân phối chuẩn được mô tả như dưới đây:

$$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}}× e^\frac{-{(x-\mu)}^2}{2\sigma^ 2}$$

Trong hàm này:

• μ là giá trị trung bình của phân bố;
• σ² là phương sai của phân bố;
• π là 3,14;
• e là 2,7182.

Việc cung cấp một bảng xác suất cho mỗi kết hợp của giá trị trung bình và độ lệch chuẩn là không thể bởi vì có vô số đường cong chuẩn khác nhau. Do đó, phân phối tiêu chuẩn được sử dụng. Phân phối tiêu chuẩn với giá trị trung bình là 0 và độ lệch chuẩn là 1 được gọi là phân phối chuẩn.

Để tính toán xác suất của một phân phối chuẩn, chúng ta trước tiên phải chuyển đổi phân phối thực tế thành một phân phối chuẩn tiêu chuẩn bằng z-score và sau đó sử dụng bảng z để tính toán xác suất. Công cụ tính xác suất chuẩn hoạt động như một công cụ tính xác suất tiêu chuẩn bằng cách cung cấp các xác suất cho các khoảng tin cậy khác nhau.

$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$$

Đường cong phân phối chuẩn có thể được sử dụng để giải quyết nhiều vấn đề thực tế khác nhau. Để xác định xác suất của các biến liên tục, phân phối chuẩn được sử dụng. Một biến liên tục là một biến có thể nhận một số lượng giá trị bất kỳ, kể cả số thập phân. Một số ví dụ về các biến liên tục là chiều cao, cân nặng và nhiệt độ.

Hãy tìm hiểu cách tính xác suất của phân phối chuẩn bằng ví dụ dưới đây.

Ví dụ

Kết quả khóa học thống kê của lớp của bạn được phân phối theo phân phối chuẩn, với điểm trung bình là 65 và độ lệch chuẩn là 10. Xác định xác suất của các tình huống sau nếu một sinh viên được chọn ngẫu nhiên trong các trường hợp sau:

• Điểm của sinh viên bằng hoặc cao hơn 70,
• Điểm của sinh viên nhỏ hơn 70,
• Điểm của sinh viên nằm giữa 50 và 70.

Lời giải

$$P\left(X≥70\right)=P\left(Z≥\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z≥0,5\right)=1-0,6915=0,3085$$

$$P\left(X<70\right)=P\left(Z<\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z<0,5\right)=0,6915$$

$$P\left(50>X>70\right)=P\left(\frac{50-65}{10}>Z>\frac{70-65}{10}\right)=P\left(1,5>Z>0,5\right)=0,4332+0,1915=0,6247$$

Tính toán xác suất của một đường cong chuẩn đòi hỏi nhiều bước và yêu cầu sử dụng bảng z. Trong khi đó, công cụ tính xác suất phân phối chuẩn giúp bạn tính toán xác suất một cách đơn giản chỉ bằng cách nhập bốn tham số vào máy tính. Để sử dụng công cụ tính xác suất phân phối chuẩn này, bạn chỉ cần nhập giá trị trung bình, độ lệch chuẩn và các giới hạn trái và phải vào máy tính.