二次公式计算器

使用二次公式计算器

这款计算器是一个易于使用的工具，用于解二次方程。在代数中，二次方程是任何可以写成以下形式的方程：

ax²+bx+c=0

其中

a≠0

要使用二次公式计算器，请将A、B和C的值输入到相应的字段中，然后按“计算”。A的值不能等于零，而B和C的值可以接受零。对于实根和复根，计算器将使用二次公式确定给定方程的所有解。使用二次公式后，计算器还会简化得到的根式，以找出最简单形式的解。

使用二次公式解二次方程

您可以使用二次公式解任何二次方程。要使用二次公式，您应该首先将给定方程变形为以下形式：ax²+bx+c=0。然后，解可以按以下方式找到：

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

方程式中的根号下部分，b²-4ac，被称为判别式。

• 如果判别式为正，b²-4ac>0，方程将有两个实根。
• 如果判别式为负，b²-4ac<0，方程将有两个复根，因为负数的平方根是一个复数。
• 如果判别式等于零，b²-4ac=0，方程将只有一个根。

二次方程计算器将显示输入方程的解以及找到这些解的工作流程。计算器还将计算判别式，并展示它是正的、负的还是等于零。

实际示例

示例1（有实根）

让我们解以下二次方程：

2x²+3x-2=0

在这个例子中

a=2, b=3, c=-2。

使用这些值的二次公式，我们得到：

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-3±\sqrt{3^2-4(2)(-2)}}{2(2)}=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{4}=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}$$

这个方程的判别式为正，

b²-4ac=25>0

因此，方程将有两个实根。

现在让我们简化结果中的根式：

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}=\frac{-3±5}{4}$$

$$x=\frac{-3+5}{4}\ \ \ 和\ \ \ x=\frac{-3-5}{4}$$

$$x=\frac{2}{4}\ \ \ 和\ \ \ x=-\frac{8}{4}$$

$$x=\frac{1}{2}\ \ \ 和\ \ \ x=-2$$

最终

x=0.5

x=-2

示例2（有复根）

让我们解以下二次方程：

x²+2x+5=0

在这个例子中

a=1, b=2, c=5

使用这些值的二次公式，我们得到：

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-2±\sqrt{2^2-4(1)(5)}}{2(1)}=\frac{-2±\sqrt{4-20}}{2}=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}$$

这个方程的判别式为负，

b²-4ac=-16<0

因此，方程将有两个复根。

现在让我们简化结果中的根式：

$$x=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}=\frac{-2±4i}{2}=\frac{-2}{2}±\frac{4i}{2}=-1±2i$$

最终，

x=-1+2i

x=-1-2i

示例3（一个根）

让我们解以下二次方程：

3x²+6x+3=0

在这个例子中

a=3, b=6, c=3

使用这些值的二次公式，我们得到：

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-6±\sqrt{6^2-4(3)(3)}}{2(3)}=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{6}=\frac{-6±\sqrt0}{6}$$

这个方程的判别式等于零，b²-4ac=0。因此，方程将有一个根。

$$x=\frac{-6}{6}$$

最终，

x=-1

二次公式的推导

如上所示，您可以使用二次公式解决任何二次方程，无论判别式是正的、负的还是等于零。现在让我们探究它是如何被推导出来的。了解公式推导的基本原理在您忘记公式本身时非常有用。

二次公式推导的算法相对直接，基于完成平方的过程。要推导标准二次方程ax²+bx+c=0的解，您需要按照以下步骤操作：

1. 我们有一个方程：

ax²+bx+c=0

将常数C移到方程的右边：

ax²+bx=-c

2. 消除x²项旁边的系数A。为此，将方程除以A：

$$x²+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$

3. 在方程的两边都加上

$$(\frac{b}{2a})^2$$

得到：

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

4. 现在左边的部分具有

x²+2dx+d²

的形式。这个表达式可以重写为

(x+d)²

在我们的方程中，d表示为

$$\frac{b}{2a}$$

所以：

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 = \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$$

将其代入我们公式的左边，暂时保持右边不变：

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

现在方程中的根x只出现一次。

5. 从方程的两部分提取平方根：

$$x+\frac{b}{2a}=± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

6. 将 \$\frac{b}{2a}\$ 移到方程的右边：

$$x=-\frac{b}{2a}± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

7. 将方程右边乘以

$$\frac{2a}{2a}$$

$$x=\frac{-b ± \sqrt{-\frac{c}{a} × (2a)^2 + (\frac{b}{2a})^2 × (2a)^2}}{2a}$$

8. 简化方程：

$$x=\frac{-b±\sqrt{-4ac+b²}}{2a}$$

9. 结果得到二次公式：

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

二次方程的有趣事实

• 二次方程的两个根之和是

$$\frac{-b}{a}$$

因此，如果二次方程的判别式b²-4ac等于零，您可以找到方程的唯一根，即

$$\frac{-b}{2a}$$

• 二次方程的两个根的乘积是

$$\frac{c}{a}$$

• “二次”这个术语来自拉丁语“quadratus”，意为“正方形”。之所以称为二次方程，是因为变量的最高次幂是2，即变量被“平方”。

• 二次公式的现代形式早在公元628年就由印度数学家婆罗摩笈多描述过，他没有使用符号，而是用文字讨论了解的方法。然而，婆罗摩笈多只描述了两个可能解中的一个，省略了平方根前重要的±符号。

• 二次函数y=ax²+bx+c的图像是一个抛物线。二次方程的解或根实际上是图像与x轴相交的坐标。如果方程有两个实根，图像会与x轴相交两次。如果方程只有一个根，相应抛物线的图像只会在其最大或最小点处触及x轴。如果方程没有实根，相应抛物线的图像根本不会与x轴相交。

• 当平方项系数A的值接近零时，相应抛物线的图像变得更平坦，最终趋于成为一条直线。当a=0时，方程变成线性的，其图形表示显然是一条直线！

• 同样地，当a>0时，抛物线会向上开口。如果a<0，相应的抛物线将向下开口。如果a=0，“抛物线”是平的，即它是一条直线。

二次方程在所有科学领域中都被广泛使用。例如，在物理学中，二次方程被用来描述抛射运动。