体积计算器

每个立体的三维物体都占据着一定的空间。我们可以想象手机放在桌子上、社区里放置的储水容器或者足球场上的足球所占据的空间。

我们可以将体积定义为物体所占据的空间。体积也可以指物体的容量。与其想象储水容器在我们车库中占据的空间，不如想象它可以储存的水量或容量。

体积计算在科学和数学的各个领域中都有应用。

体积计算器支持在计算体积时使用多种测量单位。此外，计算器显示公式和逐步计算过程。本文将提供关于体积和体积公式计算器的简单但充分的解释，并且附带真实示例。

单位和测量

为了提高我们判断的可靠性和准确性，我们需要一个标准的测量单位。为了统一性，我们需要一套标准化的测量单位，称为标准单位。

国际单位制（SI）的体积单位是立方米m³。然而，一些小物体的体积可以用较小的单位表示，比如立方厘米cm³或立方毫米mm³，如果物体太小的话。

另一方面，用户可以自由指定最适合其应用的单位。体积计算器支持两种测量系统：公制系统、英制和美国常用单位。用户可以在以下单位之间自由选择：

• 千米，
• 米，
• 厘米，
• 毫米，
• 微米，
• 纳米，
• 埃，
• 英里，
• 码，
• 英尺，
• 英寸。

如果我们使用公式计算体积，我们必须使用同质的测量单位。因此，我们通常将所有测量值转换为相同的单位，以便计算。

例如，考虑计算一个高度为75厘米、半径为0.5米的圆柱体的体积。我们可以将高度转换为米，然后以立方米计算体积，或者将半径转换为厘米，然后以立方厘米找出体积。

那么让你以英寸定义高度，以纳米定义半径怎么样？计算器甚至可以执行这种单位转换并显示步骤。

使用这个计算器，用户可以为每个测量输入选择不同的单位，体积公式计算器将返回体积。 考虑这样一个例子，圆柱的高度是5英寸，半径是10506070纳米。我们将导航到圆柱体积计算器部分，并从下拉列表中输入正确单位的半径和高度值。

计算器首先返回体积为2.6874044006564英寸³（立方英寸）和4.4038667907438E+22纳米³（立方纳米）。为什么会这样？因为这些是我们在输入中使用的测量单位，计算器假设我们需要以这些单位中的一个来计算体积。圆柱体积显示了进行计算的两种方式以及单位转换！

体积计算器：范围、特点和示例

计算体积的方法可以根据不同的几何图形而有所不同。一些几何形状使用标准算术公式根据它们的属性（如边长或半径）来计算体积。

其他几何形状更为复杂，不能直接计算它们的体积。在这种情况下，使用高级计算方法，如几何积分和有限元方法。体积计算器支持计算广泛范围物体的体积。

球体

球体是圆的三维等效物；任何圆形球（棒球、篮球等）都是球体的例子。球体的体积公式为：

$$V_{球体}=\frac{4}{3}\pi r^3$$

我们可以观察到，球体的体积只取决于球体的半径（r）。半径定义为球心与球面上任意一点之间的距离。假设一个棒球的半径r = 3.65厘米，我们可以使用球体体积计算器来找到体积：

$$体积 = \frac{4}{3}πr^3 = \frac{4}{3} × π × 3.65^3 = 203.68882488692 \ 厘米^3$$

圆锥

圆锥是由圆形底面和一个顶点组成的几何形状，顶点称为顶点，底面周边的所有点都通过线段与顶点相连。我们可以用两个测量值来定义圆锥的属性：圆形底面的半径（r）和底面中心与顶点之间的高度（h）。

圆锥的体积可以表示为：

$$V_{圆锥体}=\frac{1}{3}\pi r^2h$$

r是半径，h是圆锥的高度

假设你有一个生日派对，想要做DIY圆锥形的派对帽，之后在晚上用作爆米花锥。

如果你决定制作半径为7.5厘米，高度为0.45米的圆锥帽，你可以使用圆锥体积计算器来计算每个圆锥帽的体积。

0.45米 = 45厘米

$$体积 = \frac{1}{3}πr^2h = \frac{1}{3} × π × 7.5^2 × 45 = 2650.7188014664 \ 厘米^3$$

这意味着你在派对结束时可以在圆锥里放这么多爆米花。

立方体

谁没有机会玩过魔方？

这是一个有8个顶点和6个相等边的几何物体。立方体的体积只取决于立方体边长（a）。

$$V_{立方体}=a^3$$

我们决定为我们的发展中心购买30个魔方，以便孩子们能够提高他们的认知能力。我们去商店找到了设计和价格合适的魔方。立方体边长为5.7厘米。不幸的是，商店的售货员只有一个箱子来堆叠所有的立方体，以便于运输。这个箱子是立方体形状，边长20厘米。我们的所有立方体能放进那个箱子里吗？

立方体的体积：

$$体积 = 5.7³ = 185.19\ 厘米³$$

30个立方体的总体积为

$$185.19 × 30 = 5,555.7\ 厘米³$$

箱子的体积：

$$体积 = 20³ = 8,000\ 厘米³$$

我们将30个立方体的体积与箱子的体积进行了比较。

$$5,555.7 < 8,000$$

结果显示，这些立方体完美地适合这个箱子。

圆柱体

圆柱体是一个几何棱柱，底面是均匀的圆形，就像多个圆形叠放在一起形成的几何形状。与圆锥一样，圆柱体的属性由圆的半径（r）和圆柱体底面到顶面的高度（h）定义。可以这样表示圆柱体的体积：

$$V_{圆柱体}=\pi r^2h$$

让我们计算一个装饰性圆柱形蜡烛的体积，这样工匠就能知道他们需要多少石蜡来制作它。所以，我们的蜡烛高度将是15厘米，直径8厘米。从直径中，我们可以计算半径，将是4厘米。所以我们得到：

$$体积 = πr^2h = π × 4^2 × 15 = 240π = 753.98223686155\ 厘米^3$$

长方形容器

长方形容器是立方体的一种变体，其中所有边都垂直但不一定相等。这个几何物体由长度（l）和宽度（w）定义，这代表一个二维矩形，加上一个高度（h），创建了这个矩形的三维扩展。因此，长方形容器的体积可以写成如下：

$$V_{长方形水箱}=l \times w \times h$$

一个普遍的长方形容器的例子是集装箱。标准集装箱ISO测量标准为：

• 宽度 = 2.43 米
• 高度 = 2.59 米
• 长度 = 6.06 米 或 12.2 米

由于测量标准符合ISO，体积也是标准的。将测量值输入长方形容器体积计算器来找到体积。对两个长度值6.06米和12.2米都进行计算。

$$体积 = 6.06 × 2.43 × 2.59 = 38.139822\ 米³$$

和

$$体积 = 12.2 × 2.43 × 2.59 = 76.78314\ 米³$$

更复杂的三维几何形状

我们可以将其他几何形状与基本几何形状结合。这个图形的体积是多少？

我们可以看到，这个物体是由一个圆柱和顶部的一个圆锥组成的。因此，我们可以说这个物体的体积是圆柱体积和圆锥体积的总和：

$$V_{物体}=V_{圆柱体}+V_{圆锥体}$$

圆柱和圆锥的直径都是4厘米。因此，我们可以说

$$r_{圆柱体}=r_{圆锥体}=\frac{4}{2}=2\ 厘米$$

此外，

$$h_{物体}=h_{圆柱体}+h_{圆锥体}$$

鉴于

$$h_{物体}=10\ \text{厘米}$$

和

$$h_{圆锥体}=3\ \text{厘米}$$

我们可以推断

$$h_{圆柱体}=7\ \text{厘米}$$

现在我们可以按照以下方式将值输入体积计算器：

$$V_{物体}=V_{圆柱体}+V_{圆锥体}=87.96\ \text{立方厘米}+12.56\ \text{立方厘米}$$

$$V_{物体}=100.52\ \text{立方厘米}$$

这个例子将有助于更好地理解体积计算器支持的未来几何形状。

胶囊

胶囊是最常见的医药片剂形式之一。用户可以使用前面的例子来理解，一个胶囊由一个圆柱体和两个相对面的半球组成。

两个半球可以加起来形成一个完整的球体，我们可以说胶囊的体积是圆柱体积和球体体积的总和。

$$V_{胶囊体} = \pi r^2h + \frac{4}{3}\pi r^3 = \pi r^2(\frac{4}{3}r + h)$$

其中r是半径，h是圆柱部分的高度。

多亏了胶囊体积计算器，您不必计算圆柱体的体积并将其加上球体的体积来计算胶囊的体积。用户可以直接输入高度和半径，计算器将输出胶囊的体积。

制药科学家在分析、开发和制造药品时，总是试图找到合适的胶囊体积。胶囊应该存储每个胶囊所需的药物量，因此科学家通过改变胶囊的尺寸（高度和半径）来相应地调整体积。

球冠

前面的例子提到半球是半个球体。同时，球冠是当球体被一个平面切割时的球体部分。半球是球冠的一个特殊情况，其中球体被切分为两个相等的部分。因此，半球的体积是球体体积的一半。

下图显示了一个球冠的例子，其中(r)是底部半径，(R)是球体半径，(h)是球冠的高度。这些变量之间存在关系。因此，只需知道这三个值中的两个就可以计算第三个。

• 已知r和R；$h=R±\sqrt{R^2-r^2}$
• 已知r和h；$R=\frac{h^2+r^2}{2h}$
• 已知R和h；$r=\sqrt{2Rh-h^2}$

其中：

• r是底部半径，
• R是球体半径，
• h是球冠的高度。

球冠的体积可以写成如下：

$$V_{球冠}=\frac{1}{3}\pi h^2(3R-h)$$

只需输入球冠的三个变量中的两个。例如，考虑R = 1m和r = 0.25m，计算器找到两个可能的体积；0.00313 m³和4.1856 m³。这是为什么呢？

回想一下以下公式

$$h=R±\sqrt{R^2-r^2}$$

我们可以看到，当给定r和r的值时，h可以有两个值

$$h_1=R+\sqrt{R^2-r^2}$$

和

$$h_2=R-\sqrt{R^2-r^2}$$

这就解释了为什么使用$h_1$和$h_2$会得到不同的体积值。

此外，不等式R ≥ r应始终成立，否则计算器将返回一个错误消息：“底部半径不能大于球体半径”。如果用户混淆了R和r的值，这个错误提示是有帮助的。

截圆锥体

通过水平切割圆锥体并与其圆形表面平行，我们可以获得这种形状。这样会产生两个圆形和两个平行表面。

截圆锥体的体积可以定义为：

$$V_{圆锥台}=\frac{1}{3}\pi h(r^2+rR+R^2)$$

其中h是底面和顶面中心之间的高度，r是顶面半径，R是底面半径，且R ≥ r。

假设你去了一家糕点店，看到一款熔岩蛋糕，上面写着含有35%的熔化巧克力。

如果你是一个真正的数学爱好者，并想将其转化为一个数学问题，你可能会对蛋糕内部的巧克力体积感兴趣。好吧，测量顶部和底部的半径以及高度，以计算整个蛋糕的体积。

假设测量值为r = 16厘米，R = 20厘米，h = 10厘米。

然后，我们可以通过简单地将值插入截圆锥体体积计算器来找到蛋糕的体积。

$$体积=\frac{1}{3}π h(r^2+rR+R^2)=\frac{1}{3}π 10(16^2+16×20+20^2)= 10220.648099679 \ 厘米^3$$

此外，10,220.65厘米³的35%大约是3,577.23厘米³的巧克力。

椭球体

当一个球体通过方向缩放变形时，它产生一个称为椭球体的表面。可以将椭球体视为一个拉伸的球体，其中椭球体中心与表面上不同点之间的距离不相等。

因此，椭球体有三个轴，椭球体的体积是相对于从中心到这些轴的每一个半径而定义的。这三个半径值分别用a，b和c表示。

每当我们谈论球体时，我们总是想到圆球，但椭球形的球也是存在的！看看橄榄球。假设尺寸为a = 9.3厘米，b = 9.3厘米，c = 14.3厘米。

椭球体的体积公式为：

$$V_{椭球体}=\frac{4}{3}\pi abc$$

a，b和c的顺序并不重要；混淆它们是可以的。

使用椭球体体积计算器，我们可以得到橄榄球的体积。

$$体积=\frac{4}{3}π abc=\frac{4}{3}× π × 9.3 × 9.3 × 14.3 = 5180.7250468112 \ 厘米^3$$

方锥

提到金字塔可能会让你想到古埃及的金字塔。方锥由一个方形底面和一个顶点组成，底面方形的边缘点连接到该顶点。体积可以计算为：

$$V_{正方形金字塔}=\frac{1}{3}a^2h$$

其中a是方形底面的边长，h是从方形底面中心到顶点的高度。

我们以最初建造时的胡夫金字塔的尺寸为例；h = 146.6米，a = 230.33米。胡夫金字塔的体积可以如下计算：

$$体积=\frac{1}{3}a^2h = \frac{1}{3}230.33^2 × 146.6 = 2,592,469.9482467\ 米^3$$

管

与圆柱体不同，管子有外径和内径。因此，管的体积必须考虑直径的差异。

$$V_{管}=\pi\frac{d_1^2-d_2^2}{4}l$$

你可能已经猜到了，d₁ 和 d₂ 分别是管子的外径和内径。l是管子的长度。

让我们使用公式来计算我们在乡村房产上挖井时将用到的混凝土环的体积。我们的环的高度为0.89米，外径为1.16米，内径为1米。

因此我们有以下计算：

$$体积=π\frac{1.16^2-1^2}{4} × 0.89 = 0.076896 π = 0.24\ 米^3$$