排列计算器

排列组合计算器每次取样 r 个元素，计算 n 个不同物体的排列方式。它告诉我们物体在排列顺序很重要的组中可能的排列方式数。需要排列的物体总数用 n 表示，而每次取出的元素数用 r 表示。

例如，如果我们想从字母 XYZ中取两个字母进行排列，那么就会有 XY、XZ、YZ、YX、ZX 和 ZY 6 种排列方式。

要使用这个计算器，请输入 n（要按一定顺序排列的对象总数），并输入 r（每次取出的元素数），然后点击 "计算"。

排列

集合的排列是指按特定顺序排列集合内的元素。如果一个集合已经排序，那么它就是其元素的排列。对于排列来说，元素的顺序很重要。例如， AB 和BA 是两种不同的排列方式。从n 个对象中取出r 个对象进行排列，排列数用 nPr 表示。

排列次数的计算取决于排列的对象。它还取决于是否允许重复。除非另有说明，否则在计算排列数时，我们假定不允许重复。

本文将举例说明没有重复的排列组合。

排列组合遵循计数的基本原理。它指出，如果一个实验由 k 个事件组成，其中第一个事件发生了 n₁ 次，那么第二个事件就会发生 n₂ 次。依此类推，直到事件发生 nₖ次。实验依次发生的次数由各个事件发生次数的乘积n₁ × n₂ × ... × nₖ得出。

假设我们想计算字母 ABC 在没有重复的情况下可能的排列方式数。任何一个字母都可以排在前面，因此有 3 种让第一个字母排在第一个位置的方法。

排好第一个字母后，还剩下两个字母，这两个字母中的任何一个都可以排在第二个位置，因此有两种排第二个位置的方法。排好第二个字母后，就只剩下一个字母了。因此，只有一种方法排好第三个位置。

因此，根据基本计数原理，字母 ABC 有 3 × 2 × 1 = 6 种排列方式。它们分别是 ABC、ACB、BCA、BAC、CAB 和 CBA。

阶乘

上面，我们确定了 3 个不同物体的排列数为 3 × 2 × 1 = 6。一般来说，n 个物体（总数）的排列数由n × (n-1) × (n-2) × ... × 1得出。

从一个整数（比如 n）到 1 的所有整数的乘法叫做阶乘，用 ！(感叹号）表示。

因此，n!= n × (n-1) × (n-2) × ... × 1，称为 n 阶乘。

注意 0！=1 ，以及，1！=1。

排列示例

奥运会比赛的标准跑道通常有 9 条通道。不过，100 米比赛通常不使用第 1 道。8 名选手被连续安排在第 2 至第 9 道。这 8 名选手有多少种可能的排列方式？

根据基本计数原理

• 8 位选手中的任何一位都可以进入第 2 道、
• 其余 7 位选手中的任何一位都可以进入第 3 道、
• 其余 6 位选手中的任何一位都可以进入第 4 道、
• 剩下的 5 位选手中的任何一位都可以进入第 5 道、
• 其余 4 位选手中的任何一位都可以进入第 6 道、
• 其余 3 位选手中的任何一位都可以进入第 7 道、
• 其余 2 名选手中的任何一人都可以获得第 8 道、
• 剩下的一名选手进入第 9 道。

因此，在 8 个跑道上可以排列的 8 名选手的可能排列总数为 8! = 8 × 7 × 6 × ... × 2 × 1 = 40,320 种排列方式。

在排列计算器中，在 n（对象）和 r（样本）框中输入 8，然后点击计算，即可得到 40,320 个排列组合。

子集的排列

在前面的例子中，我们研究了所有物体排列时的排列组合。但是，在某些情况下，会从总体中取出特定的组然后再进行排列。

在这种情况下，对象的总数用 n 表示，组（样本）中对象的数量用 r 表示，公式给出了排列的次数：

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

这个公式用于计算不重复的排列，按一定顺序排列从集合 n 中抽取的样本 r。

如果我们计算可以将集合中的所有元素按一定顺序排列且不重复的选择个数，可以使用下面的公式：

$$ₙPᵣ=n!$$

示例

在上面的例子中，我们研究了百米赛跑中所有八名选手可能的排列方式。现在，在同一场比赛中，会决出前三名，第一名获得金牌，第二名和第三名分别获得银牌和铜牌。在比赛的 8 名选手中，我们有多少种可能的方法可以得到金牌、银牌和铜牌？

根据基本计数原理，8 名选手中的任何一人都可能获得第一名。第一个位置被填满后，将剩下 7 名选手填充第二个位置。在第二个位置之后，还有 6 名选手填充第三个位置。因此，从 8 名选手中可能出现的第一到第三位的排列组合总数为：8 × 7 × 6 = 336 我们使用的公式是：

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$ 我们得到

$$₈P₃=\frac{8!}{\left(8-3\right)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{8×7×6×5×4×\ldots×1}{5×4×\ldots×1}=8×7×6=336$$

在排列计算器中，在 n（对象）框中输入 8，在 r（样本）框中输入 3，然后点击 "计算 "得到 336。

排列与组合的区别

另一种重要的计数方法是组合。从 n 个对象中选出 r 个对象的组合数用 ₙCᵣ 表示。

在 "排列 "的定义中，我们提到排序很重要。这就是排列和组合的区别，因为在组合中，不考虑顺序。

举例来说，我们假设从字母 XYZ 中取出两个进行排列，有 XY、XZ、YZ、YX、ZX 和 ZY六种排列方法。

然而，字母 XYZ 每两个字母一组的组合是 XY、XZ 和 YZ，即三种组合。这是因为在组合中，XY 和 YX 被认为是相同的组合；XZ 和 ZX 也是相同的组合，YZ 和 ZY 也是相同的组合。因此，在计算组合方法数时，排列顺序并不重要。

该公式给出了 n 个对象中 r 个对象的组合数：

$$ₙСᵣ=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$$

计算组合的例子

在上面的例子中，我们得到了从 8 名选手中选出第一、第二和第三名的方法数。假设我们想知道在不考虑名次的情况下，从 8 名选手中选出 3 名奖牌获得者的方法数。不管是第一名、第二名还是第三名，只要能获得奖牌就可以了。

在这种情况下，由于奖牌的顺序并不重要，所以要使用组合公式。因此，我们使用组合公式来解决这个问题。

$$ₙСᵣ = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

从 8 名选手中选出 3 名奖牌获得者的方法：

$$₈C₃=\frac{8!}{3! × \left(8-3\right)!}=\frac{8!}{3! × 5!}=\frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1}=8×7=56$$

计算排列的例子

1. 新闻制片人可以从 5 位嘉宾发言人中选择 3 位参加节目。嘉宾的顺序很重要。制片人可以用几种不同的方式安排嘉宾的发言？顺序很重要，且不能重复，因为同一个嘉宾不能在同一个新闻节目中出现两次。因此，我们可以使用排列公式。

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₅P₃ = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60$$

由此可见，制片人有 60 种安排嘉宾的方式。

2. 一位餐厅评论家在市内挑选了 10 家提供寿司的餐厅，并选出前 3名。这些餐厅的排列顺序必须能显示出它们在排名中的位置。此外，同一地点不能多次出现在排名中。这样，我们就满足了排列组合公式的要求--顺序很重要，而且不能有重复。我们使用排列组合公式：

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₁₀P₃ = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 × 9 × 8 = 720$$

3. 当我们说顺序对排列很重要时，并不意味着顺序必须是从 1 到 10 或任何其他数字。顺序可以由某些对象组成，我们可以在这些对象之间分配集合的元素。

例如，一家房屋维修公司的经理今天有四份粉刷房间的订单。它们分别是一家签证代理公司的办公室、一家工厂的仓库、一家服装店和一个私人住宅的房间。公司有六名油漆工。每人每天可以去一个地方。其余两名油漆工将休息一天。

这些物体分别是签证机构的办公室、工厂的仓库、服装店和私人住宅的房间，它们分别对应位置 1、2、3 和 4。

该经理将具备

• 6 名申请人可以被分配到该办事处、
• 剩下的 5 名申请人将被分配到仓库、
• 剩余 4 名申请人将被送往商店、
• 剩下的 3 名申请人可被分配到私人住宅的房间。

因此，直观地说，我们可以用 6 × 5 × 4 × 3 = 360 来描述选择的方法数量。

我们的条件是，工人在对象上的分配顺序对我们很重要。且不允许重复，即一个工人在同一天只能被分配到一个地方。因此，我们可以应用已经使用过的排列公式。

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$\frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 × 5 × 4 × 3 = 360$$

在特定条件下，房屋维修公司经理可以用 360 种不同的方法在油漆工之间分配订单。