样本量计算器

样本量计算器有两个组成部分。第一个部分是计算样本量，第二个部分是确定误差范围。

从下拉列表中选择置信水平是样本量确定的第一步。接下来，输入相对误差范围。您可以通过将绝对值除以点估计值，将误差范围从绝对值转换为相对值。

然后，如果你知道总体比例，请输入它。否则，保持在50%。如果您知道总体大小，请在最后一个单元格中输入；否则，将其留空。最后，点击“计算”。

使用计算器的第二部分来获得误差范围。作为第一步，从下拉菜单中选择一个置信水平。在第二个单元格中输入研究的样本量。之后，输入总体比例。在最后一个单元格中输入总体大小。如果您不知道总体大小，请将该单元格留空。最后，点击“计算”。

样本

人口的一部分或一部分被称为样本。总体指的是在特定研究中感兴趣的所有元素。理想的方式是研究你选择研究的总体的每一个元素。然而，由于许多因素，通常不切实际地检查总体中的每一个项目。例如，如果你的研究是关于丛林中的昆虫，那么总体是无限的。因此，你不能研究你的全部总体。有时在测试时，你的研究项目可能会被破坏。

例如，当你打开并检查一个密封的软饮料瓶的容量时，你不能将该软饮料瓶送往市场。

你需要大量的时间、金钱和其他资源来检查整个总体。在大多数情况下，你必须在有限的时间、金钱和其他资源内完成你的研究。在大多数情况下，调查整个总体是不切实际的。解决方案是选择一个样本并进行研究。

误差范围

大多数时间，我们不能检查总体的所有组成部分。因此，样本统计量（从样本计算出的度量）通常用于估计总体参数（从总体计算出的度量）。样本统计量来自于从样本中观察到或测量到的实际数据。当你为一个总体参数估计一个单一数字时，我们称之为点估计。

例如，如果你想估计生产线上软饮料瓶的平均容量，你可以选择一个随机批次并找出那个批次的平均容量。假设该批次的平均容量x̄为250毫升。因此，你估计生产线上每个瓶子的平均容量\$(\hat{μ})\$为250毫升。

在实践中，实际参数和估计参数并不相等。差异源于使用样本而非完整总体来估计参数。

误差范围定义为参数的点估计与其实际值之间的最大可能差异。这通常被称为估计的最大误差。

置信区间

置信区间代表估计范围。估计范围或置信区间表明参数是在特定误差范围内估计的。为了确定置信区间的下限，将误差范围从点估计中减去。为了确定置信区间的上限，将误差范围加到点估计上。

样本、误差范围和置信区间在统计学中的相互关联

我们研究样本以估计总体的参数，而不是研究完整的总体。因此，总体的估计参数与总体的实际参数之间可能存在差异。误差范围是参数的点估计与其实际值之间的最大可能差异。此外，样本大小与误差范围之间存在反向关联。更大的样本大小将导致更准确地代表总体，这将降低误差范围。同样地，减少样本大小会增加误差范围。

当你将这个误差范围应用于点估计时，就会获得置信区间。

计算样本量的公式

根据你的信息，有不同的公式可以用来计算样本量。

所需的置信水平决定了精度程度，而误差范围的最大范围决定了我们希望用我们的范围估计达到的精确度。

如果我们还知道总体标准差，我们可以使用以下公式计算获得所需置信区间的最小样本量。

$$n=\left(\frac{z_{\alpha/2}×\sigma}{E}\right)^2$$

最终结果 n 应该四舍五入到最接近的整数。

Cochran 公式使您能够根据所需的误差范围水平、所需的置信水平和预期在总体中存在的属性比例确定最小样本量。Cochran 公式是，

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{E^2}$$

• z = 根据所需置信水平从 z 表中得到的 Z 值
• p = 预期在总体中存在的属性比例
• E = 误差范围

示例 1

设想我们正在研究在加拿大就读本科课程的国际学生。在开始时，我们没有太多信息。因此，我们假设国际学生占加拿大所有本科生的60%。因此，总体中属性的预估比例为60%。我们希望达到95%的置信水平和4%的误差范围。最少需要多少学生包含在研究的最小样本量中？

$$(1-\alpha)=95\%$$

$$z_{α/2}=z_{{95\%}/2}=1.96$$

$$p=60\%$$

$$E=4\%$$

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{E^2}=\frac{1.96^2×60\%×(1-60\%)}{4\%^2}=576.24≈577$$

所以，为了得到95%的置信水平和4%的误差范围，研究中至少需要包含577名学生。

上述公式适用于总体大小较大或无限的情况。如果总体大小较小或有限，则我们必须调整样本大小。使用下列公式调整样本大小。

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}$$

• n₀ = 根据Cochran公式计算出的样本量
• N = 总体大小
• n = 针对有限总体调整后的样本量

示例 2

设想我们正在研究你在加拿大就读的学院中就读本科课程的国际学生。在开始时，我们没有太多信息。因此，我们假设国际学生占你学院所有本科生的60%。因此，总体中属性的预估比例为60%。你学院的学生总数为12,000名。我们希望达到95%的置信水平和4%的误差范围。最少需要多少学生包含在研究的最小样本量中？

在这种情况下，你必须首先使用Cochran公式计算n₀，然后因为总体有限，调整样本大小。

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{E^2}=\frac{1.96^2×60\%×(1-60\%)}{4\%^2}=576.24$$

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}=\frac{576.24}{1+\left(\frac{576.24-1}{12,000}\right)}=549.88\approx550$$

使用最小样本量计算器，你可以在不到一秒钟内完成上述复杂计算。

计算误差范围的公式

你可以重新排列样本量公式来找到误差范围的公式。

你知道最小样本量公式是，

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{E^2}$$

让我们使E或误差范围成为上述公式的主题。

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{E^2}$$

$$n₀×E^2=z^2p(1-p)$$

$$E^2=\frac{z^2p(1-p)}{n₀}$$

$$E=\sqrt{\frac{z^2p(1-p)}{n₀}}$$

$$E=z\sqrt{\frac{p(1-p)}{n₀}}$$

示例 3

设想我们正在研究在加拿大就读本科课程的国际学生。在开始时，我们没有太多信息。因此，我们假设国际学生占加拿大所有本科生的60%。因此，总体中属性的预估比例为60%。假设我们希望达到95%的置信水平，并且你为研究选择了577名学生。你的研究的误差范围是多少？

$$z_{95\%/2}=1.96$$

$$p=60\%$$

$$n₀=577$$

$$E=z\sqrt{\frac{p(1-p)}{n_0}}=1.96 \times \sqrt{\frac{60\% \times (1-60\%)}{577}}=4\%$$

如果总体是有限的，你必须首先使用下面的公式找到n₀。

$$n₀=\frac{n-nN}{n-N}$$

然后，在以下公式中应用答案来找到误差范围：

$$E=z\sqrt{\frac{p(1-p)}{n₀}}$$

最小样本量计算器的第二部分帮助你跳过所有这些步骤，在不到一秒钟内计算误差范围。

计算置信区间的公式

如果你知道误差范围，确定置信区间很简单。下面显示的公式用于计算置信区间。

置信区间 = 点估计 ± 误差范围

置信区间的上限 = 点估计 + 误差范围

置信区间的下限 = 点估计 - 误差范围

均值μ的置信区间是，

x̄ - E < μ < x̄ + E

x̄ - E是下限，x̄ + E是上限。

P的置信区间是，

p - E < P < p + E

示例 4

你正在研究在加拿大学习的国际学生的平均课程费用。你为样本选择了1,000名学生，并且根据你的样本，你估计在加拿大学习的国际学生的平均课程费用为20,000加元。误差范围为5,000加元。找出在加拿大学习的国际学生的平均课程费用的置信区间。

上限 = x̄ + E = 20,000加元 + 5,000加元 = 25,000加元

下限 = x̄ - E = 20,000加元 - 5,000加元 = 15,000加元

因此，置信区间是，

x̄ - E < μ < x̄ + E

15,000加元 < μ < 25,000加元