直角三角形计算器

直角三角形计算器是一个专注于直角三角形的在线三角形求解工具。计算器接受直角三角形的任意两个值作为输入，并计算出缺失的三角形测量值。包括的值有 - 三角形的边长（a, b 和 c）、除直角外的角度值（α 和 β）、周长（P）、面积（A）和垂直于斜边的高（h）。

要使用计算器，输入上述任意两个值然后按“计算”。

角度值可以用度数和弧度输入。使用π表示弧度时，使用以下记法："pi"。例如，如果给定角度值为π/3，则输入"pi/3"。

计算器将显示所有缺失的值和计算步骤。计算器还将展示相关三角形的比例视图，并显示内切圆半径和外接圆半径的值。

三角形计算器输入值的限制

1. 只能输入两个值。
2. α 和 β 的角度值应小于90°或(π/2)rad。
3. 垂直于斜边的高（h）的长度不应超过任何一条腰（a或b）的长度。
4. 三角形的每条边的长度（a, b或c）必须小于其他两边的和。
5. 对于任何给定的斜边长度，三角形有一个最大周长。计算器不会接受任何超过此值的周长。具有给定斜边长度的直角三角形的最大周长对应于等腰三角形的情况（a=b）。在这种情况下，\$a=b=\frac{c}{\sqrt2}\$，最大周长\$P=a+b+c=c+\frac{2c}{\sqrt2}\$。

直角三角形：定义和有用信息

直角三角形是一个三角形，其中一个角等于90°或\$\frac{π}{2}\ rad\$。与直角相对的边称为斜边。其他两边称为直角三角形的腰，或腿。

三角形的腰 b 有时被称为直角三角形的底边，腰 a 是直角三角形的高。

三角形的腰总是短于斜边。由于三角形的一个角等于90°，而任何三角形的所有角的总和为180°，因此直角三角形的其他两个角的总和也为90°：α+β=90°。三角形边长的长度相互关联，如勾股定理所描述。

勾股定理

勾股定理描述了直角三角形所有边的长度之间的关系。它指出，斜边的平方等于两腰的平方和：

$$c^2=a^2+b^2$$

因此，如果只知道腰的长度，可以按照以下方法计算斜边的长度：

$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$

假设我们知道一个腰的长度和斜边的长度。在这种情况下，我们可以按以下方式计算另一个腰的长度：

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

$$b=\sqrt{c^2-a^2}$$

勾股定理是关于直角三角形最重要的定理，也是欧几里得几何中最重要的定理之一。

其他重要公式

除了勾股定理外，还使用以下关系来计算直角三角形的缺失值：

三角形的周长是其所有边长的总和，可以这样计算：

$$P = a + b + c$$

直角三角形的面积计算公式为：

$$A=\left( \frac{1}{2} \right)ab$$

要找到直角三角形的角度，我们需要计算角的正弦、余弦和正切。要找到角的正弦、余弦或正切，我们需要确定该角的邻边和对边。直角三角形的斜边和另一边构成两个锐角。这个另一边是相应角的邻边。因此剩下的一边就是这个角的对边。例如，在下图中，a是角α的对边，b是邻边。

直角三角形中任意锐角的正弦可以通过对边长度除以斜边长度来找到：

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{c}, \sin{\beta}=\frac{b}{c}$$

直角三角形中任意锐角的余弦可以通过邻边长度除以斜边长度来计算：

$$\cos{\alpha}=\frac{b}{c}, \cos{\beta}=\frac{a}{c}$$

直角三角形中任意锐角的正切可以通过对边长度与邻边长度的比值来找到：

$$\tan{\alpha}=\frac{a}{b}, \tan{\beta}=\frac{b}{a}$$

垂直于斜边的高的长度计算公式为：

$$h=\frac{ab}{c}$$

计算器还使用以下公式找出给定三角形的内切圆半径和外接圆半径：

$$内半径 = \frac{ab}{a+b+c}$$

$$外半径 = \frac{c}{2}$$

计算示例

假设我们有一个直角三角形，其中两腿的长度已知：a = 3，b = 4。让我们找出三角形的所有缺失值。

首先，让我们使用勾股定理找出斜边 c 的长度：

$$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

$$c=5$$

现在，让我们找出三角形的角度值。如上所述，

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{c}$$

因此，

$$\alpha=arcsin\left(\frac{a}{c}\right)$$

$$\alpha=arcsin\left(\frac{3}{5}\right)=arcsin(0.6)=0.6435\ rad\ =\ 36.87° = 36°52'12"$$

类似地，

$$\sin{\beta}=\frac{b}{c}$$

因此，

$$\beta=arcsin\left(\frac{b}{c}\right)$$

$$\beta=arcsin\left(\frac{4}{5}\right)=arcsin(0.8)=0.9273\ rad\ =\ 53.13° = 53°7'48"$$

让我们找出垂直于斜边的高，h：

$$h=\frac{ab}{c}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}=2.4$$

对于三角形的面积，我们有：

$$A=\frac{1}{2}ab=\frac{a× b}{2}=\frac{3×4}{2}=6$$

对于给定三角形的周长，我们有：

$$P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12$$

内切圆半径可以按以下方式计算：

$$内半径 = \frac{ab}{a+b+c} = \frac{3 \times 4}{3+4+5} = \frac{12}{12} = 1$$

最后，外接圆半径：

$$外半径 = \frac{c}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$$

特殊直角三角形

有两种特殊类型的直角三角形——45-45-90三角形和30-60-90三角形。这些三角形的边长之间存在特殊的比例关系。

等腰直角三角形

拥有45°和45°两个锐角的直角三角形有两个相等的角。因此，它的两腿长度也相等，使这个三角形成为等腰直角三角形。它的边长关系如下：

$$a : b : c = 1 : 1 : \sqrt{2}$$

30-60-90三角形

这个三角形的锐角分别为30°和60°。它的边长关系如下：

$$a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2$$

其中，'a' 是30°角的对边，'b' 是60°角的对边，'c' 是斜边。