距离公式计算器

这个计算器可以在已知两点坐标的情况下，找出平面上这两点之间的距离。计算器在二维空间中运作。

由于直线代表了两点之间的最短距离，这个计算器也可以用作线段长度计算器。

使用说明

计算器用于计算坐标为 (X₁, Y₁) 的点 1 和坐标为 (X₂, Y₂) 的点 2 之间的距离。

要找出两点之间的距离，请将它们的坐标输入到相应的字段中。输入坐标时应遵循以下规则：

• 每个点的两个坐标之间应用逗号分隔；例如，输入 “4,5” 到 (X₁, Y₁) 字段，即表示点 1 的 x 坐标为 4 和 y 坐标为 5。如果任何一个坐标由小数表示，请用小数点将整数部分和小数部分分开；例如，输入 “4.5,7” 表示一个点的 x 坐标为 4.5 和 y 坐标为 7。
• 只能使用整数和小数作为点坐标。不接受分数。
• 坐标之间的空格不是必需的，但您可以根据需要使用它们。

输入坐标后，按“计算”。计算器将返回最终答案和详细的解题算法。

距离公式

在二维平面上，坐标为 (X₁, Y₁) 的点 1 和坐标为 (X₂, Y₂) 的点 2 之间的距离 d 可以用以下公式找到：

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

换句话说：二维空间中 2 个点之间的距离可以找到为对应坐标差的平方和的平方根。这个公式被称为欧几里得距离公式。因此，这个计算器也可以称为欧几里得距离计算器。

欧几里得距离公式推导

为了推导公式，让我们看看 (X, Y) 坐标平面上的两个给定点：

为了找出点 1 和点 2 之间的距离，让我们从点 2 向下画一条垂直线，并从点 1 向右画一条水平线。画出的两条线和所需的距离将形成一个直角三角形。这个三角形的垂直腿将由点 1 和点 2 之间的垂直距离组成：Y₂ - Y₁。三角形的水平腿将由两点之间的水平距离组成：X₂ - X₁。这个三角形的斜边代表了点之间所需的距离。当直角三角形的腿的长度已知时，可以用勾股定理来找到斜边的长度：

$$d^2=(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2$$

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

计算示例

示例 1

让我们找到坐标为 (X₁, Y₁) = (3, 1) 的点 1 和坐标为 (X₂, Y₂) = (5, 7) 的点 2 之间的距离。将 X₁, Y₁, X₂, Y₂ 的值代入欧几里得距离公式，我们将得到：

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(5-3)^2+(7-1)^2}=\sqrt{2^2+6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6.32$$

请注意，改变点的顺序不会改变最终结果，因为坐标之间的差异是平方的。让我们重复上述计算，假设 (X₁, Y₁) = (5, 7)，且 (X₂, Y₂) = (3, 1)：

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-5)^2+(1-7)^2}=\sqrt{-2^2+-6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6.32$$

示例 2

让我们看一个带负坐标的例子，找到坐标为 (X₁, Y₁) = (-4, 2) 和坐标为 (X₂, Y₂) = (6, -6) 的点 1 和点 2 之间的距离。将 X₁, Y₁, X₂, Y₂ 的值代入欧几里得距离公式，我们将得到：

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(6-(-4))^2+(-6-2)^2}=\sqrt{10^2+(-8)^2}$$

$$\sqrt{10^2+(-8)^2}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\approx 12.8$$

真实生活中的例子

如上所述，欧几里得距离公式基于勾股定理。但是，它适应了只知道点的坐标（而不是勾股定理使用的三角形的边长）的情况。当需要从地图或图表上的坐标计算距离时，这个公式很有用。它也用于计算复数和向量的大小。

示例 3

想象一个梯子靠在墙上。在这种情况下，地板代表 2D 平面的 x 轴，墙壁代表 y 轴，如下图所示。如果梯子在点 (0, 2) 接触墙壁，并在点 (3, 0) 接触地面，请找出梯子的长度。

解答

要在由墙壁和地板形成的二维平面中找到梯子的长度，首先让我们确定梯子端点的坐标：X₁, Y₁, X₂, Y₂。我们将梯子接触墙壁的点称为点 1（X₁, Y₁），将梯子接触地面的点称为点 2（X₂, Y₂）。我们知道梯子在坐标为（0, 2）的点接触墙壁。因此，（X₁, Y₁）=（0, 2）：

X₁ = 0, Y₁ = 2

请注意 X₁ = 0，这在上图中清楚地显示，其中点（0, 0）对应于墙壁与地板相遇的物理点，使 X 和 Y 的负值成为不可能。

此外，我们知道梯子在坐标为（3, 0）的点接触地面。因此，（X₂, Y₂）=（3, 0）：

X₂ = 3, Y₂ = 0

同样，Y₂ = 0，因为这些坐标对应于直接在地面上的点。现在让我们使用距离公式来计算梯子的长度：

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2}$$

$$\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\approx 3.6$$

答案

梯子的长度是 3.6 米。

3D 空间中的距离

欧几里得距离是大多数人所说的“距离”。当我们说一个物体距离我们 5 米时，我们心中想的是欧几里得距离。上述描述的距离公式可以很容易地推广到 3（甚至更多！）维空间中。

在三维空间中，坐标为（X₁, Y₁, Z₁）的点 1 和坐标为（X₂, Y₂, Z₂）的点 2 之间的距离可以计算为对应坐标之间差的平方和的平方根：

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2+(Z₂-Z₁)^2}$$