二次方程计算器

二次方程计算器

二次方程是学校和大学数学课程的重要部分。例如，二次方程解提供了各种信息，如函数的变化率、上升和下降。解二次方程需要执行一系列的代数和算术操作。尽管解有一个标准形式，但手动进行计算需要一些时间。

在线二次公式计算器是一个易于使用的工具，可即时为用户提供二次方程的解。这个免费工具提供答案，并展示解方程时应用的步骤。因此，用户将概念化问题解决、数值结果，并通过解决方案获得逐步指导。

二次方程

二次方程有时被称为二次函数或二次多项式，是一个代数方程，一般形式为ax²+bx+c=0，其中x是待找的未知变量。a和b是x²和x的系数，而c是一个常数。"quad"或"二次"这个词来自于变量x的最高指数是2，如x²。我们可以展示一些二次方程的例子如下。

$$2x²-4x+0.5=0$$

$$-3x²+\frac{1}{3}x+6=0$$

方程2x²=0也是一个二次方程，其中b=0和c=0。然而，2x+3=0不代表一个二次方程，因为方程中没有找到二次项ax²。如前面的例子所示，A、B和C的值可以是正/负整数或小数（分数），条件是a≠0。

解二次方程

方程可能的解的数量等于方程中的最高指数值。在这种情况下，一个二次方程最多可以有两个解。解二次函数的一种方法是使用二次公式，如方程(1)所示。

$$x₁=\frac{-b+\sqrt{b²-4ac}}{2a}\ \ \ \ \ \ \ ;\ \ \ x₂=\frac{-b-\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$ (1)

二次公式的简洁形式可以写为：

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

这是一个简单的解决方案，用户可以插入A、B和C的值来获得x₁和x₂的值。根据判别式的值，即平方根下的项b²-4ac，解的数量和性质会发生变化。我们可以讨论三种情况：

• 如果判别式为正；b²-4ac>0，则存在两个实数解*(x₁≠x₂)*
• 如果判别式为零；b²-4ac=0，则存在一个实数解*(x₁=x₂)*
• 如果判别式为负；b²-4ac<0，则存在两个复数解*(x₁≠x₂)*

我们将在示例部分提供每种情况的一个示例。

在x-y坐标平面上，其中y是x的函数，读者可以直观地实现二次函数的解作为函数y穿过x轴的点的x坐标。

使用二次公式计算器

二次方程求解器计算器可以解决所有二次方程，无论解的性质（实数或复数）。计算器需要三个输入：A、B和C的值。在某些情况下，用户可能需要在使用计算器之前对方程进行一些操作。

在2x² = x + 3中，用户只需将右侧的项移至左侧。结果我们得到2x²-x-3=0，其中a = 2，b = -1，c = -3。

再考虑4(x²-0.2x)=1，用户需要通过写出4x²-0.8x=1来展开括号，然后将左侧的项移到右侧，以将方程转换为通用形式4x²-0.8x-1=0，其中a = 4，b=-0.8，c=-1。

示例

在本节中，三个示例可以解释使用二次方程计算器求解二次方程的三种可能情况。

示例1：两个实数解

需要找到二次函数y₁的解，给定为y₁=x²-8x+12，如图1所示。

直观上，目标是找到函数y₁穿过x轴的点的x坐标（如果存在的话）。

图1：y₁=x²-8x+12的图像

首先，将函数等于零（y₁替换为0），得到x²-8x+12=0。可以看到，最后的方程是标准二次方程形式，其中a=1，b=-8，c=12。我们可以直接使用二次方程计算器。

检查判别式的值b²-4ac=(-8)²-4(1)(12)=16>0，二次函数应有两个实数解。点击计算按钮后，计算器使用方程的二次公式（1）提供数值解和解题步骤。

强调一点很重要，在输入A、B和C的值后，计算器显示方程。用户可能会考虑验证显示的方程是否与手头的方程相同，以避免输入错误。

• 方程：x²-8x+12=0

• 解：x₁=2 和 x₂=6

• 步骤：

$$x = \frac {-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a}=\frac{-(-8) ±\sqrt{(-8)^2-4×1×12}}{2×1}=\frac{8 ±\sqrt{16}}{2}=4 ±2=6 \ 或 \ 2$$

解因此为x₁=2 和 x₂=6。我们可以通过检查函数与x轴的交点来图形验证结果。图2显示函数在前述点与x轴相交。

图2：y₁=x²-8x+12的图

示例2：一个实数解

考虑另一个函数，y₂-3x²+25=-4x²+10x。在使用计算器之前，初始步骤将是将y₂放在一边，并将所有其他项收集到另一边，得到y₂=-4x²+10x+3x²-25。将y₂等于零并进行算术操作，得到通用形式*-x²+10x-25=0*，其中a=-1，b=10，c=-25。

判别式等于零b²-4ac=(10)²-4(-1)(-25)=0，所以，用户会期待一个解。然后，我们可以使用二次公式计算器找到x₁=x₂=5。

• 方程：-x²+10x–25=0

• 解：x = 5

• 步骤：

$$x = \frac{-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a} = \frac{-10±{\sqrt{10^2 – 4 × (-1) × (-25)}}}{2×-1}=\frac{-10± \sqrt{0}}{-2} = 5$$

图3显示了y₂的图，可以看到函数在一个点与x轴相交。

图3：y₂=-x²+10x-25

示例3：两个复数解

最后，研究y₃=x²-4x+8以展示二次函数如何可以有两个复数解。图4显示y₃没有穿过x轴。

图4：y₃=x²-4x+8

观察b²-4ac=(-4)²-4(1)(8)=-16<0，表明存在两个复数解，但什么是复数？

复数是以实数和虚数的组合形式表达的数，采取a+ib的形式。

在这种情况下，复数中的'i'代表虚数单位，表示-1的平方根。

术语A表示复数的实部*(Re)。另一方面，ib是虚数(Im)，其中i=√-1*。

当b²-4ac小于零时，平方根将包含一个负数。因此，取一个负数的平方根需要使用复数。

回到找x²-4x+8=0的解；计算器解决方程并找到x₁=2+2i和x₂=2-2i。

• 方程：x²–4x+8=0

• 有两个可能的解：x=2±2i

• 步骤：

$$x = \frac{-b ± \sqrt{b² – 4ac}}{2a} = \frac{-(-4) ± \sqrt{(-4)^2 – 4 × 1 × 8}}{2 × 1} = \frac{4 ± \sqrt{-16}}{2} = 2 ± 2i$$

使用范围和提示

二次公式计算器是为学校和大学的学生或任何寻求二次函数快速解决方案的人设计的。二次函数可以在工程、经济、农业等领域找到。

虽然使用该工具很简单，但用户应该能够执行基本的算术操作，将方程放在标准二次形式ax²+bx+c=0中以使用该工具。此外，熟悉复数是可取的（非先决条件），因为二次方程的解可能是一对复数。

用户可能还对使用一些绘图工具来可视化函数及其解感兴趣。