勾股定理计算器

这个勾股定理计算器用于找出直角三角形的一边长度，如果已知三角形的另外两边。计算基于勾股定理进行。

使用说明

输入已知边的长度并按“计算”。计算器将返回以下值：

• 第三边的长度。
• 非90°角的角度值，以度和弧度表示。
• 三角形的面积。
• 三角形的周长。
• 垂直于斜边的高的长度。

计算器还将返回详细的解决方案，您可以通过按“+ 显示计算步骤”来展开。

请注意，每边的输入字段包括一个整数部分和一个根号部分，以便您可以方便地输入像2√3、√3等值。

还请注意，三角形的较短边a和b的值必须小于斜边c的值。

勾股定理

勾股定理指出，在一个直角三角形中，斜边长度的平方等于两腰的长度的平方和。

勾股定理可以写成如下形式：

a² + b² = c²，

其中a和b是直角三角形两腰的长度，c是最长边或斜边的长度。上述方程可以描述为：a的平方加上b的平方等于c的平方。

勾股定理的证明

让我们通过计算面积来证明勾股定理。

在上图中，边长为(a + b)的正方形由一边为c的正方形和四个边为a、b和c的直角三角形组成。让我们使用两种不同的策略来找出这个正方形的面积：

1. 边长为(a + b)的正方形的表面积可以计算为(a + b)²：

A = (a + b)²

2. 同样的表面积可以找到为组成正方形的图形的表面积之和——边长为c的正方形的面积，以及四个边为a、b和c的三角形的面积。边长为c的正方形的面积可以计算为c²。边为a、b和c的直角三角形的面积可以找到为(ab)/2。因此，

A = c² + 4 × (ab)/2 = c² + 2ab

由于这两个计算描述了相同的表面积，我们可以将它们等同起来：

(a + b)² = c² + 2ab

展开等式左边的平方，我们得到：

a² + 2ab + b² = c² + 2ab

从等式的两边减去2ab，我们得到：

a² + b² = c²

这就是所需的结果。

计算算法

找出直角三角形的边

如果给定直角三角形的两边，可以使用勾股定理找出第三边。例如，如果给定边a和b，可以如下找出边c的长度：

$$c=\sqrt{a²+b²}$$

同样，

$$a=\sqrt{c²-b²}$$

和

$$b=\sqrt{c²-a²}$$

找出直角三角形的角度

如果已知直角三角形的所有三边，可以如下找出非90°角的角度：

• ∠α = arcsin(a/c) 或 ∠α = arccos(b/c)
• ∠β = arcsin(b/c) 或 ∠β = arccos(a/c)

这里，∠α是与边'a'相对的角，∠β是与边'b'相对的角，而'c'是斜边。选择arcsin和arccos取决于你在考虑角度时是考虑边a还是边b。使用arcsin，你使用与角度相对的边，而使用arccos，你使用与角度相邻的边。这两种方法都是有效的，将给你直角三角形中正确的角度测量。

直角三角形的面积

直角三角形的面积可以计算为其两腿乘积的1/2：

A = 1/2 × (ab) = (ab)/2

直角三角形的周长

直角三角形的周长是其所有边之和：

P = a + b + c

斜边上的高

如果已知直角三角形的所有三边，则可找出斜边上的高，h，如下所示：

h = (a × b)/c

现实生活中的例子

勾股定理在建筑和建设中被广泛使用，用于计算所需组件的长度并确保构建的建筑物的角度是正确的。让我们看一个应用定理的例子。

放置物体

想象你正在搬家，你租了一辆长4米高3米的搬运卡车。你没有很多笨重的物品，但你有一架4.5米长的梯子。你的梯子能放进卡车吗？

解决方案

由于梯子长度4.5米超过了卡车长度4米，梯子唯一能放进去的方式是斜着放。要确定这是否可行，我们需要使用勾股定理计算一边等于卡车长度和高度的三角形的斜边。因此，在我们的案例中a = 4，b = 3，我们需要找到c：

$$c=\sqrt{a²+b²}=\sqrt{4²+3²}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$

边长为a = 4和b = 3的三角形的斜边是c = 5。因此，最长的物体能放进卡车的可以是5米。你的梯子是4.5米长。因此，它将轻松地放进去！

答案

是的，梯子会放得下。

额外计算

这个在线计算器还会找出给定三角形的一些额外特性。为边长a = 4，b = 3，c = 5的三角形计算这些特性。

三角形的面积：

A = (ab)/2 = (3 × 4)/2 = 12/2 = 6

三角形的周长：

P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12

斜边上的高：

h = (a × b)/c = (3 × 4)/5 = 12/5 = 2.4

与边a相对的角：

∠α = arcsin(a/c) = arcsin(4/5) = arcsin(0.8) = 53.13° = 53°7'48" = 0.9273 弧度

与边b相对的角：

∠β = arcsin(b/c) = arcsin(3/5) = arcsin(0.6) = 36.87° = 36°52'12" = 0.6435 弧度