标准差

标准差是一种统计指标

标准差是描述给定数据集统计特性最常用指标之一。简单来说，标准差是衡量数据集离散程度的指标。通过计算标准差，可以找出数据是接近平均值还是远离平均值。如果数据点远离平均值，那么数据集的偏差就很大。因此，数据越分散，标准差就越大。

该计算器可计算给定数据集的标准差，并显示计算步骤。

使用本计算器的规则

该计算器接受以分隔符分隔的数字列表作为输入数据。下表列举了一些可能的输入示例。

数字可以用逗号/空格/换行符分隔，也可以混合使用，还可以按行或列格式插入。对于上表中的所有格式，计算器处理的输入值为 44、63、72、75、80、86、87 和 89。

输入数据后，选择是样本数据还是总体数据，然后点击回车。计算器会显示数据集的五个统计参数：计数（观察数）、平均数、平方差总和、方差和标准差。

本计算器用于解决的问题

计算器旨在计算离散数据集的标准差，并提供计算背后的步骤。

数据可能包括在指定条件下实验的所有可能观察结果构成的总体。在许多情况下，不可能对每个总体个体进行抽样。

这就是为什么统计学经常从 "总体 "中抽取一个子集，并称之为 "样本"。对总体的推断通常是通过样本进行的。样本和总体的标准差计算略有不同。其不同之处在于自由度因子。

标准差衡量数据集相对于平均值的平均离散度/偏差/变异性。通常用希腊字母 σ 表示总体标准差，用 s 表示样本标准差。σ 或 s 的值越大，意味着数据点与总体或样本平均值的离散度越大，反之亦然。

请看下面的数据集示例。

（数据集I）

11, 3, 5, 21, 10, 15, 20, 25, 13, 26, 27

（数据集II）

12, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20

将这些数据集代入计算器后，我们得到数据集I的结果：

• x̄=16* - 平均值
• s=8.3904708 - 标准差

对于数据集II：

• x̄=16* - 平均值
• s=2.3664319 - 标准差

在数据集I中，数值与样本均值（s=8.39）相差较大，而在数据集II中，变异性相对较小（s=2.36），与数据集I相比。

计算标准差的公式

当分析总体的所有值时，使用以下公式：

$$σ = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-μ)^2}{N}}$$

• σ 是总体的标准差、
• xᵢ 是总体中的个体值、
• μ 是总体的算术平均值、
• n 是总体数量。

当总体很大，只采用其样本进行分析时，使用下面的公式：

$$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}$$

• s 是样本的标准差，、
• xᵢ 是样本中的个体样本值、
• x̄ 是样本的平均值、
• n 是样本数量。

标准差计算

计算标准差的步骤如下：

步骤1： 计算样本/总体平均值。它是所有数据点的总和除以数量数量 N 或 n，即

样本平均值：

$$\bar{x}=\frac{x₁+x₂+x_3+........+x_n}{n}$$

总体平均值

$$\mu=\frac{x₁+x₂+x_3+........+x_N}{N}$$

步骤2： 从每个数据点减去样本/总体平均值，计算偏差，即

样本偏差：

$$(x₁-\bar{x}), (x₂-\bar{x}), (x_3-\bar{x})…………………… (x_n-\bar{x})$$

总体偏差：

$$(x₁-\ \mu), (x₂-\ \mu), (x_3-\ \mu)……………….. (x_N-\ \mu)$$

步骤3： 计算每个数据点的平方差。

样本平方差：

$$(x₁-\bar{x})^2, (x₂-\bar{x})^2, (x_3-\bar{x})^2…………………… (x_n-\bar{x})^2$$

总体平方差：

$$(x₁-\ \mu)^2, (x₂-\ \mu)^2, (x_3-\ \mu)^2……………….. (x_N-\ \mu)^2$$

步骤4： 将所有单个平方差相加，计算平方差之和

样本平方差总和：

$$SS=(x₁-\bar{x})^2+ (x₂-\bar{x})^2+(x_3-\bar{x})^2……………………+(x_n-\bar{x})^2$$

总体平方差总和：

$$SS=(x₁-\ \mu)^2+ (x₂-\ \mu)^2+(x_3-\ \mu)^2……………….+ (x_N-\ \mu)^2$$

步骤5： 将这个数值除以总体或样本的大小，即可得到方差。计算器通过平方差之和除以自由度的数量来计算方差：样本为 N，总体为 n-1。

样本差异

$$s^2=\frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}$$

总体差异

$$\sigma^2=\frac{\sum_{i}^{N}{{(x_i-\ \mu)}^2\ }}{N}$$

在计算样本方差时，我们可以假设我们将使用以下表达式进行计算：

$$\frac{(x-\bar{x})^2}{n}$$

其中

x̄ 是样本平均数，n 是样本容量。但实际上不使用这样的公式。

这样的表达式不能很好地估计总体的方差。当总体非常庞大而样本非常小的情况下，通过这个公式计算出的方差会低估总体的方差。这将由于数据不足而显示出太小的方差。因此，通过使用表达式 n-1，我们增加了潜在的方差值。

我们不除以 n，而是通过除以 n-1 来求得样本的方差。这一操作得出的方差值略大，更接近实际值。

步骤6： 求出所得数字的平方根。标准差就是方差的平方根。

样本标准差

$$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}}$$

总体标准差

$$\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\frac{\sum_{i}^{N}{{(x_i-\ \mu)}^2\ }}{N}}$$

样本标准差计算示例

让我们来看看 n=8 名学生的物理期末考试成绩：

45、67、70、75、80、81、82 和 84。

计算器通过以下步骤计算总体的标准差：

步骤 1： 计算平均值。

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i} x_i}{n}=\frac{45+\ 67+\ 70+\ 75+\ 80+\ 81+\ 82+\ 84}{8}=73$$

步骤2： 计算偏差

步骤3： 计算偏差的平方

步骤4： 求偏差平方和。

$$SS=\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2=784+36+9+4+49+64+81+121}=1148$$

步骤5： 用平方差之和除以自由度 (n-1)，计算方差。对于一个总体，这一步的方差将除以 N，而不是 N-1。在这种情况下，我们得到的是样本，即部分学生的数据，而不是整个总体的数据。

$$s^2=\ \frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}=\frac{1148}{8-1}=164$$

步骤： 求方差的平方根，得到标准差。

$$s=\sqrt{s^2}=\ \sqrt{164}=12.80$$

标准差的应用

离散度和标准差可用于确定数据的分散程度。如果方差或标准差较大，则数据较为分散。在比较两个（或更多）数据集以确定哪个更具变异性时，此信息非常有用。

在工业领域，标准差被广泛用于质量控制。在大规模生产中，某些产品的特性必须在一个确定的范围内，通过计算标准差就可以获得这个范围。例如，在生产螺母和螺栓时，其直径的变化必须很小，否则，零件就无法安装在一起。

标准差用于金融和许多其他领域的风险评估。在技术分析中，标准差用于构建布林线和计算波动率。

此外，标准差在金融领域中被用来衡量波动性，而在社会学中，标准差被用于民意调查，以帮助计算不确定性。

方差和标准差用于确定落入给定分布间隔的数据值数量。例如，切比雪夫的定理显示，对于任何分布，至少有 75% 的数据值将落入均值的 2 个标准差之内。

让我们用一个气候的简单例子来说明。假设我们研究同一地区两个城市的日气温。一个城市位于沿海，另一个城市位于内陆。这两个城市的日平均最高气温可能相同。但是，内陆城市的标准差，即最高日气温的分散度会更大，而沿海城市的最高日气温标准差会更小。

这意味着内陆城市在一年中的任何给定天的最高气温变化更大。也就是说，沿海城市的气候更温和。