距离计算器

下面的计算器可用于找出二维空间（2D平面）或三维空间（3D空间）中两点之间的距离，以及计算用纬度和经度定义的两个地点之间的距离，或作为世界地图上的点所指示的距离。此页面上有3个计算器：

• 2D距离计算器
• 3D距离计算器
• 坐标之间的距离计算器

2D距离计算器还可用于确定连线方程，以及找到连接两个给定点的线的斜率和角度。

使用说明

2D距离计算器

此计算器找出二维平面上两点之间的距离：点1的坐标为(X₁, Y₁)，点2的坐标为(X₂, Y₂)。要找出平面上两点之间的距离，请将两点的坐标(X₁, Y₁, X₂, Y₂)输入相应字段并按“计算”。

计算器将返回最终答案、详细的解决算法，以及坐标平面上点的图形表示。此外，计算器将找到连接两个给定点的线的斜率和角度，并确定相应的线方程。

3D距离计算器

此计算器找出三维空间中两点之间的距离：点1的坐标为(X₁, Y₁, Z₁)，点2的坐标为(X₂, Y₂, Z₂)。要计算三维空间中两点之间的距离，请将两点的坐标(X₁, Y₁, Z₁, X₂, Y₂, Z₂)输入相应字段，并按“计算”。计算器将返回最终答案和详细的解决算法。 要清空所有字段，请按“清除”。

坐标之间的距离计算器 - 基于纬度和经度的距离

如果您知道两点的坐标（纬度和经度），使用此计算器可以找出地球表面上两点之间的距离。计算器基于假设地球的形状可以近似为椭球体，找出纬度1和经度1的点1与纬度2和经度2的点2之间的距离。计算使用Lambert公式。

要使用此计算器，请将给定的纬度1、经度1、纬度2和经度2的值输入相应字段，并按“计算”。计算器将以公里和英里返回点之间的距离。

输入值

坐标可以按以下方式输入：

• 度-分-秒格式，后跟下拉菜单中的一个方位方向 - 纬度的N（北）或S（南），经度的E（东）或W（西）。这里，纬度应由-90到90之间的值表示，经度应由-180到180之间的值表示。
• 小数格式而没有方位方向。则值的符号代表方向：北半球的纬度为正（赤道以北），南半球为负，东经的经度为正（本初子午线以东），西经为负。同样，这里，纬度应由-90到90之间的值表示，经度应由-180到180之间的值表示。 要清空所有字段，请按“清除”。

地图上两点之间的距离计算器

此计算器还可以根据假设地球形状可近似为椭球体，并使用Lambert公式进行计算，找出地球表面上两点之间的距离。

要使用此计算器，请在提供的地图上选择两个点。计算器将自动确定所选点的（小数）坐标，并计算以公里和英里为单位的距离。

所有计算器接受整数、小数和e记数法表示的数字作为输入。

公式

在下面展示的所有公式中，距离表示为d。

2D距离公式

二维平面上具有坐标(X₁, Y₁)和(X₂, Y₂)的两点之间的距离，通过以下公式借助勾股定理计算：

$$d=\sqrt{(X₂ - X₁)²+(Y₂ - Y₁)²}$$

3D距离公式

上述公式可以推广到3维空间，以找到具有坐标(X₁, Y₁, Z₁)的点1和具有坐标(X₂, Y₂, Z₂)的点2之间的距离，如下所示：

$$d=\sqrt{(X₂ - X₁)²+(Y₂ - Y₁)²+(Z₂ - Z₁)²}$$

基于纬度和经度计算距离

本节将使用以下符号：ϕ表示纬度，λ表示经度。一个具有纬度1和经度1的点将被描述为(ϕ1, λ1)。

要计算地球表面上两点之间的距离，我们需要计算沿地球表面的距离。因此，我们必须选择一个近似地球表面形状的方法。最常见的有三种近似方法：

1. 平面。这种近似对短距离来说效果相当好。在这种情况下可以使用2D距离公式。还有几种进一步的近似方法，用于考虑将地球表面投影到平面上时子午线之间距离的变化。
2. 球面。这种近似的公式基于假设地球表面可以近似为一个球体。然后使用球面三角学导出更精确的公式，该公式可用于相当长的距离，精度约为5%。这个公式被称为大圆距离公式或haversine公式，因为它是借助于一个特殊的三角函数——haversine（半正矢）导出的。角θ的haversine定义如下：\$hav\ θ=\frac{(1-cos⁡θ)}{2}\$。具有坐标(ϕ₁, λ₁)和(ϕ₂, λ₂)的两点之间的haversine距离公式如下所示：

$$d=2r\ arcsin\sqrt{hav(φ₂-φ₁ )+(1-hav(φ₁-φ₂ )-hav(φ₁+φ₂ ))× hav(λ₂-λ₁)}$$

$$d=2r\ arcsin\left( \sqrt{(sin²\left( \frac{φ₂-φ₁}{2} \right)⁡+cos⁡\ φ₁×cos⁡\ φ₂ × sin²\left( \frac{λ₂-λ₁}{2} \right)⁡}\right)$$

其中r是所研究球体的半径（在我们的案例中，是地球的平均半径）。

3. 椭球面。这种近似是最精确的，因为地球的实际形状比球体更接近椭球体。连接椭球体表面两点的最短线（路径）称为测地线，该路径的长度用Lambert公式计算。这些公式使用约化纬度β₁和β₂代替ϕ₁和ϕ₂：tan β = (1 - f) × tan ϕ，其中f是扁率。距离如下找出：

d = a (σ – f/2(X + Y))

其中a是椭球体的赤道半径（在我们的案例中，是地球），σ是点1(β₁, λ₁)和点2(β₂, λ₂)之间的中心角，以弧度计。这个角度使用上述haversine公式计算，假设在球体和相应的椭球体上经度相同。X和Y使用以下公式计算：

$$X=(σ-sin⁡σ)\frac{sin²⁡P\ cos²⁡Q}{cos²\frac{σ}{2}⁡}$$

$$Y=(σ-sin⁡σ)\frac{cos²⁡P\ sin²⁡Q}{sin²\frac{σ}{2}⁡}$$

其中，P = (β₁ + β₂)/2，Q = (β₂ – β₁)/2

现实生活中的应用

通常，当我们谈论距离时，我们指的是2D或3D距离。这包括各种例子：

• 队伍末端与队伍前端之间的距离（对于直线队伍）。
• 你正在滑雪的山坡的长度。
• 甚至是太阳与太阳系行星之间的距离。

纬度和经度距离，或地图上点之间的距离，经常用于计算飞机从点A飞往点B的飞行路径，因为从一个地方飞往另一个地方的飞机是沿着地球的椭球面飞行的 —— 正是Lambert公式所描述的情况！